资料简介
第 21 章圆（上）单元测试
一.单选题（共 10 题；共 30 分）
1.如图,⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则其外接圆的半径为（ ）
A. 15 B. 7.5 C. 6 D. 3
3.已知 P 是⊙O 内一点，⊙O 的半径为 15，P 点到圆心 O 的距离为 9，则通过 P 点且长度是整数的弦的条
数是（ ）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 12
4.如图，BD 为⊙O 的直径，∠A=30°，则∠CBD 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 80°
5.已知⊙O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 7，那么点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A. 点 P 在⊙O 上 B. 点 P 在⊙O 内 C. 点 P 在⊙O 外 D. 无法确定
6.如图，线段 AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD 等于（ ）
A. 20° B. 30° C. 35° D. 70°
7.已知⊙O 的半径为 13cm，弦 AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则 AB，CD 之间的距离为（ ）
A. 17cm B. 7cm C. 12cm D. 17cm 或 7cm
8.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD 的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 80° D. 120°
9.如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB 的度数是（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
10.如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD 的度数为（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
二.填空题（共 8 题；共 28 分）
11.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在圆上，∠D=68°，则∠ABC 等于 ________．
12.如图，⊙O 的半径是 10cm，弦 AB 的长是 12cm，OC 是⊙O 的半径且 OC⊥AB，垂足为 D，则 CD= ________cm.
13.如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ________．
14.已知⊙O 的半径为 6cm，（1）OB=6cm，则点 B 在 ________；（2）若 OB=7.5cm，则点 B 在 ________．
15.已知等边三角形的边长是 4，则它的一边上的高是 ________，外接圆半径是 ________．
16.如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB=AD，∠C=110°．若点 E 在 AD∧上，则∠E=________ °．
17.（2016•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是
________．
18.半径为 5 的⊙O 中最大的弦长为________．
三.解答题（共 6 题；共 42 分）
19.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°、∠BAC=30°，在 AC 边上取点 O 画圆使⊙O 经过 A、B 两点，延长 BC 交⊙
O 于 D；求证：A、B、D 是⊙O 的三等分点．
20.已知 AB=4cm，作半径为 3cm 的圆，使它经过 A、B 两点，这样的圆能作多少个？如果半径为 2cm 呢？
21.已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为 BC 的中点．试说明点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个
圆上．
22.如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是弧 AB 上任一点（点 P 不与 A、B 重合），连 AP，BP，过 C 作 CM∥
BP 交 PA 的延长线于点 M，
（1）求证：△PCM 为等边三角形；
（2）若 PA=1，PB=2，求梯形 PBCM 的面积．
23.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，P 是 上的一个动点，
连接 AP，求 AP 的最小值．
24.⊙O 的半径为 17cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm．求 AB 和 CD 之间的距离．
答案解析
一.单选题
1.【答案】A
【考点】垂径定理的应用
【解析】
【分析】OM 最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．
【解答】①M 与 A 或 B 重合时 OM 最长，等于半径 5；
②∵半径为 5，弦 AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM 最短为 =3，
∴3≤OM≤5，
因此 OM 不可能为 2．
故选 A．
【点评】解决本题的关键是：知道 OM 最长应是半径长，最短应是点 O 到 AB 的距离长．然后根据范围来
确定不可能的值
2.【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2 ， 而 AC=9，BC=12，
∴AB= =15．
又∵AB 是 Rt△ABC 的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为 7.5．
故选 B．
【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出 AB 即可．本题主要考查圆周角定理
及其推论，即 90 度的圆周角所对的弦是直径．解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算．
3.【答案】D
【考点】垂径定理
【解析】【分析】在圆中过点 P 最长的弦是过的 P 的直径，最短的弦是过点 P 且垂直于 OP 的弦，知道最
长和最短的弦长后，通过 P 点，长度是整数的弦的条数就能确定．
【解答】在⊙O 中，半径是 15，点 P 到圆心的距离为 9，则过点 P 最长的弦是过点 P 的直径，长度为 30．
过点 P 最短的弦是垂直于 OP 的弦，这条弦长为 24．
最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别是 25，26，27，28，29 的弦有两条，
所以过 P 点，长度是整数的弦一共有 1+2×5+1=12 条．
故选 D．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据 P 点在圆内，过点 P 最长和最短的弦长，可以确定弦长是
整数的弦的条数．
4.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】由 BD 为⊙O 的直径，可证∠BCD=90°，又由圆周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．
【解答】∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠CBD=90°-∠D=60°．
故选 C．
【点评】本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5.【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点在圆上，则 d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d 即点到圆心的距离，r 即
圆的半径）即可求解．
∵OP=7＞5，∴点 P 与⊙O 的位置关系是点在圆外．
故选 C．
6.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弦 CD⊥直径 AB，
∴ = ，
∴∠BAD= ∠BOC= ×70°=35°．
故选 C．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，然后根据圆周角定理得∠BAD= ∠BOC=35°．
7.【答案】D
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：①当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图 1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图 2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
∴AB 与 CD 之间的距离为 7cm 或 17cm．
故选 D．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦 AB 和 CD 在圆心同侧；②弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出半径和弦心
距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
8.【答案】B
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°﹣120°=60°．
故选 B．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．
9.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB 与∠ACB 都对 ，且∠AOB=100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°，
故选 C
【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．
10.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°， ∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD 的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用 180°
减去∠BAD 的度数，求出∠BCD 的度数是多少即可．
二.填空题
11.【答案】22°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=68°，
∴∠A=68°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠CBA=180°﹣90°﹣68°=22°．
故答案为：22°．
【分析】首先根据圆周角定理可得∠A=68°，∠BCA=90°，再根据三角形内角和定理可得∠ABC 的度数．
12.【答案】2
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O 的半径是 10cm，弦 AB 的长是 12cm，OC 是⊙O 的半径且 OC⊥AB，垂足为 D，
∴OA=OC=10cm，AD=12AB=12×12=6cm，
∵在 Rt△AOD 中，OA=10cm，AD=6cm，
∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．
故答案为：2．
【分析】先根据垂径定理求出 AD 的长，在 Rt△AOD 中由勾股定理求出 OD 的长，进而可得出结论．
13.【答案】32°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 OD．
∵AB 是⊙0 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，
∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD=32°；
另法：∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°﹣58°=32°，
∵∠BCD 和∠A 都是 BD 所对圆周角，
∴∠BCD=32°．
故答案为：32°．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2
∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是 180°知∠BOD=180°﹣∠AOD，故∠BCD=32°．
14.【答案】⊙O 上；⊙O 外
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设⊙O 的半径为 r；
（1）∵OB=6cm=r，
即 d=r，
∴点 B 在⊙O 上；
故答案为：⊙O 上；
（2）∵OB=7.5cm＞r，
即 d＞r，
∴点 B 在⊙O 外．
故答案为：⊙O 外．
【分析】设⊙O 的半径为 r．
（1）由题意得出 d=r，即可得出结论；
（2）由题意得出 d＞r，即可得出结论．
15.【答案】23；433
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，AB=4，
∴AD=AB•sin60°=4×32=23 ，
∵等边三角形的外心与重心重合，
∴OA=23AD=23×23=433 ．
故答案为：23 ， 433 ．
【分析】根据题意画出图形，根据锐角三角函数的定义可得出 AD 的长，再根据三角形重心的性质即可得
出结论．
16.【答案】125
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=12（180°﹣70°）=55°，
∵四边形 ABDE 为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴∠E=180°﹣55°=125°．
故答案为 125．
【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°﹣∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内
角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E 的度数．
17.【答案】40°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°， ∴ ADC^ 的度数为 100°，
∵AB 为直径，
∴ BC^ 的度数为 80°，
∴∠BDC= 12 ×80°=40°，
故答案为：40°．
【分析】根据∠ABC=50°求出 ADC^ 的度数为 100°，求出 BC^ 的度数为 80°，即可求出答案．
18.【答案】10
【考点】圆的认识
【解析】【解答】解：半径为 5 的⊙O 的直径为 10，则半径为 5 的⊙O 中最大的弦是直径，其长度是 10． 故
答案是：10．
【分析】直径是圆中最大的弦．
三.解答题
19.【答案】证明：∵∠ACB=90°，
即 AC⊥BD，
∴DC=BC，
∴AD=AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ADB 是等边三角形，
∴AD=AB=BD，
∴AD∧=AB∧=BD∧，
即 A、B、D 是⊙O 的三等分点．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据垂径定理求出 DC=BC，由线段垂直平分线的性质得出 AD=AB，证出△ADB 是等边三
角形，由圆心角、弧、弦的关系得出 AD∧=AB∧=BD∧即可．
20.【答案】解：（1）这样的圆能画 2 个．如图 1：
作 AB 的垂直平分线 l，再以点 A 为圆心，3cm 为半径作圆交 l 于 O1 和 O2 ， 然后分别以 O1 和 O2 为圆心，
以 3cm 为半径作圆，
则⊙O1 和⊙O2 为所求；
（2）这样的圆能画 1 个．如图 2：
作 AB 的垂直平分线 l，交 AB 于 O 点，然后以 O 为圆心，以 2cm 为半径作圆，
则⊙0 为所求；
【考点】圆的认识
【解析】【分析】（1）先作 AB 的垂直平分线 l，再以点 A 为圆心，3cm 为半径作圆交 l 于 O1 和 O2 ， 然
后分别以 O1 和 O2 为圆心，以 3cm 为半径作圆即可；
（2）先作 AB 的垂直平分线 l，交 AB 于 O 点，然后以 O 为圆心，以 2cm 为半径作圆即可；
21.【答案】证明：连接 ME、MD，
∵BD、CE 分别是△ABC 的高，M 为 BC 的中点，
∴ME=MD=MC=MB= BC，
∴点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一圆上．
【考点】圆的认识
【解析】【分析】分别连接 ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到
ME=MD=MC=MB，可证得结论．
22.【答案】解：（1）证明：作 PH⊥CM 于 H，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM 为等边三角形；
（2）∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM，
在△BCP 和△ACM 中，
，
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB=AM，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在 Rt△PMH 中，∠MPH=30°，
∴PH= ，
∴S 梯形 PBCM= （PB+CM）×PH= ×（2+3）× = ．
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三
角形；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边
三角形，进而求得 PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
23.【答案】解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2 ， 在半圆上取 P1 ， 连接 AP1 ， EP1 ，
可见，AP1+EP1＞AE，
即 AP2 是 AP 的最小值，
∵AE=22+12=5，P2E=1，
∴AP2=5 ﹣1．
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2 ， 在半圆上取 P1 ， 连接 AP1 ， EP1 ，
可见，AP1+EP1＞AE，即 AP2 是 AP 的最小值，再根据勾股定理求出 AE 的长，然后减掉半径即可．
24.【答案】解：过圆心 O 作 OE⊥AB，OF⊥CD，连接 OB，OD． 在 Rt△OBE 中，OE= =
=8cm，
在 Rt△ODF 中，OF= = =15cm．
①如图 1，当弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧：
EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm；
②如图 2，当弦 AB、CD 在圆心 O 的两侧：
EF=OF+OE=15+8=23cm．
综上：AB 和 CD 之间的距离为 7cm 或 23cm．
【考点】垂径定理
【解析】【分析】作 OE⊥AB 于 E，交 CD 于 F，如图，连结 OA、OC，由 AB∥CD，根据平行线的性质得
OF⊥CD，再根据勾股定理得 CF= CD=8，AE= AB=15，然后根据勾股定理计算出 OE 和 OF，再求它们的
差或和即可．
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