资料简介
第二十章解直角三角形单元测试
一.单选题（共 10 题；共 30 分）
1.如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则 tanA 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
2.在 Rt△ABC 中，∠C=90o ， AC=4，AB=5，则 sinB 的值是 ( )
A. B. C. D.
3.如果∠A 为锐角，sinA= ， 那么（ ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
4.已知：∠A 为锐角，且 cosA≥ ， 则（ ）
A. 0°＜∠A≤60° B. 60°≤∠A＜90° C. 0°＜∠A≤30° D. 30°≤∠A＜90°
5.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D．若 AC=2，BC=1，则 sin∠ACD=（ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC 中，（tanA﹣ ）2+| ﹣cosB|=0，则∠C 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
7.三角形在方格纸中的位置如图所示，则 cosα的值是（ ）
A. B. C. D.
8.在△ABC 中，∠C=90°，tanA= ，那么 sinA 的值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点 A 在半径为 3 的⊙O 内，OA= ， P 为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于（ ）
A. B. C. D. 2
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM= ， 则 tanB 的值为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（共 8 题；共 24 分）
11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，则α+β=________
12.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=1，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=255；③tanA=2；④sinB=12 ，
其中正确的是________
13.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=8，sinA= ， 则 BC 的长是________
14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，则 sinB 的值为________
15.如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C 是射线 BM 上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定 BC 长的是________ ．（填写所有符合条件的序号）
①AC=13；②tan∠ACB=125； ③连接 AC，△ABC 的面积为 126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，BC=________．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75）
16.如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以 A 为圆心，AO 为半径画弧，两弧
交于点 B，画射线 OB，则 sin∠AOB 的值等于________．
17.如果α是锐角，且 tanα=cot20°，那么α=________度．
18.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CM 为 AB 边上的中线，AN⊥CM，交 BC 于点 N．若 CM=3，AN=4，则
tan∠CAN 的值为________．
三.解答题（共 6 题；共 36 分）
19.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= ， AD=4．
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（1）求 BC 的长；
（2）求 tan∠DAE 的值．
20.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan C＝12，AC＝3，AB＝4，求 BD 的长．(结果保留根号)
21.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AC=8，AB=10，求 cos∠BCD 的值．
22.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知 AC=8，AB=10，求∠B 的三个三角函数值．
23.求满足下列条件的锐角α（精确到 0.01°）．
（1）sinα= ；
（2）cosα=0.2；
（3）tanα=3．
24.已知：如图，在△ABC 中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求 BC 的长．
四.综合题（共 1 题；共 10 分）
25.用计算器求下式的值：
(1)tan75°；
(2)tan54°45′.
答案解析部分
一.单选题
1.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据 tanA 是角 A 的对边比邻边，直接得出答案 tanA 的值．
【解答】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= ．
故选 B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】正弦的定义：角 A 的正弦=角 A 的对边：斜边
【解答】由题意得 ，
故选 D.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成.
3.【答案】A
【考点】计算器—三角函数
【解析】解：∵sin30°= ， 0＜ ＜ ，
∴0°＜∠A＜30°．
故选 A．
【分析】首先明确 sin30°= ， 再根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°= ， 余弦函数值随角增大而减小，
∴当 cosA≥ 时，∠A≤60°．
又∠A 是锐角，
∴0°＜A≤60°．
故选 A．
【分析】首先明确 cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
5.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB= ，
由余角的性质，得∠ACD=∠B，
由正弦函数的定义，得
sin∠ACD=sin∠B= ，
故选：B．
【分析】根据勾股定理，可得 AB，根据余角的性质，可得∠ACD=∠B，再根据等角的三角函数相等，可得
答案．
6.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵（tanA﹣ ）2+| ﹣cosB|=0，
∴tanA﹣ =0， ﹣cosB=0，
∴tanA= ， cosB= ，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，
故选 B．
【分析】先根据非负数的性质求出 tanA 及 cosB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值，
根据三角形内角和定理即可得出结论．
7.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
根据网格特点可知，AC=4，BC=3， 由勾股定理得，AB= =5，则 cosα= = ，
故选：D．
【分析】根据网格特点和勾股定理分别求出 AC、AB，根据余弦的定义计算即可．
8.【答案】A
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，tanA= ，
∴设 a=3k，b=4k，
∴c= =5k，
∴sinA= ．
故选 A．
【分析】利用正切的定义得到 tanA= ，则可设 a=3k，b=4k，再根据勾股定理计算出 c=5k，然后根据
正弦的定义求解．
9.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，OA⊥AP，
∴PA 取最小值，
又∵OA、OP 是定值，
∴PA⊥OA 时，PA 取最小值；
在直角三角形 OPA 中，OA= ， OP=3，
∴PA= ．
故选 B．
【分析】当 PA⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形 OPA 中利用勾股定理求 PA
的值即可．
10.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 Rt△ACM 中，sin∠CAM= ，
设 CM=3x，则 AM=5x，
根据勾股定理得：AC= =4x，
又 M 为 BC 的中点，
∴BC=2CM=6x，
在 Rt△ABC 中，tanB= ．
故选 B
【分析】在直角三角形 ACM 中，利用锐角三角函数定义表示出 sin∠CAM，由已知 sin∠CAM 的值，设 CM=3x，
得到 AM=5x，根据勾股定理求出 AC=4x，由 M 为 BC 的中点，得到 BC=2CM，表示出 BC，在直角三角形 ABC
中，利用锐角三角函数定义表示出 tanB，将表示出的 AC 与 BC 代入即可求出值．
二.填空题
11.【答案】75°
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵|sinα﹣12|+(tanβ-1)2=0 ，
∴sinα=12 ， tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
【分析】根据非负数的性质求出 sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
12.【答案】②③
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=1，
∴AB=5 ，
∴①sinA=BCAB=25=255 ， 故此选项错误；
②cosB=BCAB=25=255 ， 故此选项正确；
③tanA=BCAC=2，故此选项正确；
④sinB=ACAB=15=55 ， 故此选项错误．
故答案为：②③．
【分析】首先求出 AB 的长，进而利用锐角三角函数关系分别判断得出答案．
13.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAB ，
∴BC8=34 ，
解得 BC=6．
故答案为：6．
【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
14.【答案】32
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB=2BC，
∴AC=2BC2-BC2=3BC，
∴sinB=ACAB=3BC2BC=32 ．
故答案为 32 ．
【分析】利用勾股定理求出 AC 的长（用 BC 表示），然后根据正弦函数的定义求比值即可．
15.【答案】②③；21
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）②③；
（2）方案一：选②
作 AD⊥BC 于 D，
则∠ADB=∠ADC=90°．
在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°，
∴AD=AB•sinB=12，BD=AB•cosB=16，
在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°，
∴CD=ADtan∠ACB=5，
∴BC=BD+CD=21．
方案二：选③
作 CE⊥AB 于 E，则∠BEC=90°，
由 S△ABC=12AB•CE 得 CE=12.6，
在 Rt△BEC 中，∵∠BEC=90°，
∴BC=CEsinB=21．
【分析】根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出 BC 的长，得到（1）（2）
的答案．
16.【答案】32
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A， ∴OA=OB，
∵以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°= 32 ；
故答案为： 32 ．
【分析】连接 AB，先根据题意判断出△AOB 的形状，再得出∠AOB 的度数，由特殊角的三角函数值即可
得出结论．
17.【答案】70
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，
∴∠α+20°=90°，
即∠α=90°﹣20°=70°．
故答案为 70．
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
18.【答案】23
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM 为 AB 边上的中线， ∴AB=2CM=6，
∴∠B=∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB=∠CAN，
∴∠B=∠CAN，
∴△CAN∽△CBA，
∴ CNAC=ANAB = 46 = 23 ，
∴tan∠CAN= CNAC = 23 ．
故答案为： 23 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到 AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性
质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到 CNAC=ANAB = 46 = 23 ，根据三
角函数的定义即可得到结论．
三.解答题
19.【答案】（1）在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，
∴DC=AD=4．
在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB= ， AD=4，
∴AB=
∴BD= ，
∴BC=BD+DC=
（2）∵AE 是 BC 边上的中线，
∴CE= BC= ，
∴DE=CE-CD= ，
∴tan∠DAE= ．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解 Rt△ADC，得出 DC=4；解 Rt
△ADB，得出 AB=6，根据勾股定理求出 BD=2 ， 然后根据 BC=BD+DC 即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CE-CD，然后在 Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可
求解．
20.【答案】解：AD 是 BC 边上的高．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ADC 中，
∵tan C＝12，∴ADCD＝12.
∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(35)2 ，
∴AD＝3，
∴在 Rt△ADB 中，BD＝42-32＝7.
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】考查解直角三角形。
21.【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵AB=10，AC=8，
∴cos∠BCD=cosA=ACAB=810=45．
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠A，得出 cos∠BCD=cosA，求出 cosA 即可．
22.【答案】解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=AB2-AC2=6，
则 sinB=ACAB=45，
cosB=BCAB=35，
tanB=ACBC=43．
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻
边计算即可．
23.【答案】解：（1）∵sinα=12，∴α=30°；
（2）∵cosα=0.2，
∴α≈78.45°；
（3）∵tanα=3，
∴α≈71.6．
【考点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）直接利用计算器求出α的角度即可；
（2）直接利用计算器求出α的角度即可；
（3）直接利用计算器求出α的角度即可．
24.【答案】解：∵∠A=105°，∠B=30°． ∴∠C=45°．
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在 Rt△ADC 中，
∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2．
∴∠DAC═∠C=45°．
∵sinC= ，
∴AD= ．
∴AD=CD= ．
在 Rt△ADB 中，∠ADB=90°，∠B=30°．
∵AD= ，
∴AB=2 ．
∴由勾股定理得：BD= ．
∴BC=BD+CD= ．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，根据锐角三角
函数的定义求出 AD 的长，再根据勾股定理求出 BD 的长，进而可得出结论．
四.综合题
25.【答案】（1）解答：tan75°≈3.732，
（2）解答：tan54°45′=tan54.75°≈1.415.
故答案是 3.732；1.415.
【考点】计算器—三角函数
【解析】直接利用计算器计算即可.
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