资料简介
第十章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是( )
①2022 年 8 月 18 日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在 4 ℃时结冰；
③从标有 1,2,3,4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；④向量的模不小于 0.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选 B.
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
3．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为
5
6
，已知袋中有红球和白球，
红球有 3 个，那么袋中球的总个数为( )
A．16 B．18
C．20 D．24
答案 B
解析 设袋中有 x 个球，因为摸出白球的概率为
5
6
，故摸到红球的概率为
1
6
，
且袋中红球有 3 个，所以
3
x
＝
1
6
.所以 x＝18.
4．将数字 1,2,3 填入标号为 1,2,3 的三个方格里，每格填上一个数字，则每个
方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( )
A.
1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
答案 B
解析 将数字 1,2,3 填入标号为 1,2,3 的三个方格里有 6 种不同的填法，这 6
种情况发生的可能性是相等的．而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有两
种不同的填法．故所求概率 P＝
2
6
＝
1
3
.
5．对于同一试验来说，若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，则事
件 A 与事件 B 的关系是 ( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案 C
解析 ∵事件 A，B 不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件 A，B 的关系
是互斥且对立．
6．若“A＋B”发生(A，B 中至少有一个发生)的概率为 0.6，则 A
－，B
－同时发
生的概率为( )
A．0.6 B．0.36
C．0.24 D．0.4
答案 D
解析 “A＋B”发生指 A，B 中至少有一个发生，它的对立事件为 A，B 都
不发生，即 A
－， B
－同时发生．故选 D.
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级
品的概率为 0.03、丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件，抽得次品的概率为
( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
答案 D
解析 设“抽得次品”为事件 A，“抽得乙级品”为事件 B，“抽得丙级品”
为事件 C，由题意，知事件 B 与事件 C 是互斥事件，且 A＝B∪C，所以 P(A)＝
P(B∪C)＝[P(B)＋P(C)]＝0.03＋0.01＝0.04.
8．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是
女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案 D
解析 设 2 名男同学为 A1，A2,3 名女同学为 B1，B2，B3，从以上 5 名同学中
任选 2 人总共有 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3
共 10 种等可能的情况，选中的 2 人都是女同学的情况共有 B1B2，B1B3，B2B3 3
种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 P＝
3
10
＝0.3.故选 D.
9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了
一个 9 元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少
抢到 2 元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是
( )
A.
1
3
B.
3
10
C.
2
5
D.
3
4
答案 C
解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，
(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有 10 种等可能的情况．而丙
获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，
(3,3,3)，(3,4,2)，共 4 种，故所求概率为
4
10
＝
2
5
，故选 C.
10．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、
蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概
率为( )
A.
3
4
B.
3
8
C.
1
4
D.
1
8
答案 A
解析 每一个图形有 2 种涂法，总的涂色种数为 23＝8，三个图形颜色完全
相同的有 2 种(全是红或全是蓝)，则三个图形颜色不全相同的涂法种数为 8－2＝
6.所以三个图形颜色不全相同的概率为
6
8
＝
3
4
.故选 A.
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取 3
次，则下列事件的概率为
8
9
的是( )
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
答案 B
解析 有放回地取球 3 次，共 27 种可能结果，其中颜色相同的结果有 3 种，
其概率为
3
27
＝
1
9
；颜色不全相同的结果有 24 种，其概率为
24
27
＝
8
9
；颜色全不相同的
结果有 6 种，其概率为
6
27
＝
2
9
；无红球的结果有 8 种，其概率为
8
27
.故选 B.
12．为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 名工人
某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，
[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于 20 件产品的工
人中随机地选取 2 名进行培训，则这 2 名工人不在同一组的概率是( )
A.
1
10
B.
7
15
C.
8
15
D.
13
15
答案 C
解析 根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数
分别为 5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的 2 人分
别是 A，B，[15,20)内的 4 人分别为 C，D，E，F，则从生产低于 20 件产品的工
人中随机选取 2 名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，
C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，
F)，共 15 个，且这 15 个样本点发生的可能性是相等的.2 名工人不在同一组的样
本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共
8 个，则选取的 2 名工人不在同一组的概率为
8
15
.
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横
线上)
13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1,2,3,4,5，若从中
一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于 6 的概率为________．
答案
2
5
解析 画树状图如下：
，共 20 种等可
能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于 6 的结果有 8 种，故所求概率为
8
20
＝
2
5
.
14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字 1～5 进行了标
记，投掷 100 次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于 4 的频率为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于 4，即 4,5 的频数共 13＋22＝35，所以所求频
率＝
35
100
＝0.35.
15．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了 20000 辆
汽车的数据，时间是从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 600 辆汽
车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
答案 0.03
解析 设“一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎”为事件 A，由频率的稳定性，
知事件 A 发生的频率为
600
20000
＝
3
100
＝0.03，即是概率的近似值．
16．A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，则 A 或 B 在边上的概率为
________．
答案
5
6
解析 A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，样本点总数为 24，如下
图所示．
这 24 个样本点发生的可能性是相等的．其中 A，B 都不在边上共 4 个样本点，
所以 A 或 B 在边上的概率为 P＝1－
4
24
＝
5
6
.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、
乙、丙、丁 4 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”
表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最
大？
解 (1)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙
和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
1000
＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、
丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所
以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为
100＋200
1000
＝0.3.
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
200
1000
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
100＋200＋300
1000
＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
100
1000
＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演
讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，
A3，A4，A5,3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1
人，求 A1被选中且 B1 未被选中的概率．
解 (1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件 A，
则 P(A)＝
8＋2＋5
45
＝
1
3
.
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为
1
3
.
(2)从 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的所有样本点有：(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共 15 个，且这 15
个样本点发生的可能性是相等的．其中 A1被选中且 B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，
B3)共 2 个，所以 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P＝
2
15
.
19．(本小题满分 12 分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞
赛，从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下
频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：
(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组
区间的概率．
解 (1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝
0.25.
(2)依题意可得，
平均分 x
－＝ (45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋
95×0.005)×10＝72.5.
故这次考试平均分的估计值为 72.5.
(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是 3 和 3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内
的学生中选两人，将[40,50)分数段的 3 人编号为 A1，A2，A3，将[90,100]分数段的
3 人编号为 B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间 Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，
B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，
B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有 15 个样本点，这 15 个样本
点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，
(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 6 个，故所求概率 P＝
6
15
＝
2
5
.
20．(本小题满分 12 分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字 1,2,3，这三
张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取 3 次，每次抽取
一张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率．
解 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，
(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，
(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，
(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种，且这 27 种结果发生的可能性是相等的．
设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)，
(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种，所以 P(A)＝
3
27
＝
1
9
.因此，“抽取的卡片上的数字满足 a
＋b＝c”的概率为
1
9
.
(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件B
－包括
(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种，所以 P(B)＝1－P( B
－
)＝1－
3
27
＝
8
9
.因此，“抽取
的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为
8
9
.
21．(本小题满分 12 分)已知在某次 1500 米体能测试中，甲、乙、丙 3 人各
自通过测试的概率分别为
2
5
，
3
4
，
1
3
，且三人是否通过测试互不影响．求：
(1)3 人都通过体能测试的概率；
(2)只有 2 人通过体能测试的概率；
(3)只有 1 人通过体能测试的概率．
解 设事件 A＝“甲通过体能测试”，事件 B＝“乙通过体能测试”，事件
C＝“丙通过体能测试”，
则 P(A)＝
2
5
，P(B)＝
3
4
，P(C)＝
1
3
.
(1)设 M1表示“甲、乙、丙 3 人都通过体能测试”，即 M1＝ABC，则由 A，
B，C 相互独立，可得 P(M1)＝P(A)·P(B)P(C)＝
2
5
×
3
4
×
1
3
＝
1
10
.
(2)设 M2表示“只有 2 人通过体能测试”，则 M2＝AB C
－＋A B
－
C＋ A
－
BC，由
于事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 均相互独立，且事件 AB C
－，A B
－
C， A
－
BC 两两互
斥，则
P(M2)＝P(AB C
－∪A B
－
C∪ A
－
BC)＝P(AB C
－
)＋P(A B
－
C)＋P( A
－
BC)＝
2
5
×
3
4
×
1－
1
3
＋
2
5
×
1－
3
4
×
1
3
＋
1－
2
5
×
3
4
×
1
3
＝
1
5
＋
1
30
＋
3
20
＝
23
60
.
(3)设 M3表示事件“只有 1 人通过体能测试”．
则 M3＝A B
－
C
－＋ A
－
B C
－＋ A
－
B
－
C，由于事件 A、B
－、C
－，A
－、B、C
－，A
－、B
－、
C 均相互独立，并且事件 A B
－
C
－， A
－
B C
－， A
－
B
－
C 两两互斥，所以所求的概率为
P(M3)＝P(A)P( B
－
)P( C
－
)＋P( A
－
)P(B)P( C
－
)＋P( A
－
)·P( B
－
)P(C)
＝
2
5
×
1－
3
4
×
1－
1
3
＋
1－
2
5
×
3
4
×
1－
1
3
＋
1－
2
5
×
1－
3
4
×
1
3
＝
5
12
.
22．(本小题满分 12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参
加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记
录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别
为 x，y.奖励规则如下：
①若 xy≤3，则奖励玩具一个；
②若 xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间 Ω＝{(x，
y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}．
因为 Ω中元素的个数是 4×4＝16.
所以样本点总数 n＝16.
记“xy≤3”为事件 A，
则事件 A 包含的样本点共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以 P(A)＝
5
16
，即小亮获得玩具的概率为
5
16
.
(2)记“xy≥8”为事件 B，“3
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