资料简介
第八章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③
④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．
2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方
体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A.
2
3
B.
7
6
C.
4
5
D.
5
6
答案 D
解析 棱长为 1 的正方体的体积为 1,8 个三棱锥的体积为 8×
1
3
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
＝
1
6
，所以剩下的几何体的体积为 1－
1
6
＝
5
6
.
3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中
B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
3
2
，那么原△ABC 的面积是( )
A. 3 B．2 2
C.
3
2
D.
3
4
答案 A
解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×
3
2
＝
3，由图易得 AO⊥BC，∴S△ABC＝
1
2
×2× 3＝ 3，故选 A.
4．若 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
答案 B
解析 当 l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与 l3相交或异面，故 A 不正确；l1⊥l2，
l2∥l3⇒l1⊥l3，故 B 正确；当 l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条
侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶
点出发的三条棱，故 D 不正确．
5．如图所示，平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与两平面 α，β所成的角分
别为
π
4
和
π
6
.过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 A′，B′，则 AB∶A′B′
等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图，由已知得 AA′⊥面 β，∠ABA′＝
π
6
，BB′⊥面 α，∠BAB′＝
π
4
.设 AB＝a，则 BA′＝
3
2
a，BB′＝
2
2
a，在 Rt△BA′B′中，A′B′＝
1
2
a，∴
AB∶A′B′＝2∶1.
6．用 m，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A．若 m∥n，n⊂α，则 m∥α
B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n
C．若 m⊥n，n⊂α，则 m⊥α
D．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n
答案 D
解析 若 m∥n，n⊂α，则 m∥α或 m⊂α，故排除 A；若 m∥α，n⊂α，则 m
∥n 或 m，n 异面，故排除 B；若 m⊥n，n⊂α，则不能得出 m⊥α，例如，m⊥n，
n⊂α，m⊂α，则 m 与 α不垂直，故排除 C.故选 D.
7．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是( )
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与 DC 成 45°角 D．A1C1与 B1C 成 60°角
答案 D
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，异面直线 A1C1与 AD 所成的角
为 45°；直线 D1C1与直线 AB 平行；异面直线 AC1与 DC 所成的角的大小为∠C1AB
的大小，其正切值为
BC1
AB
＝ 2≠1，所以异面直线 AC1 与 DC 所成的角不是 45°；
连接 A1D，DC1，因为 A1D∥B1C，所以异面直线 A1C1与 B1C 所成的角就是直线
A1C1 与直线 A1D 所成的角．而△A1DC1 是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即
A1C1与 B1C 所成的角为 60°.所以答案选 D.
8．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△A′DE
是△ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线 BC∥
平面 A′DE；②恒有直线 DE⊥平面 A′FG；③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 由 BC∥DE 知，恒有直线 BC∥平面 A′DE，①正确；由 DE⊥A′G，
DE⊥FG 知，恒有直线 DE⊥平面 A′FG，②正确；由直线 DE⊥平面 A′FG，
DE⊂平面 A′DE 知，恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE，③正确．
9．如图，在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 6 的正三角形，SA＝SB＝
SC＝15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H，且 D，E 分
别是AB，BC的中点，如果直线 SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A.
45
2
B.
45 3
2
C．45 D．45 3
答案 A
解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SG⊥AC，BG⊥AC，故 AC⊥平
面 SGB，所以 AC⊥SB.因为 SB∥平面 DEFH，SB⊂平面 SAB，平面 SAB∩平面
DEFH＝HD，所以 SB∥HD.同理 SB∥FE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，
F 也分别为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊
1
2
AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行
四边形．又 AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以 DE⊥HD，所以四边形 DEFH 为
矩形，其面积 S＝HF·HD＝
1
2
AC ·
1
2
SB ＝
45
2
.
10．PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60°，
那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( )
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
3
D.
6
3
答案 C
解析 构造正方体如图所示，连接 AB，过点 C 作 CO⊥平面 PAB，垂足为 O，
易知 O 是正三角形 ABP 的中心，连接 PO 并延长交 AB 于 D，于是∠CPO 为直线
PC 与平面 PAB 所成的角．设 PC＝a，则 PD＝
3a
2
，故 PO＝
2
3
PD＝
3
3
a，故 cos
∠CPO＝
PO
PC
＝
3
3
.故选 C.
11．已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，
AB＝1，BC＝ 2，若球 O 的表面积为 4π，则 SA＝( )
A.
2
2
B．1
C. 2 D.
3
2
答案 B
解析 根据已知把 S－ABC补成如图所示的长方体．因为球 O的表面积为 4π，
所以球 O 的半径 R＝1,2R＝ SA2＋1＋2＝2，解得 SA＝1，故选 B.
12．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝
π
2
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD
绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
2π
3
B.
4π
3
C.
5π
3
D．2π
答案 C
解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线
旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆的半径，线段 BC 为母线的
圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体
的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC－
1
3
·π·CE2·DE＝π×12×2－
1
3
π×12×1＝
5π
3
，
故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横
线上)
13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB
⊥EF；②AB 与 CM 所成的角为 60°；③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为 AB∥MC，MC
⊥EF，所以 AB⊥EF，故①正确，②错误；EF 与 MN 是异面直线，故③正确；易
知 MN⊥CD，故④错误．故填①③.
14．如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD 把△
ADC 折叠到△ADC′处，使二面角 B－AD－C′为 60°，则折叠后二面角 A－BC′
－D 的正切值为________．
答案 2
解析 易知∠BDC′即为二面角 B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，
所以△BDC′为等边三角形．取 BC′的中点 M，连接 DM，AM，易知 DM⊥BC′，
AM⊥BC′，所以二面角 A－BC′－D 的平面角为∠AMD.在等边三角形 ABC 中，
易知 AD＝2 3，在等边三角形 BDC′中，易知 DM＝ 3，所以 tan∠AMD＝
AD
DM
＝
2.
15．已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点
E，使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是________．
答案 a>6
解析 如图所示，连接 AE，要使 PE⊥DE，由于 DE⊥PA，则需 DE⊥AE.
要使在矩形 ABCD 中，∠AED＝90°，
满足条件的 E 点有两个，
则需以 AD 为直径的圆与 BC 相割．
∴圆心到 BC 边的距离 d6.
16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm
和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，
液面高度为 20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这
个简单几何体的总高度为________cm.
答案 29
解析 设上、下圆柱的半径分别是 r cm，R cm，高分别是 h cm，H cm.由水
的体积不变得 πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又 r＝1，R＝3，故 H＋h＝
29.即这个简单几何体的总高度为 29 cm.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，
用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
求铁丝的最短长度．
解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图所
示)，由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A、点 C 分别是铁丝的起、止位置，
故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短
长度为 5π cm.
18.(本小题满分 12 分)如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图
中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解 由题意知，所成几何体的表面积＝圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半
球面的面积．
又 S 半球面＝
1
2
×4π×22＝8π(cm2)，
S 圆台侧＝π×(2＋5)× (5－2)2＋42＝35π(cm2)，
S 圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
所以所得几何体的表面积为
S 半球面＋S 圆台侧＋S 圆台下底
＝8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又 V 圆台＝
π
3
×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V 半球＝
1
2
×
4π
3
×23＝
16π
3
(cm3)，
所以所得几何体的体积为
V 圆台－V 半球＝52π－
16π
3
＝
140π
3
(cm3)．
19．(本小题满分 12 分)如图，已知四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1⊥平面 ABCD，∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱 AA1 的中点，M 为线段 BD1
的中点．
求证：(1)MF∥平面 ABCD；
(2)MF⊥平面 BDD1B1.
证明 (1)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∴OM 綊
1
2
DD1.
又 DD1綊 A1A，∴OM 綊
1
2
A1A.
又 AF＝
1
2
A1A，∴OM 綊 AF，
∴四边形 MOAF 是平行四边形，
∴MF∥CA.
又 CA⊂平面 ABCD，MF⊄平面 ABCD，
∴MF∥平面 ABCD.
(2)∵底面 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD.
又 B1B⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，
∴AC⊥B1B，而 BD∩B1B＝B，
∴AC⊥平面 BDD1B1.
又 MF∥AC，∴MF⊥平面 BDD1B1.
20．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC
－A1B1C1中，F，F1分别是 AC，A1C1的中点．求证：
(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF；
(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
证明 (1)如图所示，连接 FF1，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，A1C1綊 AC，
BB1綊 CC1.
∵F，F1分别是 AC，A1C1的中点，
∴C1F1綊 AF 綊
1
2
AC，FF1綊 CC1綊 BB1，
∴四边形 AFC1F1 和四边形 BFF1B1均为平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
∵B1F1⊄平面 C1BF，BF⊂平面 C1BF，
∴B1F1∥平面 C1BF.
同理 AF1∥平面 C1BF，又 B1F1∩AF1＝F1，
∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.
(2)在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面 A1B1C1，
又 B1F1⊂平面 A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1，
∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
21．(本小题满分 12 分)如图①，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝
π
2
，
AB＝BC＝
1
2
AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折
起到图②中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面 A1OC；
(2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1－BCDE 的体积为 36 2，求 a 的
值．
解 (1)证明：在图①中，因为 AB＝BC＝
1
2
AD＝a，E 是 AD 的中点，∠BAD
＝
π
2
，所以 BE⊥AC.
即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又 A1O∩OC＝O，从而 BE⊥平面 A1OC.
因为 BC 綊
1
2
AD 綊 ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形，
所以 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC.
(2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE，
且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE，
又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE.
即 A1O 是四棱锥 A1－BCDE 的高．
由图①知，A1O＝
2
2
AB＝
2
2
a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥 A1－BCDE 的体积为
V＝
1
3
S·A1O＝
1
3
×a2×
2
2
a＝
2
6
a3.
由
2
6
a3＝36 2，得 a＝6.
22．(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2
的菱形，∠BAD＝
π
3
，△PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PD⊥BF.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若 E 在线段 BC 上，且 EC＝
1
4
BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面
DEG⊥平面 ABCD？若存在，求出三棱锥 D－CEG 的体积；若不存在，请说明理
由．
解 (1)证明：连接 PF，∵△PAD 是等边三角形，
∴PF⊥AD.
∵底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝
π
3
，
∴BF⊥AD.
又 PF∩BF＝F，∴AD⊥平面 BFP，
又 PB⊂平面 BFP，∴AD⊥PB.
(2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD.
由(1)知 AD⊥BF，
∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，
∴BF⊥平面 PAD.
又 BF⊂平面 ABCD，∴平面 ABCD⊥平面 PAD，
又平面 ABCD∩平面 PAD＝AD，且 PF⊥AD，
∴PF⊥平面 ABCD.
连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HG∥PF 交 PC 于 G，
∴GH⊥平面 ABCD.
又 GH⊂平面 DEG，∴平面 DEG⊥平面 ABCD.
∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，
∴
CH
HF
＝
CE
DF
＝
1
2
，
∴
CG
GP
＝
CH
HF
＝
1
2
，
∴GH＝
1
3
PF＝
3
3
，
∴VD－CEG＝VG－CDE＝
1
3
S△CDE·GH
＝
1
3
×
1
2
DC·CE·sin
π
3
·GH＝
1
12
.
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