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第四章 指数函数与对数函数
4. 2.1 指数函数的概念
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）下列函数中指数函数的个数是（ ）．
① 2 3xy = ②
13xy += ③ 3xy = ④
3y x=
A. 0 B.1 C. 2 D.3
【答案】B
【解析】形如 ( )0 1xy a a a= 且 的函数称为指数函数.
2．（2019·全国高一课时练）若 ( )
3
41 2x
−
− 有意义，则 x的取值范围是（ ）
A． x R B．
1
2
x C．
1
2
x D．
1
2
x
【答案】D
【解析】因为 ( )
( )
3
4
3
4
1
1 2
1 2
x
x
−
− =
−
，所以1 2 0x− 即
1
2
x ，故应选 D.
3．（2019·全国高一课时练）一个模具厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 m 倍，那么该模具厂这一年
中产量的月平均增长率是( )
A． B． C． －1 D． －1
【答案】D
【解析】设平均增长率为 x,则由题意得(1 + ?)11 = ?,解之得x = √?
11 − 1 故选 D
4.（2019·全国高一课时练）函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有（ ）
A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1
【答案】C
【解析】函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数,根据指数函数的定义得到 a2－3a＋3=1，且 a>0,解得 a=1 或 2，
因为指数函数的底数不能为 1，故结果为 2.故答案为：C.
5．（2019·四川高考模拟）已知函数 ( )
2
1
, 3
3
, 3
x
x
f x
x x
=
，则 ( )( )2f f − 的值为（ ）
A．81 B．27 C．9 D．
1
9
2
【答案】A
【解析】 ( )
2
1
2 9
3
f
−
− = =
，∴ ( )( ) ( ) 22 9 9 81f f f− == = .故选 A.
6．（2019·北京高考模拟）放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，
铅制容器中有两种放射性物质 A ， B ，开始记录时容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而 120
小时后两种物质的质量相等，已知物质 A 的半衰期为 7.5 小时，则物质 B 的半衰期为（ ）
A．10 小时 B．8 小时 C．12 小时 D．15 小时
【答案】B
【解析】由题意得
120
7.5
= 16．又不妨设 mB＝1．则 mA＝2．
设物质 B 的半衰期为 t．由题意可得：2
120
161 1
( ) ( )
2 2
t = ，解得 t＝8．故选：B．
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练）已知函数 f(x)＝
( )
2 , 3
{
1 , 3
x x
f x x
+
则 f(2)＝________.
【答案】8
【解析】f(2)＝f(3)＝23＝8.故答案为 8
8．（2019·全国高一课时练）已知3 2 1,a b+ = 则
9 3
3
a b
a
=__________.
【答案】 3
【解析】
32
2
2 2
2
9 3 3 3
3 3 ,
3 3
aa b a b
a b a b
aa
+ − +
= = = 因为3 2 1,a b+ = 所以
3 1
2 2
a b+ = ，
9 3
3
a b
a
= 3 .
9．（2019·陕西高考模拟（理））已知函数 xy e= 的值域为集合 A，集合 { | 2 3}B x x= − ，则 A B =
【答案】{ | 2}x x −
【解析】由题得 A=(0,+∞)，所以 2A B x x = − .故选：C
10.（2019·全国高一课时练）一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝
后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得
3
超过0.08mg/ml．那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时)．
【答案】5
【解析】设 x 小时后，血液中的酒精含量不超过 0.09mg/mL，则有0.3 × (
3
4
)? ≤ 0.08，即(
3
4
)? ≤
8
30
,一一取 x=1，
2，3，…进行估算或取对数计算得 5 小时后，可以开车
三、解答题
12．已知指数函数? = ?(?)满足?(3) = 8，定义域为 R 的函数?(?) = ?(?) − ?(−?)．
(1)求? = ?(?)? = ?(?)的解析式；
(2)判断函数?(?)的奇偶性；
【答案】（1）?(?) = 2? − 2−?；（2）见解析；【解析】
【详解】解：(1)根据题意，函数? = ?(?)为指数函数，设?(?) = ??，
若?(3) = 8，则?3 = 8，解可得? = 2，则?(?) = 2?，?(?) = ?(?) − ?(−?) = 2? − 2−?，
(2)由(1)的结论，?(?) = 2? − 2−?，
则?(−?) = 2−? − 2? = −(2? − 2−?) = −?(?)，函数?(?)为奇函数；
12．（2019·广东高一期末）已知函数 f（x）=ax（a＞0 且 a≠1）的图象过的（-2，16）．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）若 f（2m+5）＜f（3m+3），求 m 的取值范围．
【答案】（1）f（x）=
x
1
4
； （2）m＜2.
【解析】（1）∵函数 f（x）=ax（a＞0 且 a≠1）的图象过点（-2，16），
∴a-2=16∴a=
1
4
，即 f（x）=
x
1
4
，
（2）∵f（x）=
x
1
4
为减函数，f（2m+5）＜f（3m+3），
∴2m+5＞3m+3，解得 m＜2．
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