资料简介
君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育
机构
高二数学下学期期末测试
一、选择题：本大题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．设函数 12 xy 的定义域为 A， )32lg( 2 xxy 的定义域为 B ，则 BA （ ）
A． ),3( B． )3,2
1[ C． )1,( D． ]2
1,1(
2．若 2)21( iz （ i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设 2 2 , 0 2M x x N y y ，给出下列 4 个图形，其中能表示以集合 M
为定义域， N 为值域的函数关系的是（ ）
A B C D
4． 已知 ],0[,1cos)( 2 xxxf ，则 )(xf 的单调递增区间是（ ）
A． ]2,[ B． ],0[ C． ],2[ D． ]2,0[
5．已知双曲线的一条渐近线方程为 xy 2 ，且点 )2,2(P 在此双曲线上，则双曲线的离心率
为（ ）
A． 5 B．5 C． 3 D．3
6．给出下列命题：①对 实数 y ，都 一个实数 x ，使得 2xy ；②两个非零向量 a 与 b
垂直的充要条件是|a+b|=|a-b|；③如果两条直线 ba, 和平面 M 满足 Ma ，且 Mb ，
则 ba // ；④ 一个实数 x ，使 022 xx .其中真命题的序号是( )
A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③
7．一个袋中装有大小相同的 5 只白球和 3 只红球，现在不放回的取 2 次，记“第 1 次拿出
的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则事件 A 与 B 同时发生的概
率是（ ）
A．
8
5 B．
16
5 C．
7
4 D．
14
5
x x x x
y y y y
O O O O
2 2 2 2
-2 -2 -2 -22 2 2 2
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8．如右下图所示的框图算法中，若输入 8n ，则输出的 S （ ）
A．239
B．494
C．1004
D．2024
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．本大题分为必做题和选做题两部
分.
（一）必做题：第 9、10、11、12 题是必做题，每道试题考生都必须做答．
9．一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角
形，则这个几何体的表面积
是 ；体积是 ．
10．若 n
x
x )1( 2
3 的展开式中，第 6 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．
11．利用定积分的几何意义，计算： dxx2
1
24 ．
12．设数列 }!{ nn 的前 n 项和为 nS ，则 3S = ，当 4n 时， nS = ．
（二）选做题：第 13、14、15 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两
①
①
开始
i=1
S=0
i=i+1
S=S+M
输出S
结束
是
否
i≤n?
M=0
M=2M+2
输入n
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题的得分．
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以 )2,2( a 为圆心，
2
a 为半径的圆的极坐标
方程是 ，该圆与极轴平行的切线的极坐标方程是 ．
14．（不等式选讲选做题）已知 cba ,, 为正数，且 1323 cba ，则 cba 32 的最
大值是 ， cba 32 取得最大值时 cba ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ，已知
6AC ，圆O 的半径为3 ，圆心O 到 AC 的距离为 5 ，
则 AD ，
DC
BD ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤
16．(本小题满分 14 分)
同时抛掷 4 枚均匀的硬币 80 次，设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上，2 枚反面向上的
次数为ξ．
(Ⅰ) 求抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率；
(Ⅱ) 求 的数学期望和方差．
17．(本小题满分 14 分)
已知函数 Rxxxxy )],6cos()6sin(3)[6cos( ．
(Ⅰ) 求函数 y 的最大值及相应的自变量 x 的集合；
(Ⅱ) 该函数的图象可由 )(sin Rxxy 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
18．(本小题满分 14 分)
如右图，把边长为 1 的正方形 ABDC 沿对角线 BC 折
起得到三棱锥 ABCD ， O 是 BC 边上一点．
(Ⅰ) 求 DO 的取值范围；
(Ⅱ) 当 DO 取最小值时，证明： BC 平面 DAO ；
(Ⅲ) 若 1DA ，求二面角 BCDA 的余弦值．
19．(本小题满分 14 分)
已知向量 a= )8,1( 22 aax ，b= )2,6( 2 xx ，若 )(xf =a·b ， Rx ．
(Ⅰ) 当 9a 时，求函数 )(xf 的极值；
(Ⅱ) 若 )(xf 有两个零点，求实数 a 的值．
D
B
A
CO
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20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C 的中心在原点，长轴在 x 轴上，若椭圆上有一点 P 到两焦点的距离分别是
2
5
和
2
3 ，且过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ) 试探究椭圆 C 上是否存在两点 BA, 关于直线 mxy 2 对称，如果存在，求出实数 m
的取值范围；如果不存在，请说明理由．
21．(本小题满分 12 分)
已知 1，3，6，…的各项是一个等比数列和一个等差数列对应项相加而得到的，其中等
差数列的首项为 0．
(Ⅰ) 分别求出等差数列和等比数列的通项公式；
(Ⅱ) 若数列 1，3，6，…的前 n 项和为 nS ，求证
4
4ln
)2(2
)2(
1 2
2
nn
S
kkn
k k
k
．
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考答案
一、选择题
1．A
方法一：取 4x ，两个函数都有意义，排除 B、C、D，故选 A
方法二：由 012 x 得
2
1x ，∴ }2
1|{ xxA
由 0322 xx 得 1x 或 3x ，∴ }31|{ xxxB 或
∴ }3|{ xxBA ，故选 A
2．D
∵ 2)21( iz ，∴
5
)21(2
21
2 i
iz ，故选 D
3．B
解析：函数的定义域应为 2,2M ，排除 A；
函数值域应为 0,2N ，排除 D；
函数的对应法则不允许一对多，排除 C，故选 B
4．C
∵ ],0[,2cos2
1
2
312
2cos11cos)( 2 xxxxxf
∴ 22 x ，即 x2
．故选 C
5．A
∵双曲线的一条渐近线方程为 xy 2 ，且过点 )2,2(P ，∴双曲线的焦点在 x 轴上
∴ 2
a
b ，∴ 51 2
2
a
b
a
ce ，故选 A
6．B
①假命题．反例：取 1y ，则 12 x
②真命题．因为对于非零向量 ba, ，有
||||)()(0 22 babababababa
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③真命题．此命题是直线与平面平行的性质定理（用反证法证明）
④假命题．因为“对 Rx ， 04
7)2
1(2 22 xxx ”是真命题，所以它的否定
是假命题
故选 B
7．D
14
5
78
45
)(
)()( 2
8
2
5
C
C
n
ABnABP 或
14
5
7
4
8
5)|()()( ABPAPABP ，故选 D
8．C
∵数列 }{ na 中， 22,2 11 nn aaa ，∴ )2(22 1 nn aa
∴ 1242 n
na ，即 22 1 n
na
∴ )22()22()22( 932
8 S 8221
)21(4 8
1004201024 ．故选 C
二、填空题
9． )33(8 ； 38
∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形
∴它是一个底面边长为 4 的正三角形的三棱柱
∴ )33(842360sin42
12 2 S ， 38234 ShV
10．210
解法一：∵第 6 项的二项式系数最大，∴ 10n
设第 1r 项为常数项，则 rrrrr
r xC
x
xCT 530
102
103
101 )1()(
令 0530 r 得 6r ，∴展开式中的常数项为 2104
10
6
10 CC
解法二：同前可得 10n ，常数项为 4 个 3x 与 6 个 2
1
x
的乘积
∴展开式中的常数项为 2104
10
6
10 CC
11．
2
3
3
2 ；
解：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面
积． 312
146
1 S 2
3
3
2
12．23； 1)!1( n
231!4)!3!4()!2!3()!1!2(!33!22!11
51!3)!2!3()!1!2(!22!11
1!1!2!1)12(!11
3
2
1
S
S
S
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…
猜想： 1)!1( nSn
或者：由 !!1! nnnnan 得到
13． sina ； a sin
在 OAPRt 中
∵
OA
OPsin
∴ sina
在 OAMRt 中
∵
OM
OAsin
∴ a sin
14． 33
13 ；
6
65
∵ cba ,, 为正数，且 1323 cba
∴由柯西不等式知，
22 )3213
3
1()32( cbacba )23)(313
1( cba 133
13
当且仅当
3
23 cba 时，等号成立
∴ 33
1332 cba ，
设 kcba
329 代入 1323 cba 得 3k ，
∴
6
6592
3
3
1 cba
15． 32 ；
3
3
∵⊙ O 的半径为 3，圆心 O 到 BC 的距离为 5
∴ 4532 2 BC ，∴ 2 BCACAB
∴ 122 ACABAD ，，∴ 32AD
又 ADCABD ∽
∴
3
3
32
2
AD
AB
DC
BD （或
3
3
6
32
AC
AD
DC
BD ）
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三、解答题
16、(本小题满分 14 分)
解：(Ⅰ)设“抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上”为事件 A -------1
分
∵抛掷 4 枚硬币的基本事件总数是 42 ，其中事件 A 含 2
4C 个基本事件 -------------3
分
∴
8
3
2
)( 4
2
4 CAP -------------5
分
∴抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率是
8
3 -------------7
分
(Ⅱ) 随机变量的取值为 0，1，2，3 -------------8
分
由（1）可得：抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率是
8
3
又因为所抛掷的 80 次独立，∴ ～ )8
3,80(B -------------10
分
∴ 3,2,1,0,)8
5()8
3()( 80
80 kCkP kkk
-------------12 分
∴ 308
380 npE
4
75
8
5
8
380)1( pnpD -------------14
分
17、(本小题满分 14 分)
解：(Ⅰ) ∵ )]6cos()6sin(3)[6cos( xxxy
)6(cos)6cos()6sin(3 2 xxx -------------2
分
)]32cos(1[2
1)32sin(2
3 xx -------------3
分
)62sin(2
1 x -------------5
分
∴当 1)62sin( x 时，函数 y 取最大值，最大值为
2
3 ，此时自变量 x 的取值为
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)(2262 Zkkx ，即 )(3 Zkkx
故函数 y 的最大值为
2
3 ，自变量 x 的集合是 },3|{ Zkkxx -------------7
分
(Ⅱ)方法一：将函数 xy sin 的图象依次进行如下变换：
(ⅰ)先把函数 xy sin 的图象上所有点向右平移
6
个单位长度，得到 )6sin( xy 的
图象； -------------10
分
(ⅱ)再把函数 )6sin( xy 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1 倍，
得到 )62sin( xy 的图象； -------------12 分
(ⅲ) 最 后 把 函 数 )62sin( xy 的 图 象 向 上 平 移
2
1 个 单 位 长 度 ， 就 可 得 到
)62sin(2
1 xy 的图象． -------------14
分
方法二：将函数 xy sin 的图象依次进行如下变换：
(ⅰ)先把函数 xy sin 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1 倍，得到
xy 2sin 的图象； -------------10
分
(ⅱ)再把函数 xy 2sin 的图象上所有点向右平移
12
个单位长度，得到 )62sin( xy
的图象； -------------12 分
(ⅲ) 最 后 把 函 数 )62sin( xy 的 图 象 向 上 平 移
2
1 个 单 位 长 度 ， 就 可 得 到
)62sin(2
1 xy 的图象． -------------14
分
18、(本小题满分 14 分)
解：(Ⅰ)设在∆DBC 中，边 BC 上的高为 h，则 PBDOh
又依题意可求得 2
2h
∴ 12
2 DO -------------4 分
(Ⅱ)若 DO 取最小值，则 DO⊥BC -------------5 分
∵ DCDB
∴O 为 BC 中点，故 AO⊥BC -------------7 分
D
B
A
CO
E
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又 OODOA ，∴ BC 平面 DAO -------------9
分
(Ⅲ)解法 1：作 AE⊥DC，垂足为 E，设 O 为 BC 中点，连结 OE
∵ 1DA ，∴△DAC 是等边三角形
∴E 为 DC 中点，∴OE∥DB
∴OE⊥DC，∴∠AEO 为所求二面角的平面角 -------------11 分
∵
2
3,2
1,2
2 AEOEAO
∴ 222 OEAOAE ，∴AO⊥OE
∴
3
3cos
AE
OEAEO -------------14
分
解法 2：∵ 1DA ，
2
2 ODOA ， 222 DAODOA OAOCOD ,, 两两垂直
-------------10 分
以 O 为原点， ODOCOA ,, 分别为 zyx ,, 轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
则各点坐标如下： )2
2,0,0(),0,2
2,0(,)0,0,2
2( DCA ，
2
2,0,2
2,)0,2
2,2
2( ADAC ， -------------11
分
设平面 ACD 的一个法向量为 ),,( zyxn ，则
0
0
ADn
ACn 即
02
2
2
2
02
2
2
2
zx
yx
令
1x 得 到 )1,1,1(n 又 因 为 OA 平 面 BCD ， 所 以 平 面 BCD 的 一 个 法 向 量 为
0,0,2
2OA ， -------------12 分
设二面角 BCDA 的平面角为 ，则 3
3
2
23
2
2
,coscos
AOn
AOnAOn
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-------------14
分
19、(本小题满分 14 分)
解：(Ⅰ)∵a= )8,1( 22 aax ，b= )2,6( 2 xx
∴ )(xf =a·b= xaaxx )8(262 223 -------------2 分
∴当 9a 时， xxxxf 1862)( 23
此时， 18126)( 2/ xxxf -------------3 分
令 0)(/ xf 得 0322 xx
解得 1x 或 3x -------------4 分
当 x 变化时， )(/ xf 、 )(xf 的变化情况如下表：
x )1,(
1 )3,1( 3 ),3(
)(/ xf ＋ 0 － 0 ＋
)(xf ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
-------------6 分
∴当 1x 时， y 有极大值 10；
当 3x 时， y 有极小值 54 ． -------------7 分
(Ⅱ)∵函数 )(xf 只有两个零点
∴ )(xf 的图象与 x 轴只有两个交点 -------------8 分
∴方程 0)( xf 恰有两根
∴ 0)]8(2122[ 22 aaxxx 恰有两根
∴方程 0)8(6 22 aaxx 有两相等的实数根或有一零根 -------------10
分
∴若方程 0)8(6 22 aaxx 有两相等的实数根，则 0)8(46 22 aa ，
∴ 0982 aa ，这种情况无解； -------------11 分
若方程 0)8(6 22 aaxx 有一零根，则 082 aa
解得 0a 或 8a -------------13
分
∴函数 )(xf 只有两个零点时，实数 a 的值等于 0 或 8 ． -------------14 分
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20、(本小题满分 12 分)
解：(Ⅰ)设所求椭圆的方程为 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x ，两焦点 21, FF 的距离 c2
∵ 4||||2 21 PFPFa ，∴ 2a -------------2
分
又 21FPF 为直角三角形， 21FF 为直角边
∴ 222 )2
3()2
5()2( c ，∴ 1c ， 3b -------------5
分
∴所求椭圆方程为 134
22
yx -------------6
分
(Ⅱ) 方法一：假设椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy 2 对称，设直线 AB 的方
程为 nxy
2
1 ． -------------7
分
联立方程组得
②
①
2
1
134
22
nxy
yx
消取 y 得 12)2
1(43 22 nxx
整理得 0322 nnxx ③ -------------8
分
设 BA, 两点的坐标分别是 ),( 11 yx 和 ),( 22 yx ，则
21, xx 是方程③的两个不相等的实根
∴ 0)3(4 22 nn ，
∴ 42 n ④ -------------9 分
又设 ),( 00 yxM 是 AB 的中点，
∴
22
21
0
nxxx ，∴ nnxy 4
3
2
1
00
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又点 M 在对称轴 mxy 2 上
∴ mnn
224
3 ，
∴ mn 4 ⑤ -------------10 分
把⑤代入④得 14 2 m ，∴
2
1|| m
故椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy 2 对称，实数 m 的取值范围是 )2
1,2
1( ．
-------------12
分
方法二：假设椭圆 C 上存在两点 ),(),,( 2211 yxByxA 关于直线 mxy 2 对称，设 AB 的
中点为 ),( 00 yxM ，则
�yyy
�xxx
�xx
yy
�yx
�yx
2
2
12
134
134
21
0
21
0
12
12
2
1
2
1
2
1
2
1
-------------8 分
由①-②得 03
))((
4
))(( 21212121 yyyyxxxx ⑥ -------------9 分
把③④⑤代入⑥得 00 2
3 xy
又 mxy 00 2 ，
∴ mymx 3,2 00 -------------10
分
又点 M 在椭圆内
∴ 4)1()1( 2
0
2
2
2
0
2
0 yxyx
∴ 134
2
0
2
0 yx
∴ 14 2 m
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∴
2
1|| m
故椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy 2 对称，实数 m 的取值范围是 )2
1,2
1( ．
-------------12
分
21、(本小题满分 12 分)
解：(Ⅰ)记{an}为等差数列，公差为 d，{bn}为等比数列，公比为 q．
∵
6
3
1
0
33
22
1
1
ba
ba
b
a
-------------2
分
∴
62
3
2qd
qd
∴q2-2q=0 解得 q=0(舍)或 q=2 -------------4
分
∴q=2，d=1
∴ 1 nan ， 12 n
nb -------------6
分
(Ⅱ) ∵Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)
＝(a1+a2+…+an)＋(b1+b2+…+bn)
=[0+1+…+(n-1)]+(1+2+…+2n-1)
＝
21
21
2
)1(
nnn
＝
2
22
2 nnn -------------8 分
设 )0()1ln()( xxxxf ，则 11
1)(/
xxf
∴当 0x 时， 0)(/ xf
∴ )(xf 在 ),0( 上是减函数
∴当 0x 时， 0)( xf ，即 xx )1ln( -------------10 分
∴ 3
2
)2(2
)2(
11 2
2
n
k
n
k k
k k
k
S
kk
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n
k
n
k knk 11 3
1)3
11(
n
k kn
1
)3
11ln(
3
4
6
7
5
6
4
5ln
n
nn
4
4ln nn -------------12 分
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