资料简介
2021 年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺：
二次函数综合（二）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
顶点坐标为（1，m），与 y 轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），
下列结论：①a+ b+ c＜0；②1≤a≤ ；③关于 x 的方程 ax2+bx+c+1﹣m＝0 没有
实数根．其中正确的结论有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
3．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；
②abc＞0；③4a﹣2b+c＞0； ④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴
为直线 x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点 A（﹣3，
y1）、点 B（ ，y2）、C（ ，y3）在该函数图象上，则 y1＜y3＜y2；（4）若方程 a
（x+1）（x﹣5）＝﹣3 的两根为 x1 和 x2，且 x1＜x2，则 x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确
的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A．abc＜0
B．不等式 ax2+bx+c＞0 的解集是 0＜x＜5
C．b2﹣4ac＞0
D．方程 ax2+bx+c＝0 的解是 x1＝5，x2＝﹣1
6．如图，抛物线 y＝x2﹣2x+m 交 x 轴于点 A（a，0），B（b，0），交 y 轴于点 C，抛
物线的顶点为 D，下列四个结论：①无论 m 取何值，CD＝ 恒成立；②当 m＝0 时，
△ABD 是等腰直角三角形；③若 a＝﹣2，则 b＝6；④P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛
物线上的两点，若 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，则 y1＜y2．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
7．如图，抛物线 y＝﹣ x2+ x+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若点 P 是线
段 BC 上方的抛物线上一动点，当△BCP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（ ， ） C．（1，3） D．（3，2）
8．在平面直角坐标系中，如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出
下列命题：①5a+b+c＝0；②b＞2a； ③方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为﹣3 和 1；
④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c 的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x 轴的一个交
点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（ ）
①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有
两个不等实数根．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为 x＝1，有下列结论①abc＜0；
②2c＜3b；③4a+2b+c＜0；④a+b＜m（am+b），其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
11．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，下列结论：
①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；
其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c
＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
13．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x
轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程 ax2+bx+c＝n+1 无实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
14．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（0，1），B（2，﹣1），C（4，
5）三点，下面四个结论中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．当 x＝2 时，y 取最小值﹣1
C．当 m＞﹣1 时，一元二次方程 ax2+bx+c＝m 必有两个不相等实根
D．直线 y＝kx+c（k≠0）经过点 A，C，当 kx+c＜ax2+bx+c 时，x 的取值范围是 0
＜x＜4
15．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；
③3a+c＜0； ④当 x≠1 时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．其中正确的有（ ）个．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ax2+bx+c 的图象与对称轴直线 x＝m 交
于点 A，与 x，y 轴交于 B，C，D 三点，下列命题正确的是（ ）
①abc＞0；
②若 OD＝OC，则 ac+b+1＝0；
③对于任意 x0（x0≠m），始终有 ax0
2+bx0＞am2+bm；
④若 B 的坐标为（﹣m，0），则 C 的坐标为（3m，0）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
17．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 x＝2，图象如图所示，下面四个结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
18．如图，二次函数 y＝x2+6x+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，
若 AB＝4，则点 C 的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C．（4，0） D．（5，0）
19．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）
之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出 3 秒时达到最高点；②小球从抛出到
落地经过的路程是 80m；③小球的高度 h＝20 时，t＝1s 或 5s．④小球抛出 2 秒后的
高度是 35m．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
20．如图，现要在抛物线 y＝x（4﹣x）上找点 P（a，b），针对 b 的不同取值，所找点 P
的个数，四人的说法如下，
甲：若 b＝﹣1，则点 P 的个数为 3；乙：若 b＝0，则点 P 的个数为 1；丙：若 b＝4，
则点 P 的个数为 1；丁：若 b＝5，则点 P 的个数为 0．
其中说法正确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
参考答案
1．解：①若 a+ b+ c＜0，则 4a+2b+c＜0；
当 x＝2 时，y＝4a+2b+c＜0，故①正确，符合题意；
②当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＝0，则 c＝﹣a+b，
由﹣4≤c≤﹣3，得﹣4≤﹣a+b≤﹣3，
图象的对称轴为 x＝1，故 b＝﹣2a，得﹣4≤﹣3a≤﹣3，
故 1≤a≤ 正确，符合题意；
③y＝ax2+bx+c 的顶点为（1，m），即当 x＝1 时 y 有最小值 m．
而 y＝m﹣1 和 y＝ax2+bx+c 无交点，即方程 ax2+bx+c＝m﹣1 无解，
∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+1﹣m＝0 没有实数根，故③正确，符合题意．
故选：D．
2．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与 x 轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是 y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以 y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
3．解：①由二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：抛物线与 x 轴有两个交点，所
以 b2﹣4ac＞0，故结论①正确；
②∵抛物线开口向上，对称轴在 y 轴右侧，抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，
故结论②正确；
③抛物线开口向上，对称轴 x＝1，在对称轴左侧与 x 轴交点在﹣2 和﹣1 之间，该抛物
线上横坐标为﹣2 的点在 x 轴上方，
∴4a﹣2b+c＞0，
故结论③正确；
④由③分析可知 a﹣b+c＜0， ＝1，
∴﹣b＝2a，
∴a+2a+c＜0，即 3a+c＜0，
故结论④正确．
综上所述，①②③④都是正确的．
故选：D．
4．解：∵x＝﹣ ＝2，
∴4a+b＝0，故①正确．
∵抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0
又∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即 c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为 x＝2，C（ ，y3），
∴（ ，y3）．
∵﹣3＜﹣ ＜ ，在对称轴的左侧，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，故③错误．
方程 a（x+1）（x﹣5）＝0 的两根为 x＝﹣1 或 x＝5，
过 y＝﹣3 作 x 轴的平行线，直线 y＝﹣3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确．
故选：C．
5．解：A．函数的对称轴在 y 轴右侧，则 ab＜0，c＞0，故 abc＜0，故 A 正确，不符合
题意；
B．由函数的对称性知，抛物线和 x 轴的另外一个交点为（﹣1，0），故不等式 ax2+bx+c
＞0 的解集是﹣1＜x＜5，故 B 错误，符合题意；
C．函数和 x 轴有两个交点，故 C 正确，不符合题意；
D．由 B 知，方程 ax2+bx+c＝0 的解是 x1＝5，x2＝﹣1 正确，故 D 正确，不符合题意；
故选：B．
6．解：①∵y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，
∴C（0，m），D（1，m﹣1），
∴CD＝ ＝ ，
故①正确；
②当 m＝0 时，抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为 A（0，0）、B（2，0），顶点 D
（1，﹣1），
∴AD＝BD＝ ，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
故②正确；
③当 a＝﹣2 时，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∵对称轴 x＝1，
∴另一个交点坐标为（4，0），
∴b＝4，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，
则 1﹣x1＜x2﹣1
∴y1＜y2．
故④正确．
故选：B．
7．解：对于 y＝﹣ x2+ x+2，令 y＝﹣ x2+ x+2＝0，解得 x＝﹣1 或 4，令 x＝0，
则 y＝2，
故点 A、B、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，
由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y＝﹣ x+2，
设点 P 的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），则点 H 的坐标为（x，﹣ x+2），
则△BCP 的面积＝S△PHB+S△BHC＝ PH×OB＝ ×4×（﹣ x2+ x+2+ x﹣2）＝
﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP 的面积有最大值，
当 x＝2 时，△BCP 的面积有最大值，
此时，点 P 的坐标为（2，3），
故选：A．
8．解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣1，过（1，0）点，
把（1，0）代入 y＝ax2+bx+c 得，a+b+c＝0，a≠0，所以 5a+b+c≠0，因此①错误；
对称轴为直线 x＝﹣1，即：﹣ ＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②错误；
由抛物线的对称性，可知抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程
ax2+bx+c＝0 的两根分别为﹣3 和 1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点，所以 b2﹣4ac＞0，故④正确；
故选：B．
9．解：补图：由题可知，抛物线与 x 的另一个交点应该在（﹣1，0）和（﹣2，0）之间，
①当 x＝﹣1 时 y＝a﹣b+c＞0，①正确；
②对称轴 x＝﹣ ＝1，则 b＝﹣2a，则 3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，②错误；
③题目中只有顶点坐标出现字母 n，则一定跟顶点坐标的纵坐标有关，由顶点纵坐标
，化简得 b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），③正确；
④选项④的题意是抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝n﹣1 有两个交点，如图可知④正确；
综上所述，正确的结论为①③④，
故选：C．
10．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①正确；
②当 x＝3 时函数值小于 0，y＝9a+3b+c＜0，且 x＝﹣ ＝1，
即 a＝﹣ ，代入得 9×（﹣ ）+3b+c＜0，得 2c＜3b，故②正确；
③由对称知，当 x＝2 时，函数值大于 0，即 y＝4a+2b+c＞0，故③错误；
④当 x＝1 时，y 的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当 x＝m 时，y＝am2+bm+c，
所以 a+b+c≥am2+bm+c，
故 a+b≥am2+bm，即 a+b≥m（am+b），故④错误．
故正确的结论有①②．
故选：A．
11．解：①如图所示，抛物线开口向下，则 a＜0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0．
所以 ac＜0．
故结论不正确；
②如图所示，对称轴 x＝﹣ ＜1，a＜0，则 2a+b＜0，．
故结论不正确；
③如图所示，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b2﹣4ac＞0，
所以 4ac＜b2，
故结论正确；
④如图所示，当 x＝1 时，y＞0，
所以 a+b+c＞0，
故结论不正确；
⑤如图所示，设对称轴是直线 x＝m，当 x＞m 时，y 随 x 的增大而减小．
故结论不正确．
综上所述，正确的结论有 1 个．
故选：A．
12．解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴 x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当 x＝1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当 x＝﹣1 时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当 x＝﹣3 时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
13．解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，
∵与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当 x＝﹣1 时，y＞0，即 a﹣b+c＞0，故①结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，即﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，
∵a≠0，
∴3a+b≠0，故②结论错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线 y＝n 有唯一一个交点，
即方程 ax2+bx+c＝n 有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），故③结论正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y 最大＝n，
∴直线 y＝n﹣1 与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有 3 个．
故选：C．
14．解：A．将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 y＝x2﹣3x+1，
函数图象如下：
∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故 A 错误，不符合题意；
B．抛物线开口向上，则 x＝﹣ ＝ 时，取得最小值，
当 x＝ 时，y＝x2﹣3x+1＝﹣ ，
故 B 错误，不符合题意；
C．由 B 知，函数的最小值为﹣ ＜﹣1，
故 m＞﹣1 时，直线 y＝m 和 y＝ax2+bx+c 有两个交点，
故一元二次方程 ax2+bx+c＝m 必有两个不相等实根，
故 C 正确，符合题意；
D．观察函数图象，直线 y＝kx+c（k≠0）经过点 A，C，
当 kx+c＜ax2+bx+c 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞4，
故 D 错误，不符合题意；
故选：C．
15．解：①图象开口向下，与 y 轴交于正半轴，对称轴在 y 轴右侧，
∴a＜0，c＞0，﹣ ＞0，b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴 x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
③当 x＝﹣1 时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，由②知﹣b＝2a，
故 3a+c＜0，
故③正确；
④∵抛物线开口向下，对称轴 x＝1，
∴当 x＝1 时，函数有最大值 y＝a+b+c，
∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），
即 a+b＞ax2+bx，故④正确；
⑤图象与 x 轴有 2 个不同的交点，依据根的判别式可知 b2﹣4ac＞0，即 4ac＜b2，
故⑤正确；
综上所述正确的个数为 4，
故选：D．
16．解：由图象得：a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；
∵OD＝OC，
∴xc＝﹣c，
∴a（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，故②错误，
∵a＞0，
∴对于任意 x0（x0≠m），始终有 ，故③正确，
∵对称轴 x＝m，
∴ ，
∴xc＝3m，故④正确，
故选：C．
17．解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点，
∴方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为 x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴4a+b＝0，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②③正确，
由图象知，当 x＝﹣2 时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有 3 个，
故选：B．
18．解：令 y＝x2+6x+c＝0，
则设点 A、B 的横坐标分别为 m、n，
则 m+n＝﹣6，mn＝c（c＞0），
则 AB＝|m﹣n|＝ ＝ ＝4，
解得：c＝5，
故点 C 的坐标为（0,5），
故选：B．
19．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为 h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣ ，
∴h＝﹣ （t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出 3 秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为 40×2＝80m，
故②正确；
③令 h＝20，则 20＝﹣ （t﹣3）2+40，
解得 t＝3± ，故③错误；
④令 t＝2，则 h＝﹣ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
20．解：甲：当 b＝﹣1 时，（4﹣a）＝﹣1，
整理得：a2﹣4a﹣1＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
方程有两个不相等的实数根，
即此时点 P 的个数为 2，故甲的说法错误；
乙：当 b＝0 时，a（4﹣a）＝0，
解得：a＝0 或 4，
即此时点 P 的个数为 2，故乙的说法错误；
丙：当 b＝4 时，a（4﹣a）＝4，
整理得：a2﹣4a+4＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
方程有两个相等的实数根，
即此时点 P 的个数为 1，故丙的说法正确；
丁：当 b＝5 时，a（4﹣a）＝5，
整理得：a2﹣4a+5＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
方程没有实数根，
即此时点 P 的个数为 0，故丁的说法正确；
所以正确的个数是 2 个，
故选：C．
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