资料简介
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蚌埠田家炳中学 2020-2021 学年第二学期 6 月月考试卷
（文科）高二数学
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 ൌ ሼሼ ， ൌ 10，1，2，，则 ൌ 䁧
A. B. 1䁨 C. 10，1 D. 10，1，
. 若 cos䁧
ൌ
，则 ᦙ䁪 ൌ 䁧
A.
B. 1
C. 1
D.
. 记䁪为等差数列䁪的前 n项和，若1 ൌ 1， ൌ
，则数列䁪的通项公式䁪 ൌ 䁧
A. n B. 䁪쳌1
C. 䁪 1 D. 䁪1
. 若实数 x，y满足约束条件
ሼ 쳌 䁨
ሼ 䁨
ሼ 쳌 䁨
，则 ൌ ሼ 쳌 的最大值为䁧
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
. 已知函数 䁧ሼ ൌ 1
䁪ሼ
，则其大致图象为䁧
A. B. C. D.
6. 某中学高三文科 2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语
听力测试，一共 30个小题，每个小题 1分，共 30分.测试完后，该班英语老师都
会随机抽取一个小组进行现场评阅，如表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一
个小组进行现场评阅的得分情况：
姓名 张周 邓靖川 王行 王沛 陆俊杰 刘振志 谭菲菲 任思颖 张韵
得分䁧单位：
分
20 23 22 21 14 18 20 25 26
对这个小组的英语听力测试分数有下面四种说法：
该小组英语听力测试分数的极差为 12
该小组英语听力测试分数的中位数为 21
该小组英语听力测试分数的平均数为 21
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该小组英语听力测试分数的方差为 11
其中说法正确的个数是䁧
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知点䁧ͺǡ在幂函数 䁧ሼ ൌ 䁧ǡ ሼ的图象上，则 䁧ሼ ൌ log䁧 ሼ 쳌ǡሼ 쳌
的单调减区间为䁧
A. 䁧 1 B. 䁧 C. 䁧 D. 䁧 쳌
8. 设 ൌ log， ൌ ， ൌ log，则 a，b，c的大小顺序为䁧
A. ൏ ൏ B. ൏ ൏ C. ൏ ൏ D. ൏ ൏
9. 已知 䁧ሼ ൌ ሼ 쳌 ሼ 쳌 ，不等式 䁧ሼ ꀀ 䁨的解集是䁧 1，若对于任意 ሼ
1䁨㘮，不等式 䁧ሼ 쳌 香 恒成立，则 t的取值范围是䁧
A. 䁧 㘮 B. 䁧 㘮 C. 䁧 㘮 D. 䁧 㘮
10. 如图所示，在䁞中， ൌ 1
䁞 ，点P是BN上一点，若ǡ䁞 ൌ
，则实数 m的值为䁧
A. 1
B. 1
C. 1 D. 2
11. 在 ABC中角 A，B，C的对边分别为 a、b、c，已知 ，且
쳌 ൌ ， ൌ ，则 ABC的面积为䁧
A.
B.
C.
D.
12. 将函数 ሼ ൌ cos ሼ −
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
1
，纵坐标不变，
再把所得的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得的图象向下平移 1个单位长
度，得到函数 ሼ 的图象，若 ሼ1 ሼ ൌ 16，且ሼ1ሼ ∈ − ，则 ሼ1 − ሼ
的最大值为䁧
A. 1
B. 1䁨
C.
D.
6
二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 记䁪为等比数列䁪的前 n项和，若 ൌ ， ൌ 16，则6的值为______ ．
14. 函数 䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ
䁧 ꀀ 䁨的图象向左平移
6个单位长度后得到函数 䁧ሼ的图
象，且 䁧ሼ的图象关于 y轴对称，则的最小值为______ ．
15. 设 ൌ 䁧1 ， ൌ 䁧 1，䁞 ൌ 䁧 䁨， ꀀ 䁨， ꀀ 䁨，O为坐标原点，
若 A，B，C三点共线，则
1
쳌
的最小值为 ．
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16. 在 䁞中，䁞为钝角，䁞 ൌ 䁞 ൌ 1，䁞 ൌ ሼ䁞 쳌 䁞 且 ሼ 쳌 ൌ 1，函数
䁧ǡ ൌ 䁞 ǡ䁞 的最小值为
，则䁞 的最小值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分，第 17 题 10 分，其它每题 12 分）
17. 在 䁞中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且䁧 䁧ᦙ䁪쳌 ᦙ䁪 ൌ ᦙ䁪䁞䁧
．
䁧1求角 A；
䁧若 䁞的面积䁞 ൌ 쳌 ，求 a的取值范围．
18. 在数列䁪中，1 ൌ ，䁪쳌1 ൌ 䁪 쳌 䁪 쳌 1．
䁧1求证：数列䁪 䁪为等差数列；
䁧若数列䁪满足䁪 ൌ log䁧䁪 쳌 1 䁪，求证：
1
1
쳌 1
쳌 1
쳌 쳌 1
䁪䁪쳌
൏
．
19. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目
迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运
动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100人进行调查，其中女生中对冰球运
动有兴趣的占女生人数的
，而男生有 10人表示对冰球运动没有兴趣．
䁧1完成 列联表，并回答能否有 䁨ر的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别
有关”？
有兴趣没兴趣合计
男 55
女
合计
䁧已知在被调查的女生中有 5名数学系的学生，其中 3名对冰球有兴趣，现在从
这 5名学生中随机抽取 3人，求至少有 2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
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䁧 䁨 䁨.1䁨䁨.1䁨䁨 䁨.䁨䁨 䁨.䁨 䁨.䁨1䁨
䁨 .䁨.䁨6 .ͺ1 .䁨 6.6
ൌ
䁪䁧
䁧 쳌 䁧 쳌 䁧 쳌 䁧 쳌
20. 定义在 D上的函数 䁧ሼ，若满足：对任意 ሼ∈ ，存在常数 ꀀ 䁨，都有䁧ሼ
成立，则称 䁧ሼ是 D上的有界函数，其中 M称为函数 䁧ሼ的上界．
䁧1设 ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1，判断 ሼ 在 − 1
1
上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出 ሼ
所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．
䁧若函数 䁧ሼ ൌ 1 쳌 ⋅ 䁧 1
ሼ 쳌 䁧 1
ሼ在䁨 쳌∞上是以 4为上界的有界函数，求实数
a的取值范围．
21. 定义在 11㘮上的奇函数 䁧ሼ满足： 1 ሼ ൏ 䁨时，䁧ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1
．
䁧1求 䁧ሼ的解析式；䁧当 ሼ 䁧䁨1㘮时，函数 䁧ሼ ൌ ሼ
䁧ሼ
ሼ ǡ有零点，试求
实数 m的取值范围．
22. 已知函数 䁧ሼ ൌ sin䁧
6
ሼ sin䁧ሼ
cos䁧ሼ 쳌
．
䁧1求函数 䁧ሼ的最小正周期和单调递增区间；
䁧若 ，且 䁧ሼ ൌ 䁧ሼ cos䁧ሼ
的最小值是
，求实数的值．
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蚌埠田家炳中学 2020-2021 学年第二学期 6 月月考试卷
（文科）高二数学
1. D 2. D 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A
8. A 9. B 10. B 11. A 12. A
13. 63
14. 5
15. 8
16. 1
17. 解：䁧1由正弦定理知，
ᦙ䁪
ൌ
ᦙ䁪
ൌ
ᦙ䁪䁞
，
䁧 䁧ᦙ䁪쳌 ᦙ䁪 ൌ ᦙ䁪䁞䁧 ，
䁧 䁧 쳌 ൌ 䁧 ，化简得 쳌 ൌ ，
由余弦定理知， ൌ 쳌
ൌ
ൌ
，
䁧䁨 ，
ൌ
6．
䁧 䁞的面积䁞 ൌ
1
ᦙ䁪 ൌ 1
1
ൌ 쳌 ，
ൌ 䁧 쳌 ，
由䁧1知， ൌ 쳌 ，
䁧 ൌ 䁧 䁧 쳌 ൌ ，
，
故 a的取值范围为 쳌 ．
18. 证明：䁧1 䁪쳌1 ൌ 䁪 쳌 䁪 쳌 1．
䁧䁪쳌1 䁪쳌1 䁧䁪 䁪 ൌ 䁪쳌1 䁪 䁪 ൌ 1，
又 1 ൌ ， 1 ൌ 䁨，
数列䁪 䁪为首项为 0，公差为 1的等差数列．
䁧由䁧1知：䁪 䁪 ൌ 䁪 1， 䁪 쳌 1 䁪 ൌ 䁪
䁪 ൌ 䁧䁪 쳌 1 䁪 ൌ 䁪 ൌ 䁪
1
1
쳌 1
쳌 1
쳌 쳌 1
䁪䁪쳌
ൌ 1
䁧1 1
쳌 䁧 1
1
쳌 䁧 1
1
쳌 쳌 䁧 1
䁪1
1
䁪쳌1
쳌
䁧 1
䁪
1
䁪쳌
㘮 ൌ 1
䁧1 쳌 1
1
䁪쳌1
1
䁪쳌
ൌ
1
䁧 1
䁪쳌1
쳌 1
䁪쳌
，
䁪
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1
䁧 1
䁪쳌1
쳌 1
䁪쳌
ꀀ 䁨，
1
䁧 1
䁪쳌1
쳌 1
䁪쳌
൏
，
1
1
쳌 1
쳌 1
쳌 쳌 1
䁪䁪쳌
൏
．
19. 解：䁧1根据已知数据得到如下列联表：
有兴趣没有兴趣合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
根据列联表中的数据，得到：
的观测值 ൌ 1䁨䁨䁧11䁨䁨
ൌ 1䁨䁨
.䁨䁨
.䁨䁨 ꀀ .䁨6，所以有 䁨ر的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
䁧记 5人中对冰球有兴趣的 3人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2人为 m、n，
则从这 5人中随机抽取 3人，
共有䁧m，䁪，䁧m，䁪，䁧䁞m，䁪，䁧、B、ǡ䁧、B、䁪，䁧、C、ǡ，䁧、C、䁪，
䁧、C、ǡ，䁧、C、䁪，䁧、B、䁞共 10种情况，
其中 3人都对冰球有兴趣的情况有䁧、B、䁞1种，
2人对冰球有兴趣的情况有䁧、B、ǡ，䁧、B、䁪，䁧、C、ǡ，䁧、C、䁪，䁧、C、
ǡ，䁧、C、䁪共 6种，
所以至少 2人对冰球有兴趣的情况有 7种，
因此，所求事件的概率 ൌ
1䁨
．
20. 解：䁧1䁧ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1
ൌ 1 1
ሼ쳌1
，
则 䁧ሼ在 1
1
㘮上是增函数；
故 䁧 1
䁧ሼ 䁧 1
；
即 1 䁧ሼ 1
，
故䁧ሼ 1，故 䁧ሼ是有界函数；
故 䁧ሼ的所有上界的值的集合是1 쳌；
䁧由题意知，䁧ሼ 对 ሼ∈ 䁨 쳌∞恒成立．
即：− 䁧ሼ ，令 香 ൌ 1
ሼ
，
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∵ ሼ 䁨，∴ 香 ∈ 䁧䁨1㘮
所以− 1 쳌 香 쳌 香 ，
∴− 䁧香 쳌
香
香
− 香对 香∈ 䁧䁨1㘮恒成立，
∴ − 䁧香 쳌
香
㘮max 䁧
香
− 香min，
设䁧香 ൌ− 䁧香 쳌
香
，䁧香 ൌ
香
− 香，由 香∈ 䁧䁨1㘮
由于䁧香在 香∈ 䁧䁨1㘮上递增，䁧香在 香∈ 䁧䁨1㘮上递减，
䁧香在 香∈ 䁧䁨1㘮上的最大值为䁧1 ൌ− 6，
䁧香在 香∈ 䁧䁨1㘮上的最小值为 䁧1 ൌ ，
∴实数 a的取值范围为 − 6㘮．
21. 解：䁧1根据题意，函数 䁧ሼ为定义在 11㘮上的奇函数，则 䁧䁨 ൌ 䁨，
设 䁨 ൏ ሼ 1，则 1 ሼ ൏ 䁨，则有 䁧 ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1
ൌ ሼ
ሼ쳌1
，
又由 䁧ሼ为奇函数，则 䁧ሼ ൌ 䁧 ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1
，
则 䁧ሼ ൌ
ሼ
ሼ쳌1
1 ሼ ൏ 䁨
䁨ሼ ൌ 䁨
ሼ
ሼ쳌1
䁨 ൏ ሼ 1
；
䁧由䁧1的结论，当 ሼ 䁧䁨1㘮时，则 䁧ሼ ൌ ሼ
ሼ쳌1
，
则 䁧ሼ ൌ ሼ
䁧ሼ
ሼ ǡ ൌ 䁧ሼ 쳌 1 ሼ ǡ ൌ ሼ ሼ ǡ쳌 1，
若 䁧ሼ ൌ 䁨，则有ሼ ሼ ൌ ǡ 1，
设䁧ሼ ൌ ሼ ሼ，设 香 ൌ ሼ，则 ൌ 香 香，
又由 ሼ 䁧䁨1㘮，则 1 ൏ 香 ， ൌ 香 香 ൌ 䁧香 1
1
，在䁧1㘮上为增函数，
则有 䁨 ൏ 香 香 ，
若函数 䁧ሼ ൌ ሼ
䁧ሼ
ሼ ǡ有零点，必有 䁨 ൏ ǡ ，
即 m的取值范围为䁧䁨㘮．
22. 解：函数 䁧ሼ ൌ sin䁧
6
ሼ ᦙ䁪䁧ሼ
cos䁧ሼ 쳌
.
化简可得：䁧ሼ ൌ sin
6
ሼ cos
6
ᦙ䁪ሼ ᦙ䁪䁧ሼ
cos䁧
쳌 ሼ
ൌ
1
ሼ 쳌
ᦙ䁪ሼ 쳌 sin䁧ሼ
ൌ
ᦙ䁪ሼ
1
ሼ ൌ sin䁧ሼ
6
䁧1函数 䁧ሼ的最小正周期 ൌ
ൌ
ൌ ，
ሼ
6
쳌
㘮， 单调递增区间；即
ሼ
6
쳌
，
第 ͺ页，共 16页
解得：
6
ሼ 쳌
，
函数 䁧ሼ的单调递增区间为
6
쳌
㘮， ．
䁧䁧ሼ ൌ 䁧ሼ cos䁧ሼ
ൌ sin䁧ሼ
6
1 sin䁧ሼ
6
㘮
ൌ sin䁧ሼ
6
sin䁧ሼ
6
1 ൌ sin䁧ሼ
6
㘮 1
ሼ
1
㘮， 䁨 ሼ
6
䁨 sin䁧ሼ
6
1，
当 ൏ 䁨时，当且仅当 sin䁧ሼ
6
ൌ 䁨时， ሼ 取得最小值 1，这与已知不相符；
当 䁨 1时，当且仅当 sin䁧ሼ
6
ൌ 时， ሼ 取最小值 1 ，由已知得
1 ൌ
，解得 ൌ 1
；
当 ꀀ 1时，当且仅当 sin䁧ሼ
6
ൌ 1时， ሼ 取得最小值 1 ，由已知得 1 ൌ
，解得 ൌ
ͺ
，这与 ꀀ 1相矛盾．
综上所述， ൌ 1
．
【解析】
1. 解： ൌ ሼ ሼ ， ൌ 10，1，2，，
ൌ 10，1，．
故选：D．
可求出集合 A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计
算能力，属于基础题．
2. 【分析】
本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式化 ᦙ䁪 ൌ cos䁧
，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．
【解答】
解： cos䁧
ൌ
，
ᦙ䁪 ൌ cos䁧
ൌ cos䁧
㘮
ൌ 䁧
1 ൌ
1 ൌ
．
故选 D．
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3. 解：差数列䁪中，1 ൌ 1， ൌ
，
所以 1 쳌 ൌ
，
解得， ൌ 1
，
则数列䁪的通项公式䁪 ൌ 1 쳌 1
䁧䁪 1 ൌ 1
䁪 쳌 1
．
故选：B．
由已知结合等差数列的求和公式可求 d，然后结合等差数列的通项公式可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
4. 解：作出实数 x，y满足约束条件
ሼ 쳌 䁨
ሼ 䁨
ሼ 쳌 䁨
表示的平面区域，
得到如图的 䁞及其内部，其中 䁧䁨，䁧，䁞䁧 1
设 ൌ 䁧ሼ ൌ ሼ 쳌 ，将直线 l： ൌ ሼ 쳌 进行平移，
当 l经过点 B时，目标函数 z达到最大值
最大值 ൌ 䁧 ൌ 쳌 ൌ ͺ．
故选：D．
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 香䁨及其内部，再将目标函数 ൌ ሼ 쳌
对应的直线进行平移，进而求解结论．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数 ൌ ሼ 쳌 的最大值，着重考查了二元一次不
等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
5. 解：函数的定义域为ሼሼ ꀀ 䁨且 ሼ 1，
当 ሼ ꀀ 1时，䁪ሼ ꀀ 䁨，则 䁧ሼ ꀀ 䁨，排除 A，C，D，
故选：B．
求出函数的定义域，判断当 ሼ ꀀ 1时，䁧ሼ ꀀ 䁨，利用排除法进行判断即可．
第 1䁨页，共 16页
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号进行判断是解决本题的关键，
是基础题．
6. 解：、极差为该组数据最大值与最小值之差的绝对值，
本组数据最大值为 26，最小值为 14，
所以 6 1 ൌ 1，故说法正确；
、中位数是一组数位于最中点的数，
按从到大排冽为：14、18、20、20、21、22、23、25、26，中位数为 21，故说法正
确；
、平均数为数据值总和除以数据数量，
即ሼ
ൌ 1쳌1ͺ쳌䁨쳌䁨쳌1쳌쳌쳌쳌6
ൌ 1，故说法正确；
、方差公式为
1
䁪
䁧ሼ1 ሼ
쳌 䁧ሼ ሼ
쳌 쳌 䁧ሼ䁪 ሼ
㘮
ൌ 䁧쳌䁧쳌䁧1쳌䁨쳌1쳌쳌쳌
11.ͺ，故说法错误．
正确的有，共 3个．
故选：C．
利用极差、众数、中位数、平均数、方差的定义以及公式进行求解．
本题考查了极差、众数、中位数、平均数、方差的定义及公式，考查了运算能力，属于
基础题．
7. 【分析】
本题考查幂函数的性质，考查复合函数单调性的求法，对应复合函数的单调性，一要注
意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进
行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
由幂函数的性质求得 m，把点的坐标代入幂函数解析式求得 a的范围，再由复合函数的
单调性求解．
【解答】
解：由题意，ǡ ൌ 1，则 ǡ ൌ ，
ൌ ͺ，得 ൌ logͺ 䁧䁨1，
函数 䁧ሼ ൌ log䁧 ሼ 쳌ǡሼ 쳌 化为 䁧ሼ ൌ log䁧 ሼ 쳌 ሼ쳌 ．
令 香 ൌ ሼ 쳌 ሼ쳌 ，由 香 ꀀ 䁨，得 1 ൏ ሼ ൏ ，
外层函数 ൌ log香为定义域内的减函数，
而内层函数 香 ൌ ሼ 쳌 ሼ쳌 的对称轴为 ሼ ൌ ，且在䁧 1上为增函数，
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函数 䁧ሼ ൌ log䁧 ሼ 쳌ǡሼ 쳌 的单调减区间为䁧 1．
故选：A．
8. 解： ൌ ൌ log， ൌ log ൌ log
，
所以 ꀀ ，
ൌ log ൌ log ꀀ log ͺ ൌ
，
因为 ൌ log ൌ log
൏ log ൌ
，
所以 ꀀ ，
综上 ꀀ ꀀ ．
故选：A．
利用对数的运算性质与对数函数的单调性即可得出．
本题主要考查了对数的运算性质与对数函数的单调性的应用，属于中档题．
9. 【分析】
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．
根据题意求出 䁧ሼ ൌ ሼ 쳌 ሼ쳌 6，从而 䁧ሼ 쳌 香 恒成立转化为 香 ሼ ሼ ，
求出 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ，ሼ 1䁨㘮的最小值即可．
【解答】
解：因为 䁧ሼ ൌ ሼ 쳌 ሼ 쳌 ，不等式 䁧ሼ ꀀ 䁨 的解集是䁧 1，
所以方程 ሼ 쳌 ሼ 쳌 ൌ 䁨的两个实数根为 1和 3，
所以
쳌 ൌ 䁨
1ͺ쳌 쳌 ൌ 䁨，解得 ൌ ， ൌ 6，
所以 䁧ሼ ൌ ሼ 쳌 ሼ쳌 6．
因为对于任意 ሼ 1䁨㘮，不等式 䁧ሼ 쳌 香 恒成立，
即 ሼ 쳌 ሼ쳌 6 쳌 香 恒成立，
所以 香 ሼ ሼ ，
设 䁧ሼ ൌ ሼ ሼ ，ሼ 1䁨㘮，
所以 䁧ሼ ൌ 䁧ሼ 1 ，
当 ሼ ൌ 䁨时，䁧ሼ取得最小值为 䁧䁨 1 ൌ ，
所以实数 t的取值范围为 香 ，
故选 B．
10. 【分析】
本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量的加法以及三点共线的向量表示列式即可解答．
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【解答】
解：因为 ൌ 1
䁞 ，所以䁞 ൌ ，
所以 ǡ ൌ
，
所以 ൌ ǡ 쳌
，
因为 B，P，N三点共线，所以 ǡ쳌
ൌ 1，解得 ǡ ൌ 1
．
故选 B．
11. 【分析】
本题考查余弦定理，二倍角公式，三角形面积公式，属于中档题．
利用二倍角公式和诱导公式先求出 ，由余弦定理求得 ൌ 6，即可求解面积．
【解答】
解：因为 ，
所以 1쳌cos䁞
cos䁞 1 ൌ
，
解得 ，
所以 sin䁞 ൌ
，
因为 ，
即 ൌ 쳌 ，又 쳌 ൌ ，
所以 ൌ 6，
所以面积 ൌ 1
sin䁞 ൌ
．
故选 A．
12. 【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，属于中
档题．
化函数 䁧ሼ为余弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数 ൌ 䁧ሼ的解析式，利用
ሼ1 ሼ ൌ 16求得 ሼ1的最大值为
ͺ
，ሼ的最小值为−
，再求 ሼ1 − ሼ的最大值．
【解答】
解：根据平移变换将函数 ሼ ൌ cos ሼ −
的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
1
，
纵坐标不变，再把所得的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得的图象向下平移 1
个单位长度，可得 ሼ ൌ cos ሼ 쳌
− 1，
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由 ሼ1 ሼ ൌ 16，可知 ሼ1 ൌ ሼ ൌ− ，
即 cos ሼ1 쳌
ൌ− 1cos ሼ 쳌
ൌ− 1
ሼ1ሼ ∈ − ，
所以 ሼ1 쳌
∈ − 11
1
ሼ 쳌
∈ − 11
1
，
ሼ1 쳌
的最大值为 ，
ሼ 쳌
的最小值为− ，
则 ሼ1的最大值为
ͺ
，
ሼ的最小值为−
，
所以 ሼ1 − ሼ的最大值为
ͺ
− −
ൌ 1
．
故选 A．
13. 解：因为等比数列䁪的前 n项和， ൌ ， ൌ 16，
所以 ൌ
ൌ ͺ，即 ൌ ，
故1 ൌ 1，
则6 ൌ
16
1
ൌ 6．
故答案为：63．
由已知结合等比数列的性质先求 q，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
14. 解：函数 䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ
䁧 ꀀ 䁨的图象向左平移
6个单位长度后，
得到函数 䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ 쳌
6
的图象，
且 䁧ሼ的图象关于 y轴对称，
6
ൌ 쳌
，即 ൌ 6쳌 ， ，
则令 ൌ 䁨，可得的最小值为 5，
故答案为：5．
由题意利用函数 ൌ ᦙ䁪䁧ሼ 쳌 的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得
的最小值．
本题主要考查函数 ൌ ᦙ䁪䁧ሼ 쳌 的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于
中档题．
15. 解： ൌ 䁧1 ， ൌ 䁧 1，䁞 ൌ 䁧 䁨，
ൌ ൌ 䁧 11，䁞 ൌ 䁧 1．
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A，B，C三点共线，
䁞 ，
䁧 1 쳌 䁧 쳌 1 ൌ 䁨．
쳌 ൌ 1，
又由 ꀀ 䁨， ꀀ 䁨
1
쳌
ൌ 䁧 1
쳌
䁧 쳌 ൌ 쳌 䁧
쳌
ൌ ൌ ͺ，当且仅当 ൌ 即 ൌ 1
， ൌ
1
是取等号．
故
1
쳌
的最小值是 8
故答案为：8
由 ൌ 䁧1 ， ൌ 䁧 1，䁞 ൌ 䁧 䁨， ꀀ 䁨， ꀀ 䁨，O为坐标原点，若 A、
B、C三点共线，我们可以得到 쳌 ൌ 1，由基本不等式 1的活用，我们易求出
1
쳌
的最小值．
本题考查平面向量共线的充要条件及利用基本不等式求最值，属于中档题．
16. 【分析】
本题考查了数量积的性质和二次函数的单调性，属于中档题．
在 䁞中，䁞为钝角，䁞 ൌ 䁞 ൌ 1，函数 䁧ǡ的最小值为
.利用数量积的性
质可得䁞，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．
【解答】
解：在 䁞中，䁞为钝角，䁞 ൌ 䁞 ൌ 1，函数 䁧ǡ的最小值为
．
函数 䁧ǡ ൌ 䁞 ǡ䁞 ൌ 䁞
쳌ǡ䁞
ǡ䁞 䁞 ൌ 1쳌 ǡ ǡ䁞
，
化为 ǡ ͺǡ䁞쳌 1 䁨恒成立．
当且仅当 ǡ ൌ ͺ䁞
ͺ
ൌ cos䁞时等号成立，代入得到 cos䁞 ൌ 1
， 䁞 ൌ
．
䁞 ൌ ሼ䁞
쳌 䁞
쳌 ሼ䁞 䁞
ൌ ሼ 쳌 쳌 ሼ cos
ൌ ሼ 쳌 䁧1 ሼ ሼ䁧1 ሼ
ൌ 䁧ሼ 1
쳌 1
，
当且仅当 ሼ ൌ 1
ൌ 时，䁞 取得最小值
1
，
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䁞 的最小值为
1
．
故答案为：
1
．
17. 䁧1利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解；
䁧由 ൌ 1
ᦙ䁪，可得 ൌ 䁧 쳌 ，再结合䁧1中得到的 ൌ 쳌 ，
以及基本不等式，即可得解．
本题主要考查解三角形，还涉及利用基本不等式求最值，熟练掌握正弦定理、余弦定理
和正弦面积公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18. 䁧1由䁪쳌1 ൌ 䁪 쳌 䁪 쳌 1.可得：䁧䁪쳌1 䁪쳌1 䁧䁪 䁪 ൌ 䁪쳌1 䁪 䁪 ൌ 1，即
可证明结论．
䁧由䁧1知：䁪 䁪 ൌ 䁪 1， 䁪 쳌 1 䁪 ൌ 䁪，可得䁪 ൌ 䁧䁪 쳌 1 䁪 ൌ 䁪 ൌ
䁪，利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．
本题考查了等差数列的定义通项公式、对数运算性质、裂项求和方法、数列的单调性，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 本题考查独立检验以及古典概型的概率的求法，是基本知识的考查，属基础题．
䁧1利用已知条件求出 列联表的数据，完成表格，计算的观测值 k，即可回答能
否有 䁨ر的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；
䁧记 5人中对冰球有兴趣的 3人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2人为 m、n，列出所
有选派的情况，求出至少 2人对冰球有兴趣的情况数目，然后求解概率．
20. 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了学生的学习能力及转化思想的
应用，属于中档题．
䁧1化简可得 䁧ሼ在 1
1
㘮上是增函数，从而可得䁧ሼ 1，从而求得；
䁧由题意知，䁧ሼ 对 ሼ∈ 䁨 쳌∞恒成立．令 香 ൌ 1
ሼ
， ，所以
对 香∈ 䁧䁨1㘮恒成立，即可通过求最值求出 a的取值范围．
21. 䁧1根据题意，由奇函数的性质可得 䁧䁨 ൌ 䁨，设 䁨 ൏ ሼ 1，结合奇函数的性质可
得䁧䁨1㘮上的解析式，综合即可得答案；
䁧由 䁧ሼ的解析式分析可得 䁧ሼ ൌ ሼ
䁧ሼ
ሼ ǡ ൌ 䁧ሼ 쳌 1 ሼ ǡ ൌ ሼ ሼ
ǡ쳌 1，由零点的定义可得ሼ ሼ ൌ ǡ 1有解，设䁧ሼ ൌ ሼ ሼ，设 香 ൌ ሼ，则 ൌ
香 香，结合复合函数的性质可得ሼ ሼ的范围，分析可得答案．
本题考查函数零点的判定定理以及函数奇偶性的性质，注意求出函数的解析式．
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22. 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函
数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
䁧1先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为 ൌ ᦙ䁪䁧ሼ 쳌 的形式，再利
用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，
解不等式得函数的单调递增区间；
䁧ሼ
1
㘮时，化解 䁧ሼ，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，
求出 䁧ሼ的最小值，可得实数的值．
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