资料简介
北师大版九年级上册数学第一章测试题附答案
(满分：120分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是（ C ）
A．6 B．5 C．4 D．3
第2题图第3题图第5题图
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( B )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ B ）
①AC＝5 ②∠A＋∠C＝180° ③AC⊥BD ④AC＝BD
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( A )
A. B．2 C．2 D．4
6．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为A
A．2 B．3 C．2 D.
第6题图第7题图第8题图
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．如图，四边形ABCD和DEFG是两个边长相等的正方形，连接CE.若∠ADG＝150°，则∠DCE＝ 75 °.
8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：AD＝DC或AC⊥BD，使得平行四边形ABCD为菱形．
9．(2018·长春)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 5 ．
第9题图第10题图第11题图
10．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，在四边形ABCD中，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝ 8 ．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°，其中正确的序号有①②③④.
12．菱形AOBC如图放置，A(3，4)，先将菱形向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位，然后沿x轴翻折，最后绕坐标轴原点O旋转90°得到点C的对应点为点P，则点P的坐标为(－3，1)或(3，－1)．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，又∵E，F为CD，AD的中点，
∴DF＝AD，DE＝DC，∴DF＝DE.又∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
14．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB.又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB.
(2)解：∵∠DAF＋∠ADF＝90°，∠FDC＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠FDC＝30°，∴AD＝2DF.又∵DF＝AB＝4，
∴AD＝2AB＝2×4＝8.
15．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F点左侧)，BE∥DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．
(1)证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.
又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO，
∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.
∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5.
∴点E在OA的延长线上，∴AE＝2.
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED.求证：EF⊥BD.
证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形．
又∵E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC.
又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.
17．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为9，求正方形的边长．
解：设正方形的边长为x.
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴AC＝x，∴AE＝x，CB＝x，
∴S菱形AEFC＝AE·CB＝x·x＝x2＝9，
解得x＝±3，依题意舍去x＝－3，即正方形的边长为3.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．(哈尔滨中考)如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
(1)证明：∵正方形ABCD，∴AD＝BA，∠BAD＝90 °，即∠BAQ＋∠DAP＝90 °.∵DP⊥AQ，
∴∠ADP＋∠DAP＝90 °，∴∠BAQ＝∠ADP.
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB＝∠DPA＝90 °，∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ；
(2)解：①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.
19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
∵点E，F分别为AB，AD的中点，
∴BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．
理由如下：
由(1)得AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形．
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
20．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H
分别是OA，OB，OC，OD上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
(2)解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
∵DG⊥AC，∴DG为OC的垂直平分线．
∴CD＝OD.
∵F是BO的中点，OF＝2 cm，
∴BO＝4 cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝BO＝4 cm，
∴DC＝4 cm，DB＝8 cm，
∴CB＝＝4，
∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16 cm2.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
(1)证明：如图①，在▱ABCD中，∵∠D＝60 °，∠DAB＝∠1＋∠2＝120 °.由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠1＝∠2＝∠D
＝60 °，∴△DEA和△AD′E是等边三角形，∴DE＝AD′＝AD＝ED′＝1.∵AB＝2，∴D′B＝1.同理EC＝1，∴EC＝D′B＝ED′＝1.∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC∥D′B，∴四边形D′BCE是平行四边形．又∵D′B＝ED′，∴▱BCED′是菱形；
① ②
(2) 解：如图②，BD的长即为所求，作DG⊥BA的延长线于点G.∵∠DAB＝120 °，∴∠DAG＝60 °，∵∠G＝90 °，∴∠ADG＝30 °.在Rt△ADG中，∵AD＝1，∴AG＝，DG＝.∵AB＝2，∴BG＝.在Rt△BDG中，BD2＝BG2＋DG2＝7，∴BD＝，即PD′＋PB＝.
22．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝____时，四边形MENF是正方形，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90 °.
又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.在△ABM和△DCM中，∴△ABM≌△DCM(SAS)；
(2)解：四边形MENF是菱形，证明略；
(3)解：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，∴AD＝2AM.∵AD∶AB＝2∶1，
∴AM＝AB.∵∠A＝90 °，∴∠ABM＝∠AMB＝45 °.
同理：∠DMC＝45 °.∴∠EMF＝180 °－45 °－45 °＝90 °.
∵四边形MENF是菱形，∴四边形MENF是正方形．
六、(本大题共12分)
23．如图①分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
①② ③
(1)在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图②所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证明三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H.
……
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明)；
(2)如图③，在(1)的前提下，当∠ABE＝135°时，延长AD，EF交于点N，求的值；
(3)在(2)的条件下，若＝k(k为大于的常数)，直接用含k的代数式表示的值．
(1)证明：思路一：∵AB＝CD，AB∥CD，又∵
四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF，AB∥EF，∴CD＝EF，CD∥EF，∴∠CDM＝∠FEM，又∠DMC＝∠EMF，∴可证△CDM≌△FEM，∴DM＝EM，∴点M是DE的中点．
思路二：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝BH.又∵AF∥BE，∴HM∥BE，∴＝＝1，∴DM＝EM.∴点M是DE的中点．
(2)解：∵△CDM≌△FEM，∴CM＝FM，设AD＝a，CM＝b，
∵∠ABE＝135°，AF∥BE，∴∠BAF＝45°＝∠NAF，∴四边形ABCD为正方形，∴AC＝AD＝a.∵AB∥EF，∴∠AFN＝∠BAF＝45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF＝AF＝(a＋b＋b)＝a＋b，NE＝a＋b＋a＝2a＋b，∴＝＝＝.
(3)解：∵＝＝＋2×＝k，∴＝(k－)，
∴＝＝×＋1＝×＋1＝ .
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