资料简介
第
2
章 整式加减
2.1
代数式
2.1
代数式
学习目标
进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值
.
（知识与技能）
为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据
： （单位：厘米）
下落高度
40
50
80
100
150
弹跳高度
20
25
40
50
75
1.
你能从表中发现每一对
(
上下两个
)
数之间的数量关系吗
?
2.
在这个问题中
,
如果我们用
b
厘米表示下落高度
,
那么相对应的弹跳高度为
_________
厘米。
1.
用字母表示数
1.
如果用
a
、
b
表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为
________
，乘法交换律可以用字母表示为
________.
a+b=b+a
ab=ba
2.图中由长方形和正方形拼成的大正方形的面积等于
＿＿＿＿＿．
我们还可以这样想，图中大正方形的边长是＿＿＿＿，因此它的面积是＿＿＿＿＿＿．
a²
+2ab+b
²
a+b
(a+b)
²
注意：
（
1
）在用字母表示数时，字母与字母之间的 乘号，一般省略不写，或者乘号用“
•
”
表示。
（
2
）数字与字母相乘，数字一般放在字母的前面。
做一做：
填空：
（
1
）某种瓜子的单价为
16
元
/
千克，则
b
千克需要
_____
元。
（
2
）小刚上学步行速度为
5
千米
/
小时
若小刚到学校的路程为
s
千米，则他上学需走
________
小时。
（
3
）钢笔每枝
m
元，铅笔每枝
n
元，买
2
支钢笔和
3
支铅笔共需
__________
元。
16
b
s/5
（
2
m+3n
）
上面的这些问题中出现的如
16n
，
s/5
，
2a+3b
，以及上节课出现的
a
，
b
，
a+b
，
a
•
b
，
a
²
，（
a+b
）
²
，
15
，
5050
，
5x
，
s/t
等式子，我们称它为
代数式
。
即
代数式
是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。
问题：
单独的一个数或一个字母也是代数式吗？
我们的答案是肯定的。
即
:
单独的一个数或一个字母也是代数式。
例
1
：填空：
（
1
）圆的半径为
r cm
，它的面积为
______cm
²
.
（
2
）长方形的长与宽分别为
a cm,b cm
，则该长方形的周长
__________cm.
（
3
）小强在小学六年中共攒了
a
元零花钱，上中学后买文具用去
b
元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款
___________
元。
（
4
）某机关原有工作人员
m
人，现精简机构，减少
20%
的工作人员，则有
________
人被精简。
r²
2
（
a+b
）
（
a
–b
）
20%
·
m
例
2.
结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释：
（
1
）
a
–b; (2) ab
解
：
（
1
）今年小明
b
岁、小明爸爸
a
岁，小明比他爸爸小（
a–b
）岁；
（
2
）长方形的长为
a
厘米，宽为
b
厘米，长方形的面积是
ab
平方厘米。
做一做：
下列代数式哪些书写不规范，请改正过来
3x+1 2. m
n–3 3. 2y
4. a
(b+c) 5. a
–1b
书写代数式要注意什么？
（
1
）代数式中出现乘号，通常写作“
•
”
或省略不写；
（
2
）数字与字母相乘，数字写在字母前面；
（
3
）除法运算写成分数形式。
例
2.
用代数式表示
（
1
）
a,b
两数的
平方和
减去他们乘积的
2
倍；
（
2
）
a,b
两数的
和的平方
减去他们的差的平方；
（
3
）
a,b
两数的和与他们的差的乘积；
（
4
） 偶数、奇数
.
（
4
）
2n
，
2n+1(n
为整数
)
（
3
）
(a+b)(a
–b
)
（
2
）
( a+b)
² –(a–b)²
（
1
）
a
² +b²–2ab
解：
单项式
学习目标：
(1)
理解单项式、单项式的系数和次数的概念．
(2)
会用单项式表示简单的数量关系．
(3)
经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的
数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力
.
字母表示数有什么意义？
用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，更适合于一般规律的表达
.
【
问题
1】
,
和 这三个式子的运算
含义是什么？
【
问题
2】
单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做
单项式
．
单独的
一个数或一个字母
也是单项式
．
观察式子 ， ， ， ， ，
这些式子有什么特点？
单项式
的系数：单项式中的
数字因数
叫做这个单项式的系数
.
如
单项式 ， ，
的系数分别是
100
，
1
，
-1
．
注意
：
（
1
）
单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面．
（
2
）当系数为
1
或－
1
时，这个“
1”
省略不写
.
（
1
）你能举出一个单项式的例子，并说出它
的系数和次数吗？
【
问题
3】
（
2
）请你写出一个单项式，并使它的系数是
－
2
，次数是
4
，那么该单项式可以是
.
练习
1
下列各式中哪些是单项式？
答案：
练习
2
填表：
单项式
系数
次数
2
2
－
1.2
1
1
3
－
1
2
2
3
3
（
1
） 每包书有
12
册，
n
包书有
册；
（
2
） 底边长为
a
cm
，高为
h
cm
的三角形的面积
是
cm
2
；
（
3
） 棱长为
a
cm
的正方体的体积是
cm
3
；
（
4
）一台电视机原价
a
元，现按原价的
9
折出售，
这台电视机现在的售价是
元；
（
5
）一个长方形的长是
0.9 m
，宽是
a
m
，这个长方
形的面积是
m
2
.
例
用单项式填空，并指出它们的系数和次数
:
（
1
） ，它的系数是
12
，次数是
1
；
解：
（
2
） ，它的系数是 ，次数是
2
；
（
3
） ，它的
系数是
1
，次数是
3
；
（
4
）
0.9
，它的系数是
0.9
，次数是１；
（
5
）
0.9
，
它的系数是
0.9
，次数是１．
【
问题
5】
你能赋予
0.9
a
一个含义吗？
用字母表示数后，同一个式子可以
表示不同的含义．
活动：“人人来当老师”
以小组为单位，每个小组学生说出一个单项式，然后请另一个小组的学生回答出所说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得正确，看哪一组回答得快而准
.
若 是关于
x
，
y
的一个
四次单项式，求
m
，
n
应满足的条件？
答案：
拓展提高
（
1
）本节课学了哪些主要内容？
（
2
）请你举例说明单项式的概念、单项式的
系数和次数的概念
.
【
课堂小结
】
多项式
学习目标：
(1)
理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念．
(2)
会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中字母的值求多项式的值．
（
1
）对于单项式，我们学习了哪些内容？
（
2
）请举例说明单项式、单项式的系数
和次数的概念．
，
，
，
，
．
（
1
）
观察式子
它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？
多项式
x
2
+2
x
+18
的项是
x
2
，
2
x
与
18
，其中
18
是常数项．
归纳：
多项式定义：几个单项式的和叫做多项式
.
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项
叫做常数项．
多项式
v
－
2.5
的项是
v
与－
2.5
，其中－
2.5
是常数项．
归纳：
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多
项式的次数．
如多项式 中次数最高项是一次项 ，
这个多项式的次数是１．
多项式 中次数最高项是二次
项 ，这个多项式的次数是２．
，
，
（
2
）
的项分别是什么？次数分别是多少？
定义：单项式与多项式统称整式．
（
1
）你能举出一个多项式的例子，并说出它的项和次数吗？
（
2
）请你写出一个二次三项式，并使它的二次
项系数是
－
2
，一次项系数是
3
，常数项是
5
，那么这个多项式可以是
.
例4
如图所示，用式子表示圆环的面积．
当
cm
，
cm
时，求
圆环的面积
（ 取 ）．
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环
的面积，所以圆环的面积是
．
这个圆环的面积是
cm
2
．
当
cm
，
cm
时，圆环的面积
（单位：
cm
2
）是
下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？
是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项
和次数：
练习
x
32
t
3
1
32
1
3
0
6
3
1
4
2
填空：
（
2
）
，
分别表示梯形的上底和下底， 表示
梯形的高，则梯形
面积 ＝
，当
＝
2 cm
， ＝
4 cm
，
＝
5 cm
时，＝
cm
2
．
（
1
） ， 分别表示长方形的长和宽，则长方形的
周长
＝
，面积 ＝
，当 ＝
2 cm
，
＝
3 cm
时， ＝
cm
， ＝
cm
2
；
3
个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？
4
个队呢？
5
个队呢？
n
个队呢？
练习
答案：
3
，
6
，
10
，
（
1
）本节课学了哪些主要内容？
（
2
）请你举例说明多项式的概念、多项式的
项和次数的概念
.
（
3
）请你举例说明整式的概念
.
【
归纳小结
】
第
2
章 整式加减
2.2 整式的加减
2.2 整式的加减
合并同类项
学习目标
:
(
1
)
理解同类项的概念；
(
2
)
掌握合并同类项的方法；
(
3
)
通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从
中体会数式通性和类比的数学思想．
引入
问题
1
在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是
100 km/h
，在非冻土地段的行驶速度是
120 km/h
，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的
2.1
倍
，如果通过冻土地段需要
t
h
，你能用含
t
的式子表示这段铁路的全长吗？
100
t
＋
120×2.1
t
＝
100
t
＋
252
t
这个式子的结果是多少？你是怎样得到的
?
类比探究，学习新知
（1）
运用有理数的运算律计算.
100
×
2+252
×
2=
；
100
×
(
-
2)+252
×
(
-
2)=
.
（1）
运用有理数的运算律计算
100
×
2+252
×
2
=
(
100+252
)
×
2=352
×
2=704
；
100
×
(
-
2)+252
×
(
-
2)
=
(
100+252
)
×
(-
2
)
=352
×
(-
2
)
=
-
704
.
100
t
+252
t
=(100+252)
t
=
352
t
（
2
）类比式子的运算，化简下列式子：
①
②
③
问题
3
观察多项式
， ， ，
（
1
）上述各多项式的项有什么共同特点？
（
2
）上述多项式的运算有什么共同特点
?
你能从中得出什么规律
?
（
1
）上述各多项式的项有什么共同特点？
①
每个式子的项含有相同的字母；
②
并且相同字母的指数也相同
.
（
2
）上述多项式的运算有什么共同特点
?
①
根据分配律把多项式各项的系数相加；
②
字母部分保持不变
.
定义和法则：
（
1
）所含字母相同，并且相同字母的指数也
相同的项叫做
同类项
.
几个常数项也是同类项
.
（
2
）把多项式中的同类项合并成一项，叫做
合并同类项
（
3
）合并同类项后，所得项的系数是合并前
各同类项的系数的和，且字母部分不变
.
例题
:
找出多项式
中的同类项并进行合并，思考下面问题：
每一步运算的依据是什么？注意什么？
解：
(
交换律
)
(
结合律
)
(
分配律
)
(
按字母的指数从大到小顺序排列
)
归纳步骤：
（
1
）找出同类项并做标记；
（
2
）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；
（
3
）合并同类项；
（
4
）按同一个字母的降幂（或升幂排列）．
合并下列各式的同类项:
（
1
）
（
2
）
（
3
）
例1
例2
（1）求多项式
的值，其中
（2）求多项式
的值，其中
例3
（1）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了a h，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a
解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有大米6x千克。
归纳小结
（
1
）本节课学了哪些主要内容？
（
2
）你能举例说明同类项的概念吗？
（
3
）举例说明合并同类项的方法
.
（
4
）本节课主要运用了什么思想方法研究问题？
去括号、添括号
用分配律计算
引入
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要u h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是120（u-0.5）km. 因此，这段铁路的全长（单位：km）是100u+120(u-0.5)
冻土地段与非冻土地段相差：
100u-120(u-0.5)
上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得
100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60
100u-120(u-0.5)=100u-120u+60=-20u+60
即：
+120(u-0.5)=+120u-60
-120(u-0.5)= -120u+60
比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同
.
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
.
顺口溜：
去括号，看符号：
是“
+”
号，不变号；
是“
-”
号，全变号
;
原来的符号和括号都扔掉
.
例：为下面的式子去括号
= +（3a-3b+3c）
= 3a-3b+3c
= -3a+3b-3c
= -（3a-3b+3c）
= +[3（a-b+c）]
= -[3（a-b+c）]
(1) +3
（
a - b+c
）
(2)- 3
（
a - b+c
）
结论：
括号外面的因数不是
1
或
-1
时，把符号留在外面，把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号
.
去括号时应注意的事项：
（
1
）去括号时应先判断括号前面是“
+”
还是“
-
”。
（
2
）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不变。
（
3
）括号前面是“－”时，去掉括号后，括号内的各项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。
（
4
）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。
（
5
）去括号法则的依据是分配律，计算时不能出现有些项漏乘的情况。
化简下列各式
例4
两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是
50 km/h
，水流速度是
a km/h.
（
1
）
2h
后两船相距多远？
（
2
）
2h
后甲船比乙船多航行多少千米？
例5
解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a) km，乙船2 h行驶了2(50-a) km，所以两船相距 ：
2(50+a)+2(50-a)=200 km。
（2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了
2(50+a)-2(50-a)=4a km。
整式加减
合并同类项的步骤
归纳步骤：
（
1
）找出同类项并做标记；
（
2
）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；
（
3
）合并同类项；
（
4
）按同一个字母的降幂（或升幂排列）．
去括号的法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同
.
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
.
合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。
例
6
计算
分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，第（2）题是计算多项式与多项式的差。
解：
例7
笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买3本笔记本，2支圆珠笔，小明买4本笔记本，3支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？
解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小明一共花费（单位：元）
（3x+2y）+（4x+3y）
=3x+2y+4x+3y
=7x+5y
解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共花费：（单位：元）
（3x+4x）+（2y+3y）
=7x+5y
例8
做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（
单位：
cm
）
解：
通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
解
：
例9
解
：
注意：
进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数值进行计算，这样会使计算比较简便。
练习
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