资料简介
第
12
章 一次函数
12.1
函数
如果
你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
45
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
45
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
45
h
/m
t/
min
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
11
37
45
h
/m
t/
min
下图反映了旋转时间
t
（分）与摩天轮上一点的高度
h
（米）之间的关系。
t
/
分
0
1
2
3
4
5
···
h
/
米
···
3
11
37
45
37
11
根据上图填表
做一做
1
、瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
层数
n
1
2
3
4
5
···
物体总数
y
···
1
3
6
10
15
做一做：
2
、大家都知道，路程（
s
）、速度（
v
）、时间（
t
）之间存在关系：
s
=
vt
假设某车的速度为60千米/时，当时间
t
为1小时，路程
s
为多少千米？当时间
t
为2小时和3小时时候呢？请用公式表示此问题中路程
（
s
）
与时间
（
t
）
之间存在的关系。
s
=60
t
想一想：
以上各例中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）的值。
s
=60
t
n
1
2
3
4
5
…
y
1
3
6
10
15
…
像
问题
3
中的速度
60
在整个过程保持不变的
是常量
一般
地，在某个变化过程中，有两个变量
x
和
y
，如果在
x
允许取值的范围内，每取一个
x
值，
y
都有唯一的值与它对应，那么我们称
y
是
x
的
函数（
function
）
，其中
x
是自变量，
y
是
因变量
.
高度
h
是时间
t
的函数
物体总数
y
是层数
n
的函数
路程
s
是
时间
t
的函数
n
1
2
3
4
5
…
y
1
3
6
10
15
…
s
=60
t
图象法
列表法
解析式法
函数的
表示方法
小结
函数关系的三种表示方法
1.列表法——通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的
方法
.
2.
解析式法
——用数学式子表示函数关系的方法.其中的等式叫做解析
式法（
注意自变量的取值范围
）
.
3.图象法——一般地，对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值分别做为点的横坐标和纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,由这些点组成的图形,就叫做这个函数的
图像
.
用
图像来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图象
法
.
试一试
：
1
、下图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
试一试：
2
、国内的某投寄平信应付邮资如下表：
信件质量
m
/
克
0<
m
≤20
20<
m
≤40
40<
m
≤60
邮资
y
/
元
0.80
1.20
1.60
上表中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
练习
1
下列
问题反映了哪两个量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
（
1
）地面气温是
20
o
C
，如果每升高
1
千米，气温下降
6
o
C
，气温
T
（
o
C
）随高度
h
（千米）
的变化
.
20
14
8
2
O
1 2 3
4
T
/
o
C
h
/km
（
2
）按下列程序输入一数
x
，便可输出一个相应的数
y
：
输入
x
＋
2 ×5
－
4
输出
y
；
（
3
）圆周长
C
（厘米）与半径
R
（厘米）的对应关系如下
表：（
π
取
3.14
）
半径
R
（厘米）
1
2
3
4
5
圆周长
C
（厘米）
6.28
12.56
18.84
25.12
31.40
练习
2
：
人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用
a
表示一个人的年龄，用
b
表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么
b
= 0.8
（
220
－
a
）。
（
1
）计算当
a
分别为
10
岁、
15
岁、
20
岁、
25
岁、
30
岁时相应的
b
值，并填写下表；
a
/
岁
10
15
20
25
30
b
/
次
（
2
）由于剧烈运动，初二（
4
）班的可可同学（
15
岁）
10
秒的心跳次数达到
28
次，他有危险吗？
168
164
160
156
152
有
危险
.
练习
3
：
商店进了一批货，出售时要在进价的基础上加上一定的差价，数量
x
（千克）与售价
c
（元）如下表：
数量
x
（千克）
售价
c
（元）
数量
x
（千克）
售价
c
（元）
1
4
＋
0.2
4
16
＋
0.8
2
8
＋
0.4
5
20
＋
1.0
3
12
＋
0.6
（
1
）你能写出用数量
x
表示售价
c
的公式吗？
（
2
）计算
3.5
千克货的
售价
.
c
=4.2
x
14.7
元
第
12
章 一次函数
12.2
一次函数
（第
1
课时
:
认识一次函数）
1
课堂讲解
一次函数
正比例函数
一次函数与正比例函数的关系
确定实际问题中的一次函数表达式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
学习目标
在上节，遇到过这样一些函数：
h
=30
t
+1800
;
Q
= -25
t
+300;
y
=2
x
;
y
=-2
x
;
s
=80
t
.
这些函数有什么共同特点？
1
知识点
一次函数
1.
定义：
一般地，形如
y
＝
kx
＋
b
(
k
，
b
为常数，且
k
≠0)
的
函数，叫做一次函数．当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
为
常数，且
k
≠0)
，所以说正比例函数是一
种
特殊
的一次函数
．
2.
要点精析：
一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的结构特征：
①
k
≠0
；
②
自变量
x
的次数是
1
；
③
常数项
b
可以是
任意
实数．
例
1
下列
函数中，哪些是一次函数，哪些又是
正比例
函数？
(1)
y
＝－
2
x
2
；
(2)
y
＝ ；
(3)
y
＝
3
x
2
－
x
(3
x
－
2)
；
(4)
x
2
＋
y
＝
1
；
(5)
y
＝－
.
导引：
先看函数式是否为整式，再经过恒等变形，
根据
一次函数和正比例函数的定义进行判断．
解：
(1)
因为
x
的指数是
2
，所以
y
＝－
2
x
2
不是一
次
函数
．
(2)
因为
所以 是一次函数．
(3)
因为
y
＝
3
x
2
－
x
(3
x
－
2)
＝
2
x
，
k
＝
2
，
b
＝
0
，
所以它是一次函数，也是正比例函数．
(4)
x
2
＋
y
＝
1
，即
y
＝
1
－
x
2
.
因为
x
的指数是
2
，
所以
x
2
＋
y
＝
1
不是一次函数．
(5)
因为
y
＝－
不是整式，不符合
y
＝
kx
＋
b
的形式，
所以它不是一次函数．
总
结
判断函数式是否为一次函数的方法：先看
函数
式是否是整式的形式，
再
将函数式进行恒等变形
，看
它是否符合一次函数表达式
y
＝
kx
＋
b
的结构特征
：
(
1)
k
≠0
；
(
2)
自变量
x
的次数为
1
；
(
3)
常数项
b
可以
为任意
实数．
例
2
已知
函数
y
＝
(
n
2
－
4)
x
2
＋
(2
n
－
4)
x
m
－
2
－
(
m
＋
n
－
8)
；
(
1)
当
m
、
n
为何值时，函数是一次函数？
(
2)
如果函数是一次函数，计算当
x
＝
1
时的函数值．
导引：
(1)
由一次函数的定义，结合原函数式的特征知
：
①
二次项的系数必为
0
，即
n
2
－
4
＝
0
；
②
(2
n
－
4)
x
m
－
2
必为一次项，即
m
－
2
＝
1
，
2
n
－
4≠
0
；
(2
)
写出表达式，运用代入法求函数值．
解：
(1)
由题意，得
解得
m
＝
3
，
n
＝－
2.
所以
当
m
＝
3
，
n
＝－
2
时函数是一次函数．
(
2)
由
(1)
得此一次函数的表达式
为
y
＝－
8
x
＋
7
.
当
x
＝
1
时
，
y
＝－
8×1
＋
7
＝－
1.
总
结
根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意：
(1)
函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以
上
的项，则其系数必为
0
；
(2)
隐含条件
：自变量
(
一次项
)
的系数不为
0.
2
知识点
正比例函数
1.
定义：
一般地，形如
y
＝
kx
(
k
为常数，且
k
≠0)
的函数，
叫做正比例函数；其中
k
叫做比例系数．
要点精析：
(1)
判断一个函数是否为正比例函数的方法：
看这个函数是否满足以下
两个条件
：
①
所给等式是形如
y
＝
kx
的等式；
②
比例系数
k
是常数，且
k
不等于
0.
同时满
足这两个条件
，它就是正比例函数．
(2)
正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正
比例函数关系．
2
．
易错警示：
(1)
正比例函数
y
＝
kx
中，
k
≠0
，
x
的指数为
1
；
(2)
自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数
中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问
题中，注意自变量的取值要有实际意义
.
例
3
写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是
正比例函数．
(1)
已知圆的周长
C
是半径
r
的函数；
(2)
油箱中有油
30 L
，若油均匀流出，
150 min
流尽，则油箱中余油量
Q
(L)
是流出时间
t
(min)
的函数；
(3)
小明以
4 km/h
的速度匀速前进，则他所走
的路程
s
(km)
是时间
t
(h)
的函数；
(4)
某种商品每件进价
100
元，售出时每件获得
20%
的
利润，销售额
y
(
元
)
是售出商品数量
x
(
件
)
的函数．
解：
(1)
C
＝
2π
r
，是正比例函数．
(2)
Q
＝
30
－
t
，不是正比例函数．
(3)
s
＝
4
t
，是正比例函数．
(4)
y
＝
(100
＋
100×20%)
x
＝
120
x
，是正比例函数．
总
结
(1)
根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成
函数表达式
的形式．
(2)
判断是否为正比例函数的
依据
：即看两个变量的
比是不是
常数，即是不是形如
y
＝
kx
(
k
为常数，且
k
≠0
)
的
函数．
例
4
已知函数
y
＝
(
k
－
2)
x
|
k
|
－
1
(
k
为常数
)
是正比例函
数，则
k
＝
________
．
导引：
根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足：
(1)
变量
x
的指数为
1
，即
|
k
|
－
1
＝
1
，所以
k
＝
±2
；
(2)
比例系数
k
－
2≠0
，即
k
≠2.
综上，
k
＝－
2.
－
2
总
结
由正比例函数的定义知正比例函数的自变量
的指数
为
1
；应用定义求值时，不要忽视比例系数
不为
0
这一条件
.
3
知识点
一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数，但一次函数
不一定是
正比例函数．
4
知识点
确定实际问题中的一次函数表达式
例
5
已知某山区的平均气温与该山区的海拔关系如下表：
(1)
若海拔用
x
(
米
)
表示，平均气温用
y
(℃)
表示，
试 写出
y
与
x
的函数表达式；
(
2)
若某种植物适宜生长在
18 ℃
～
20 ℃(
含
18 ℃
和
20 ℃)
的山区
，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
海拔
/
米
0
100
200
300
400
…
平均气温
/℃
22
21.5
21
20.5
20
…
导引：
观察、分析表中数据可知，海拔每增加
100
米，
平均气温就要下降
0.5 ℃.
这符合一次函数的特
征，因此可以建立一次函数的模型解题．
(1)
从
表格中获取两对
x
、
y
的对应值，利用待定系数
法求一次函数的表达式；
(2)
将问题转化为函数
问题，即求已知函数值所对应的自变量
x
的值．
解：
(1)
设所求的函数表达式为
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0
，
x
≥0)
．
因为当
x
＝
0
时，
y
＝
22
，当
x
＝
200
时，
y
＝
21
，
所以所求的函数表达式为
y
＝－
x
＋
22(
x
≥0)
．
(2)
由
(1)
知
y
＝－
x
＋
22(
x
≥0)
，令
y
＝
18
，得
x
＝
800
，
令
y
＝
20
，得
x
＝
400
，
所以当
18≤
y
≤20
时，
400≤
x
≤800.
所以该植物适宜种植在海拔为
400
米～
800
米
(
含
400
米和
800
米
)
的山区．
总
结
表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的
关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息；
其
建模的过程
是：先设出函数的表达式，然后找出
两对对应值，列出二元一次方程组，求解即可得到
表达式
.
一次函数和正比例函数：
一般
地，形如
y
＝
kx
＋
b
(
k
，
b
为常数，
k
≠0)
的函数
叫做一次函数
，其中
x
是自变量
，
y
是
x
的函数．
特别
地，当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
为常数，
k
≠0)
，
y
叫做
x
的正比例
函数．
说明
：
(1)
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数
包括
正比例函数；
(2)
判断一个函数是否是一次函数，
必须
将其化成最简形式．
课堂小结
第
12
章 一次函数
12.2
一次函数
（第
2
课时
:
正比例函数的图象与性质
）
1
课堂讲解
函数的
图象
正比例
函数的
图象
正比例函数的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
学习目标
1
知识点
函数的图象
前面画过函数
y
=2
x
,
y
=
-
2
x
及另外一些正比例函数
的图象，可见正比例函数
y
=
kx
(
k
为常数，且
k
≠
0)
的图
象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数
y
=
kx
(
k
为常数，且
k
≠
0)
的图象叫做直线
y
=
kx
.
因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象，
只要先描出两点，再过这两点画直线，就可以了
.
下列各点在函数
y
＝－
x
的图象上的是
(
)
A.
(1
，
)
B
．
(
－
1
，
)
C
．
(3
，－
)
D
．
(
－ ，
3)
已知点
A
(2
，
3)
在函数
y
＝
ax
2
-
x
＋
1
的图象上，则
a
等于
(
)
A.-1 B
.
1 C
.
2 D.-2
1
2
2
知识点
正比例函数的图象
例
1
在同一平面直角坐标系中，画下列函数的
图象：
y
=
x,
y
=
x
,
y
=3
x.
解：
列表
(
为便于比较，三个函数值计算表排在一起
)
x
…
0
1
…
y
=
x
…
0
…
y
=
x
…
0
1
…
y
=3
x
…
0
3
…
如图，过两点（
0, 0
），（
1
， ）画直线，
得
y
=
x
的图象；
过两点（
0, 0
），（
1, 1
）
画直线，得
y
=
x
的图象；
过两点（
0, 0
），（
1, 3
）
画直线，得
y
=3
x
的图象
.
总
结
正比例函数
y
＝
kx
(
k
是常数，且
k
≠0)
的图象是
一条
经过原点及
(1
，
k
)
的直线，
通常
作正比例函数
的图象
是过
(0
，
0)
和
(1
，
k)
两点画直线，但也可以变通
，选点
应以便于计算和描点
为原则
．
3
知识点
正比例函数的性质
学过了上面例
1
及练习后可以看出，当
k
取不同
的数值时，就确定正比例函数
y=kx(k
为常数
，且
k
≠
0)
在坐标系中有不同的位置
.
你能从中
归纳出
怎样的规律？
图象：
正比例函数
y
＝
kx(k
为常数，且
k
≠0)
的图象是
一条经过
原点
的直线，我们称它为直线
y
＝
kx
.
性质：
当
k
＞
0
时，直线
y
＝
kx
经过第
一、三
象限，从
左向右上升
，
y
随着
x
的增大而增大，
当
k
＜
0
时，直线
y
＝
kx
经过第
二、四
象限，
从左向右下降，
y
随着
x
的增大而减小．
例
2
〈
广东珠海
〉
已知函数
y
＝
3
x
的图象经过点
A
(
－
1
，
y
1
)
，点
B
(
－
2
，
y
2
)
，则
y
1
________
y
2
(
填
“
＞
”“
＜
”
或
“
＝
”)
．
＞
导引：
方法一：把点
A
，点
B
的坐标分别代入函数
y
＝
3
x
，求出
y
1
，
y
2
的值比较大小即可．
方法二：画出正比例函数
y
＝
3
x
的图象，在函
数图象上标出点
A
，点
B
，利用数形结合思想
来比较
y
1
，
y
2
的大小．
如图，观察图象，
显然可得
y
1
＞
y
2
.
方法三：根据正比例函数的
增减性来比较函数值的大小．
根据正比例函数的性质，
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大，即可得
y
1
＞
y
2
.
总
结
正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比例系
数以及横坐标的大小有关；比例系数是正数时，
函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时，
函数值随自变量的增大而减小．本例的解法中，
方法一
是用求值比较法；
方法二
是利用
数形结合思想
，
用
“
形
”
上的点的纵坐标位置来比较
“
数”的大小；
方法三
是利用函数的增减性来比较大小．
例
3
已知正比例函数
y
＝
k
1
x
与
y
＝
k
2
x
的图象如图，
比较
k
1
与
k
2
的大小．
导引
：
两个函数的自变量取
相同的数值，当所取
的数是
正数
时，比较两
个函数值的大小即可得
k
1
，
k
2
的大小．
解：
在正比例函数
y
＝
k
1
x
图象位于第一象限的射线上
取一点
A
，设点
A
的坐标是
(
a
，
k
1
a
)
，
过点
A
引
x
轴的垂线交正比例函数
y
＝
k
2
x
的图象于
一点
B
，
x
轴上的垂足是
H
，
所以点
B
的坐标是
(
a
，
k
2
a
)
，
由于
k
1
a
＞
k
2
a
，且
a
＞
0
，因此
k
1
＞
k
2
.
总
结
利用正比例函数的图象比较比例系数的大小，
可以
在一条直线上取一点
A
，
通常
使得这点的横坐标是
1
，过
这点引
x
轴的垂线，交另一直线于一点
B
，比较两
点纵坐标
的大小即可．
例
4
若正比例函数
y
＝
(3
k
－
5)
x
及
y
＝
(5
k
－
3)
x
的图
象如图所示，
则
k
的取值范
围是
________
．
导引：
由正比例函数的图象及性质知：
3
k
－
5
＜
0
，
即
k
＜ ；
5
k
－
3
＞
0
，即
k
＞
.
综合
两个不
等式的解集，得 ＜
k
＜
.
总
结
(1)
由正比例函数的性质
y
随
x
的增大而增大或减小，可以
判断比例系数的符号，当
y
随
x
的增大而增大时，比例
系数
k
大于
0
，反之比例系数
k
小于
0
；
(2)
由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限
可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时，
k
＞
0
，当直线过二、四象限时，
k
＜
0.
画正比例函数图象的技巧：
(1)
由于两点确定一条直线，因此画正比例函数
y
＝
kx(k
≠0)
的图象时，我们一般选
(0
，
0)
和
(1
，
k
)
这两点．
(2)
列表时，点
(
x
，
y
)
可任意选取适合
y
＝
kx
的点，但为方便
描点，坐标通常取整数．
注意：
有些图象根据自变量取值范围的不同而有所变化，
或是一条射线，或是一条线段，或是直线上的一些点．例
如正比例函数
y
＝
2
x
(
x
≥0)
的图象是一条射线．
课堂小结
第
12
章 一次函数
12.2
一次函数
（第
3
课时 一次函数的图象与性质）
1
课堂讲解
一次函数
y
=
kx
+
b
的
图象
直线
y
=
kx
+
b
的
位置与
k
，
b
的
关系
一次函数
y
=
kx
+
b
的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
学习目标
1
知识点
一次函数
y
=
kx
+
b
的图象
正比例函数
y
=
kx
(
k
为常数，且
k
≠
0)
的
图象是
一条直线
.
对于一次函数
y
=
kx
+
b
(
k
，
b
为常数
，且
k
≠
0),
当
b
≠
0
时，它的图象又是什么呢？
例
1
画一次函数
y
=2
x
+3
的图象
.
解：
为了便于对比，列出一次函数
y
=2
x
+3
与正比例
函数
y
=2
x
的
x
与
y
的对应值表
:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
=2
x
…
-4
-2
0
2
4
…
y
=2
x
+3
…
-4+3
-2+3
0+3
2+3
4+3
…
从表中可以看出，对于自变量
x
的同一个值，一次函数
y
=2
x
+3
的函数值要比函数
y
=2
x
的函数值大
3
个单位
.
也就是说，
对于相同的横坐标，一次函数
y
=2
x
+3
的图象上点的纵坐标
要比正比例函数
y
=2
x
图象上点的纵坐标大
3.
因此，把直线
y
=2
x
向上平移
3
个单位，就
得到一次函数
y
=2
x
+3
的图象
.
由此可见，一次函数
y
=2
x
+3
的图象
是平行于直线
y
=2
x
的一条直线，
如图
.
1.
一次函数的图象与性质：
一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
、
b
为常数，且
k
≠0)
的图象
是一条直线，我们称它为直线
y
＝
kx
＋
b
；它必
过
(0
，
b
)
和
两
点，它与
y
轴的交点
(0
，
b
)
中
b
叫做直线
y
＝
kx
＋
b
在
y
轴上的截距，简称
截距
．
2
．
一次函数图象的画法：
(1)
两点法：由于两点确定一条直线，所以在平面
直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适
合表达式的两点，再过这两点作直线即可．通
常
选取
(0
，
b
)
和 ，即与两坐标轴相交的
两点
；
(2)
平移法：
直线
y
＝
kx
＋
b
可以看作由直线
y
＝
kx
平移
得到：
①
当
b
＞
0
时，把直线
y
＝
kx
向上平移
b
个单位得到直
线
y
＝
kx
＋
b
；
②
当
b
＜
0
时，把直线
y
＝
kx
向下平移
|
b
|
个单位得到直
线
y
＝
kx
＋
b
.
用一句话来表述就是：
“
上加下减
”
；上、下是
“
形
”
的平移，加减是
“
数
”
的变化．
例
2
在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的
图象，并求它们的截距．
(1)
y
1
＝
2
x
－
1
；
(2)
y
2
＝
2
x
；
(3)
y
3
＝
2
x
＋
2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
导引：
(1)
可取
(0
，－
1)
及
(1
，
1)
两点；
(2)
可取
(0
，
0)
及
(1
，
2)
两点；
(3)
可取
(0
，
2)
及
(1
，
4)
两点，分别作直线即
可得到它们的图象，再通过观察图象，
得出结论．
解：
列表如下：
x
0
1
y
1
－
1
1
x
0
1
y
2
0
2
x
0
1
y
3
2
4
描点、连线．
即可得到它们的图象．
如图
.
它们
的截距分别为－
1
，
0
，
2.
从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行
的
直线，原因是这组函数的表达式中
k
的值都是
2.
结论
：
一次函数中的
k
值相等
(
b
值不等
)
时，
其 图象 是一组
互相平行的直线．它们可以通过互相平移得到．
总
结
画一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
，
b
为常数，且
k
≠0)
的
图象
，
通常选取该直线与
y
轴的交点
(
横坐标为
0
的点
)
和直线
与
x
轴的交点
(
纵坐标为
0
的点
)
，由两点确定
一条
直线得一次函数的图象
.
2
知识点
直线
y
=
kx
+
b
的位置与
k
,
b
的关系
直线
y
＝
kx
＋
b
的位置是由
k
和
b
的符号决定的，它们的关系如下表：
k
的符号
k
＞
0
k
＜
0
b
的符号
b
＞
0
b
＝
0
b
＜
0
b
＞
0
b
＝
0
b
＜
0
图象
经过的象限
一、二、三
一、三
一、
三、
四
一、二、四
二、四
二、三、四
续表：
一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象
例
3
已知直线
y
＝
(1
－
3
k
)
x
＋
2
k
－
1.
(1)
k
为何值时，直线与
y
轴交点的纵坐标是－
2?
(2)
k
为何值时，直线经过第二、三、四象限？
(3)
k
为何值时，已知直线与直线
y
＝－
3
x
－
5
平行？
导引：
(1)
可令
2
k
－
1
＝－
2
或将
(0
，－
2)
代入函数表达
式即可求得
k
的值
；
(2)
直线经过第二、三、四象限，则
解不等式组求出
k
的取值范围即可；
(3)
两直线若平行，则它们的自变量的系数应相等，
所以
1
－
3
k
＝－
3
且
2
k
－
1≠
－
5
，可求出
k
值．
解：
(1)
由
题意得
2
k
－
1
＝－
2
，解得
k
＝－
，
所以当
k
＝－ 时，直线与
y
轴交点的纵坐标是－
2.
(2)
当
即当 ＜
k
＜
时
，直线经过
第二、三、四象限．
(3)
由题意得
1
－
3
k
＝－
3
，即
k
＝ ，
此时
2
k
－
1
＝
≠
－
5
，
所以，当
k
＝ 时，
已知直线与直线
y
＝－
3
x
－
5
平行．
总
结
|
k
|
的大小决定直线的
倾斜程度
，
b
的正负决定
直线
与
y
轴交点的位置
．当
k
＞
0
，
b
＞
0
时，直线不
经过第四
象限；当
k
＞
0
，
b
＜
0
时，直线不经过第二象限
；当
k
＜
0
，
b
＞
0
时，直线不经过第三象限；当
k
＜
0
，
b
＜
0
时，直线不经过第一象限．
3
知识点
一次函数
y
=
kx+b
的性质
1.
已知一次函数
y
=3
x
+1,
y
=2
x
-3,
y
=
x
+4.
（
1
）分别列出
x
,
y
的对应值表，观察当自变量
x
的值由小
到大增大时，函数
y
的值是增大还是减小？
（
2
）画出图象，上述变化从图象上看，直线从左到右是
上升还是下降？
2.
用类似的方法，观察函数
y
=-3
x
-1,
y
=-2
x
+3,
y
=-
x
-4
图象的变化趋势，从中你有什么发现？
探究
一般地，一次函数
y
=
kx
+
b
(
k
，
b
为常数，且
k
≠
0)
有
下列性质：
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大（图象是自左向右上
升的）；
当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小（图象是自左向右下
降的）
.
例
4
已知一次函数
y
＝
(6
＋
3
m
)
x
＋
(
m
－
4)
，
y
随
x
的
增大而增大，函数的图象与
y
轴的交点在
y
轴
的负半轴上，求
m
的取值范围．
导引：
根据一次函数的性质可知，
解不等式组 即可．
解：
根据题意，得
解得
-2
＜
m
＜
4.
所以
m
的取值范围是
-2
＜
m
＜
4.
总
结
对于一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
，
b
为常数，且
k
≠0)
，
(1)
判断
k
值符号的方法：
①
增减性法
：当
y
随
x
增大而增大时，
k
＞
0
；
反之，
k
＜
0.②
直线升、降法
：当直线从左到右上升时，
k
＞
0
；
反之，
k
＜
0.③
经过象限法
：直线过一、三象限时，
k
＞
0
；直
线过二、四象限时，
k
＜
0.(2)
判断
b
值符号的方法
：与
y
轴交点
法，即若直线
y
＝
kx
＋
b
与
y
轴交于正半轴，则
b
＞
0
；与
y
轴交
于负半轴，则
b
＜
0
；与
y
轴交于原点，则
b
＝
0.
一次函数图象的平移规律：
(1)
上、下平移
：直线
y
＝
kx
＋
b
向上平移
n
(
n
＞
0)
个单位得
到直线
y
＝
kx
＋
b
＋
n
；直线
y
＝
kx
＋
b
向下平移
n
(
n
＞
0)
个单位得到直线
y
＝
kx
＋
b
－
n
，简记为：上加下减
(
只
改变
b
)
．
(2)
左、右平移
：直线
y
＝
kx
＋
b
向左平移
m
(
m
＞
0)
个单位
得到直线
y
＝
k
(
x
＋
m
)
＋
b
；直线
y
＝
kx
＋
b
向右平移
m
(
m
＞
0)
个单位得到直线
y
＝
k
(
x
－
m
)
＋
b
，简记为：左加
右减
(
只改变
x
)
．
课堂小结
第
12
章 一次函数
12.2
一次函数
（第
4
课时 一次函数的表达式的求法）
1
课堂讲解
用待定系数法求正比例函数的
表达式
用待定系数法
求一次函数的
表达式
用
对称、平移
、旋转法
求一次函数的表达式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
学习目标
1
知识点
用待定系数法求正比例函数的表达式
1.
确定正比例函数的表达式，就是确定正比例函数表达
式
y
＝
kx
(
k
≠0)
中常数
k
的值．
2.
求正比例函数表达式的
步骤
：设
→
代
→
求
→
写，即：
(1)
设
：
设
出正比例函数表达式
y
＝
kx(k
≠0)
；
(2)
代
：将所给数据
代入
函数表达式；
(3)
求
：
求出
k
的值；
(4)
写
：
写出
正比例函数的表达式．
例
已知：
y
与
2
x
成正比例，且当
x
＝
3
时，
y
＝
12
，
求
y
与
x
的函数表达式．
导引：
根据正比例函数的定义，按求正比例函数表达
式的步骤求．
解：
设
y
＝
k
·
2
x
(
k
≠0)
．因为当
x
＝
3
时，
y
＝
12
，
所以
12
＝
2×3×
k
，
所以
k
＝
2.
所以所求的函数表达式为
y
＝
4
x
.
总
结
已知正比例函数的函数值随着自变量
增大
1
个单位
时，函数值的增加量是某个数值，比例系数
的值
就是这个增量；当函数值随着自变量增加
1
个
单位时
，函数值的减少量是某个数值，比例系数就是
这个
减少量的相反数．
例
已知过正比例函数的图象上一点
P
(1
，
k
)
引
x
轴的
垂线，正比例函数的图象、垂线与
x
轴
构成的
三角形的面积是
8
，求正比例函数的表达式．
导引：
由于题目没有说明
k
的符号，因此分两种情
况
讨论．
解：
当
k
＞
0
时，根据已知得
×1
·
k
＝
8.
解得
k
＝
16.
当
k
＜
0
时，根据已知得
×1
·
(
－
k
)
＝
8.
解得
k
＝－
16.
因此满足条件的正比例函数的表达式是
y
＝
16
x
或
y
＝－
16
x
.
总
结
若过正比例函数的图象上一点
P
(1
，
k
)
引
x
轴或
y
轴
的垂线，函数的图象、垂线以及
x
轴或
y
轴构成
的三角形
的面积是
n
(
n
＞
0)
，则正比例函数中的比例
系数
k
的值为
±2
n
.
2
知识点
用待定系数法求一次函数的表达式
例
如果知道一个一次函数，当自变量
x
=4
时，函
数值
y
=5;
当
x
=5
时，
y
=2.
写出函数表达式并画
出它的图象
.
解：
因为
y
是
x
的一次函数，设其表达式为
y
=
kx
+
b
.
由题意，得
解方程组，得
k
=
-
3,
b
=17.
所以函数
表达式为
y
=
-
3
x
+17.
图象如图中的直线
.
1.
定义：
先设出待求的函数表达式，再根据条件确定表
达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法叫做
待定系数法．
2
．
一般步骤：
(1)
设出
含有待定系数的函数表达式；
(2)
把已知条件中的自变量与函数的对应值
代入
函数表达
式，得到关于待定系数的方程
(
组
)
；
(3)
解
方程
(
组
)
，求出待定的系数；
(4)
将求得的待定系数的值
代回
所设的表达式．
例
已知一次函数的图象经过
(
－
4
，
15)
、
(6
，－
5)
两点，求一次函数的表达式．
导引：
设一次函数的表达式为
y
＝
kx
＋
b
，因为它的图
象经过
(
－
4
，
15)
、
(6
，－
5)
两点，所以当
x
＝
－
4
时，
y
＝
15
；当
x
＝
6
时，
y
＝－
5.
由此可以得
到关于
k
、
b
的方程组，解方程组即可求出待定
系数
k
和
b
的值．
解：
设一次函数的表达式为
y
＝
kx
＋
b
.
因为
y
＝
kx
＋
b
的图象经过
(
－
4
，
15)
和
(6
，－
5)
两点，
所以
解得
所以一次函数的表达式为
y
＝－
2
x
＋
7.
总
结
求
一次函数的表达式都要经过
设
，
列
，
解
，
还原
四步，设都相同，就是设出一次函数的表达式，
列就是
把已知两点的坐标代入所设表达式，得出一个
二元
一次方程组，解这个方程组，回代所设表达式即
得表达式
．
例
已知一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象经过点
(
－
2
，
5)
，并且与
y
轴交于点
P
.
直线
y
＝－
x
＋
3
与
y
轴交于点
Q
，点
P
与点
Q
的纵坐标互为相反
数．求这个一次函数的表达式．
导引：
要确定这个一次函数的表达式，关键是求出
点
P
的坐标．
解：
因为点
Q
是直线
y
＝－
x
＋
3
与
y
轴的交点，
所以点
Q
的坐标为
(0
，
3)
．
又因为点
P
与点
Q
的纵坐标互为相反数，
所以点
P
的坐标为
(0
，－
3)
．
所以直线
y
＝
kx
＋
b
过
(
－
2
，
5)
，
(0
，－
3)
两点，
所以
解得
所以这个一次函数的表达式为
y
＝－
4
x
－
3.
总
结
用
待定系数法
确定函数表达式时，应注意结合
题目
信息，根据不同情况选择相应方法：
(1)
如果已知图象经过点的坐标，那么可直接构造
方程
(
组
)
求解；
(2)
当直线经过的点的坐标未知时，结合题意，先
确定直线
经过的点的坐标，再构造方程
(
组
)
求解．
3
知识点
用对称、平移、旋转法求一次函数的表达式
例
〈
内蒙古包头
〉
如图，已知一条直线经过点
A
(0
，
2)
，点
B
(1
，
0)
，将这条直线向左平移
与
x
轴，
y
轴分别交于
点
C
，点
D
.
若
DB
＝
DC
，
则直线
CD
对应的函数
表达式为
．
y
＝－
2
x
－
2
导引：
本题可以用
平移法
来求解．由题中条件知直线
CD
是由
AB
向左平移得到的，因此可先求出
AB
对应的函数表达式：
y
＝－
2
x
＋
2
，再求出
点
C
(
－
1
，
0)
或点
D
(0
，－
2)
，用平移法来求
CD
对应的函数表达式：
(1)
若求点
C
(
－
1
，
0)
，
由
B
(1
，
0)→
C
(
－
1
，
0)
说明直线
AB
向左平移
2
个单位后得到直线
CD
，因此可采用
“
左加右
减
”
法求直线
CD
对应的函数表达式，
“
左
”
表
示向左平移，
“
加
”
表示将自变量加，即由
y
＝－
2
x
＋
2
得
y
＝－
2(
x
＋
2)
＋
2
＝－
2
x
－
2
；
(2)
若求点
D
(0
，
－
2)
，由
A
(0
，
2)→
D
(0
，－
2)
说明直线
AB
向下平
移
4
个单位得到直线
CD
，因此可采用
“
上加下减
”
法求直线
CD
对应的函数表达式，
“
下
”
表示向下平
移，
“
减
”
表示将直线与
y
轴交点的纵坐标
b
减，即
由
y
＝－
2
x
＋
2
得
y
＝－
2
x
＋
(2
－
4)
＝－
2
x
－
2.
总
结
确定一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
，
b
为常数，且
k
≠0)
的表达式的一般
常用方法：一是
待定系数法
，选取关于
x
，
y
的两对对应值代入一
次函数的表达式
y
＝
kx
＋
b
，建立关于
k
，
b
的二元一次方程组，从
而求出
k
和
b
的值；二是
平移法
，直线
y
＝
kx
＋
b
的平移规律可理解
为
“
左加右减，上加下减
”
，而在同一直角坐标系内平移直线时，
平移前后两直线表达式中的
“
k
”
保持不变．
“
左加右减
”
表示直线
y
＝
kx
＋
b
向左、右平移
m
个单位得直线
y
＝
k
(
x
±
m
)
＋
b
；
“
上加下减
”
表示直线
y
＝
kx
＋
b
向上、下平移
n
个单位得直线
y
＝
kx
＋
(
b
±
n
)
．
例
如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与
x
轴、
y
轴分别交于
A
,
B
两点，点
C
（
0
，
n
）是
y
轴正半轴上一点，把坐
标平面沿
AC
所在直线折
叠，使点
B
刚好落在
x
轴上，
则点
C
的坐标是（ ）
A. (0
，
) B. (0
，
)
C. (0
，
3
) D. (0
，
4)
B
解析：
过点
C
作
CD
⊥
AB
于点
D
，如图，对于
令
x
=0
，得
y
=3
，令
y
=0
，得
x
=4
，∴
A
(4
，
0),
B
(0
，
3),
即
OA=
4
，
OB
=3
，∴
AB
=5
，又∵坐标平面沿
直线
AC
折叠，使点
B
刚好落在
x
轴上，∴
AC
平
分∠
OAB
,
∴
CD=CO=n
,
由题意易得
BC
=3
-
n
,
DA
=
OA
=4
，∴
BD
=5
-
4=1
，在
Rt
△
BCD
中，
CD
2
+BD
2
=BC
2
，即
n
2
+1
2
=(3
-
n
)
2
,
解得
n
= ,
∴点
C
的坐标为
(0,
)
.
故选
B.
总
结
一个角沿其平分线进行折叠，其一条边上的点
一定会落在另一条边上，由此知道
AC
为
∠
OAB
的
平分线，再根据角平分线的性质和勾股定理即可求
得
n
的值．
用待定系数法求一次函数表达式要明确两点：
(1)
具备条件：
一次函数
y
＝
kx
＋
b
中有两个不确定的
系数
k
，
b
，
需要两个独立的条件
确定两个关于
k
，
b
的方程，求得
k
，
b
的值．这两个条件通常是两
个点的坐标或两对
x
，
y
的值．
(2)
确定方法
：将两对已知变量的对应值分别代入
y
＝
kx
＋
b
中，建立关于
k
，
b
的两个方程，通过解
这两个方程，求出
k
，
b
，从而确定其表达式．
课堂小结
第
12
章 一次函数
12.2
一次函数
（第
5
课时 一次函数的实际应用）
学习目标
课堂讲解
建立一次函数模型解实际
问题
用一次函数解
含图象的实际问题
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
知识点一：
建立一次函数模型解实际问题
1.
利用函数方法解决实际问题，
关键
是分析题中的
数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将
实际问题抽象为函数模型，即建模，再利用函数
的性质解决问题．一次函数的应用主要有两种类型：
(1)
给出了一次函数的表达式，直接应用一次函数的性
质解决问题；
(2)
只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的
情境时，应先求出表达式，进而利用一次函
数的性质解决问题．
要点精析：
“
建模
”
可以把实际问题
转化为
关于一次函数的数
学问题，它的关键是确定表达式，并确定实际问
题中自变量的取值范围．
2
．分段函数：在自变量的不同取值范围内表示函
数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称
为分段函数．
要点精析：
(1)
分段函数从文字中体现出的是两个变量之间的变
化规律发生了变化．
(2)
分段函数从图象的角度体现出的是有
折点
，折点
就是自变量分段的关键点．
例
1
为
节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每
户每月
用水不超过
8m
3
时，每立方米收取
1
元
外加
0.3
元的污水处理费；超过
8m
3
时，超过部分每
立方米
收取
1.5
元外加
1.2
元的污水处理费
.
设
一户
每月用水量为
x
m
3
，应缴水费
y
元
.
（
1
）给出
y
与
x
之间的函数表达式；
（
2
）画出上述函数图象；
（
3
）当该市一户某月的用水量为
x
=5m
3
或
x
=10m
3
时
， 求
其应缴的水费；
（
4
）该市一户某月缴水费
26.6
元，求该户这个月
用水量
.
分析：
用水时以
8m
3
为界，分成两段，收费标准不一样：
当
x
≤
8
时，每立方米收费（
1+0.3
）元；当
x
>8
时，
超出部分每立方米收费（
1.5+1.2
）元
.
另外，收费
时
x
一般取整数，不足
1m
3
的可并入下月计费
.
解：
（
1
）
y
与
x
之间的函数表达式为：
（
2
）如图，函数图象是一段折线
.
（
3
）当
x
=
5m
3
时，
y
=1.3×5=6.5
（元）；
当
x
=
10m
3
时，
y
=2.7×10
-
11.2=15.8
（元）
.
即当用水量为
5m
3
时，该户应缴水费
6.5
元；
当用水量为
10m
3
时，该户应缴水费
15.8
元
.
（
4
）
y
=26.6>1.3×8
，可见该户这月用水超过
8m
3
，
因此
2.7
x
-
11.2=26.6,
解方程，得
x
=14.
即该户本月用水量为
14m
3
.
例
2
已知某山区的平均气温与该山区的海拔关系如下表：
(
1)
若海拔用
x
(
米
)
表示，平均气温用
y
(℃)
表示，试
写出
y
与
x
的函数表达式；
(
2)
若某种植物适宜生长在
18 ℃
～
20 ℃(
含
18 ℃
和
20
℃
)
的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少
米的
山区？
海拔
/
米
0
100
200
300
400
…
平均气温
/℃
22
21.5
21
20.5
20
…
导引：
观察、分析表中数据可知，海拔每增加
100
米，平
均气温就要下降
0.5 ℃.
这符合一次函数的特征，
因此可以建立一次函数的模型解题．
(1)
从表格
中获取两对
x
、
y
的对应值，利用待定系数法求一
次函数的表达式；
(2)
将问题转化为函数问题，
即求已知函数值所对应的自变量
x
的值．
解：
(1)
设所求的函数表达式为
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0
，
x
≥0)
．
因为当
x
＝
0
时，
y
＝
22
，当
x
＝
200
时，
y
＝
21
，
所以所求的函数表达式为
y
＝－
x
＋
22(
x
≥0)
．
(2)
由
(1)
知
y
＝－
x
＋
22(
x
≥0)
，
令
y
＝
18
，得
x
＝
800
，令
y
＝
20
，得
x
＝
400
，
所以当
18≤
y
≤20
时，
400≤
x
≤800.
所以该植物适宜种植在海拔为
400
米～
800
米
(
含
400
米和
800
米
)
的山区．
表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的
关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息；
其
建模的过程
是：先设出函数的表达式
，再找出
两
对对应值，列出二元一次方程组，求解即可
得到
表达式
．
总
结
例
3
某通讯公司采用分段计费的方法来计算话费，
月通话时间
x
(min)
与相应话费
y
(
元
)
之间的函数图
象如图
.
(1)
分别求出当
0≤
x
＜
100
和
x
≥100
时，
y
与
x
之间的
函数表达式．
(2)
月通话时间为
280 min
时，应
交话费多少元？
导引：
本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图
象可以观察到，当
0≤
x
＜
100
时，
y
与
x
之间是正比
例函数关系；当
x
≥100
时，
y
与
x
之间是一次函数关
系，分别用待定系数法可求得它们的表达式．
解：
(1)
当
0≤
x
＜
100
时，设
y
＝
k
1
x
(
k
1
≠0)
，
将
(100
，
40)
代入得
100
k
1
＝
40
，
解得
k
1
＝
0.4
，
所以正比例函数的表达式为
y
＝
0.4
x
；
当
x
≥100
时，设
y
＝
k
2
x
＋
b
(
k
2
≠0)
，将
(100
，
40)
及
(200
，
60)
分别代入得
所以一次函数的表达式为
y
＝
x
＋
20.
所以
y
＝
(2)
因为
280
＞
100
，所以将
x
＝
280
代入
y
＝
0.2
x
＋
20
中，
得
y
＝
0.2×280
＋
20
＝
76.
即月通话时间为
280 min
时，应交话费
76
元．
分段
函数中，自变量在不同的取值范围内的表达
式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．本题考查一次函数及识图能力，体现了
数形结合思想
．解决问题的关键是由图象
挖掘
出有用的信息，利用
待定系数法
先求出函数表达式，再解决问题．
总
结
知识点二：
用一次函数解含图象的实际问题
例：
某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地
H
处旅游
.
当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到
H
地旅游的价格都是每人
100
元
.
经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单 位先交
1
000
元后，给予每位游客六折优惠
.
问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？
分析：
假设该单位参加旅游人数为
x
，按甲旅行社的优
惠条件，应付费用
80
x
元；按乙旅行社的优惠
条件，应付费用
(60
x
+ 1 000)
元
.
问题变为比较
80
x
与
60
x
+ 1 000
的大小了
.
解法一
:
设该单位参加旅游人数为
x,
那么如选甲旅行社，
应付
80
x
元，选乙旅行社，应付
(60
x +
1 000
)
元
.
记
y
1
= 80
x, y
2
= 60
x
+ 1 000.
在同一直角坐标系
中作出两个函数的图象（如图），
y
1
与
y
2
的图
象交于点（
50,4 000
）
.
观察图象，可得：
当人数为
50
时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为
0~49
时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为
51~100
时，选择乙旅行社费用较少
.
解法二：
设选择甲、乙旅行社所需费用之差为
y
，则
y
=
y
1
-
y
2
=80
x
-
(60
x
+1000)=
20
x
-
1 000
.
画一次函数
y
=20
x
-
1 000
的图象，如图，
它与
x
轴交点为（
50,0
）
.
由图可知：
(1)
当
x
=50
时
，
y
=0,
即
y
1
=
y
2
，甲、乙两家旅
行社的费用一样；
(2)
当
x
>50
时
，
y
>0,
即
y
1
>
y
2
,
乙旅行社的费用较低
;
(3)
当
x
50
时，选乙旅行社费用较
少；当
80
x
-
(
60
x
+1 000
)
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