资料简介
第
23
章 解直角三角形
23.1
锐角的三角函数
23.1
锐角的三角函数
直角三角形
ABC
可以简记为
Rt△ABC
，
你能说出各条边的名称吗？
┓
C
斜边
c
邻边
对边
a
b
C
┓
A
B
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为
30°
，高为
7m
，扶梯的长度是多少
?
B
A
C
┓
30°
7m
实际问题
在上面的问题中，如果高为
10m
，扶梯的长度是多少？
已知等腰直角三角形
ABC
，∠
C=90 °
，计算∠
A
的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
┓
在
Rt△ABC
中
, ∠C
＝
90°
．
当∠
A
＝
30°
时
,
当∠
A
＝
45°
时
,
固定值
固定值
归纳
在直角三角形中，对于锐角
A
的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？
想一想
所以
＝
＝
Rt△AB
1
C
1
∽Rt△AB
2
C
2
∽Rt△AB
3
C
3
所以，在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠
A
的对边与斜边的比是一个固定值．
观察右图中的
Rt△AB
1
C
1
、
Rt△AB
2
C
2
和
Rt△AB
3
C
3
，∠
A
的对边与斜边有什么关系？
在
Rt△ABC
中， ∠
C=90 °
，我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的
正
弦
,
记
作
sinA
，即
一个角的正弦表示
定值
、
比值
、
正值
．
知识要点
正弦
在直角三角形中，
对于锐角
A
的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？
想一想
在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，
∠
A
的对边与斜边的
比
,
∠
A
的邻边与斜边的
比
,
∠
A
的对边与邻边的比都是一个固定值．
归纳
在
Rt△ABC
中， ∠
C=90 °
，我们把锐角
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A
的
余
弦
,
记
作
cosA
，即
一个角的余弦表示
定值
、
比值
、
正值
．
知识要点
余弦
在
Rt△ABC
中， ∠
C=90 °
，我们把锐角
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的
正
切
,
记
作
tanA
，即
一个角的余切表示
定值、比值、正值．
知识要点
正切
锐角三角函数
锐角
A
的正弦、余弦、正切叫做∠
A
的
锐角三角函
数
.
知识要点
1
．
sinA
、
cosA
、
tanA
是在
直角三角形
中定义的，∠
A
是
锐角
(
注意
数形结合
，构造直角三角形
)
．
2
．
sinA
、
cosA
、
tanA
是一个
比值
（
数值
）．
3
．
sinA
、
cosA
、
tanA
的大小只与
∠
A
的大小
有关，而与
直角三角形的边长
无关．
提示
1
、如图
1
，在
Rt△MNP
中，∠
N
＝
90
゜
. ∠P
的对边是
_____,
∠P
的邻边是
_____;
∠M
的对边是
_____,
∠M
的邻边是
_____;
2
、在
Rt
△
ABC
中，
∠
C
＝
90
゜，设∠
A
、 ∠
B
、 ∠
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，根据下列所给条件∠
B
的三个三角函数值：
a=5，c=13.
小练习
在直角
三角形中共有
五
个元素
：边
a,b,c,
锐角∠
A,∠B.
这五个元素之间有如下等量关系：
A
B
C
c
a
b
(1)三边之间关系：
a
2
+b
2
=c
2
(
勾股定理
)
(2)锐角之间关系：
∠
A+∠B=90°
(3)边角之间关系
：
第
23
章 解直角三角形
23.2
解直角三角形及其应用
23.2
解直角三角形及其应用
本
节课研究的问
题：
如
何将实际问题转化为解直角三角形的问题？实际问题中的数量关系转化为直角三角形
中元素
之间的关系解直角三角形
.
解直角三角形的依据是什么？
（
1
）三边之间关系：勾股定理
（
2
）锐角之间关系：两个锐角互余
（
3
）边角之间关系：三角函数
引入
——
什
么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？
——
什
么是坡度、坡比？
——
如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅垂高度
(
h
)
和水平长度
(
l
)
的比叫做坡面的坡度
(
或坡比
)
，记作
i
，即
坡度通常写成1:m的形式，如
i
＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
显然，坡度越大，坡角
α
就越大，坡面就越陡．
＝
tanα
．
1
、学生探究：在
RtΔABC
中，若
∠C =90
°.
问题
1
：两锐角
∠A
、
∠B
的有什么关系？
问题
2
：三边
a
、
b
、
c
的关系如何？
问题
3
：
∠A
与边的关系是什么？
2
、数学知识、数学运用
解直角三角形有下面两种情况：
（
1
）已知两条边求直角三角形中的其它元素；
（
2
）已知一边及一角求直角三角形中的其它元素
.
例
1
如图所示，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面
5
米处折断倒下，树顶落在离树根
12
米处，大树在折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为
13+5=18
（米）
答：大树在折断之前高为
18
米
.
5m
12m
例2 如图，在相距
2 000
米的
东、西两座炮台A、B处
同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
A
D
C
B
40
0
2000
例
3
如图，为了测量旗杆的高度
BC
，在离旗杆底部
10
米的
A
处，用高
1.50
米的测角仪
DA
侧得旗杆顶端
C
的仰角 α
=52°
.
求旗杆
BC
的高
.
解：
在
Rt△CDE
中，
CE=DE×tanα=AB×tanα
=
10×tan
52
°≈12.80.
BC=BE+CE=DA+CE
≈
1.50+12.80=14.3.
答：旗杆BC的高度约为14.3米.
练习：
(
1)
如图，一辆消防车的梯子长为
18m
，与水平面间 的夹角为
60
°,
如
果这辆消防车的高度为
2m
，求梯子可达到的高度
．
(2)
我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为
100
米，山高为
100
米，如果这辆坦克能够爬
30
°
的
斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
A
C
100
米
100
米
B
2.
（
1
）某货船沿正北方向航行，在点
A
处测得灯塔
C
在北偏西
30°
，船以每小时
20
海里的速度航行
2
小时，到达点
B
后，测得灯塔
C
在北偏西
60°
，请问当这艘货船到达
C
的正东方向时，船距灯塔
C
有多远？
（
2
）如图，某电信部门计划修建一条连结
B
、
C
两地的电缆，测量人员．在山脚
A
点测得
B
、
C
两地的仰角分别为
30°
、
45°
，在
B
地测得
C
地的仰角为
60°
．已知
C
地比
A
地高
200
米，电缆
BC
至少长多少米？
3.(1)
植树节，某班同学决定去坡度为
1
︰
2
的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是
6m
，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为
.
（
2
）某人沿着坡角为
45 °
的斜坡走了
310 m
，则此人的垂直高度增加了
________m .
小结
解直角三角形有下面两种情况：
(1)
已知两条边求直角三角形中的其它元素；
(2)
已知一边及一角求直角三角形中的其它元素。
(3)
理解仰角、俯角的定义，能将实际问题转化为解直角三角形问题。
(4)
知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。
再见
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