资料简介
第
21
章 二次函数与反比例函数
21.1
二次函数
21.1
二次函数
y=
6
x
2
问
题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x
，表面积为
y
，则
y
关于
x
的关系式为
.
此式表示了正方体表面积
y
与正方体棱长
x
之间的关系，对于
y
的每一个值，
x
都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数。
新课引入
问
题２：
n
个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？
每个球队
n
要与其他（
n
-1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次
数即
此式表示了比赛的场次数
m
与球队数
n
之间的关系，对于
n
的每一个值，
m
都有唯一的一个对应值，即
m
是
n
的
函数.
问
题3：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加
x
倍，那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定，
y
与
x
之间的关系怎样表示？
20(1
+x
)
20(1
+x
)
2
即
这种产品的原产量是20t, 一年后的产量是
t,再经过一年后的产量是
________
t,即两年后的产量y=______
20(1+
x
)
2
此式表示了两年后的产量
y
与计划增产的倍数
x
之间的关系，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数。
函数都是用自变量的二次整式表示的
一般地，形如
y
=
ax
²+
bx
+
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
≠ 0)
的函数叫做二次函数.其中
a
为二次项系数，
b
为一次项系数，
c
为常数项.
问题1、2、3中的式子有什么共同点?
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
注意
：
（
2
）
a,b,c
为常数，且
a≠0.
（4）
x
的取值范围一般是全体实数，在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
例题分析
例1
下
列函
数，
哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 (2)y=x+3
(3)s=3-2t² (4)y=(x+3)²-x²
(5)y= (6)v=10πr²
x²
1
__
例题分析
解：
(1)因为y=3(x-1)²+1=3(x
2
-2x+1)+1
=3x
2
-6x+4
所以该函数是二次函数，其二次项系数
为a=3，一次项系数为b=-6，常数项为
c=4.
(2)因为y=x+3，最高次项是1，所以该函数不是二次函数.
(3)因为s=3-2t²= -2t
2
+3 ,所以该函数是二次函数，其二次项系数为a=-2，一次项系数为b=0，常数项为c=3.
(4)因为y=(x+3)²-x²=x
2
+6x+9-x
2
=6x+9,所以该函数不是二次函数.
(6)因为v=10πr²是二次函数，所以该函数二次项系数为a=10π，一次项系数为b=0，常数项为c=0.
新课讲解
二次函数的一般形式
:
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c (
其中
a
、
b
、
c
是常数
,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当
b
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
c
当
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
bx
当
b
＝
0
，
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
当a、b、c为何值时函数y＝ax
2
＋bx＋c
是一次函数？
正比例函数？
归纳：
开动脑筋
注意
:
当二次函数表示某个实际问题时
,
还必须根据题意确定自变量的取值范围
.
例如：圆的面积
y( )
与圆的半径
x
（
cm
)
的函数关系是
y =πx
2
其中自变量
x
能取哪些值呢？
问题
：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
课本P3练习
课堂练习
课堂小结
对自己说
,
你有什么收获
?
对老师说
,
你有什么疑惑
?
对同学说
,
你有什么温馨提示
?
第
21
章 二次函数与反比例函数
21.2
二次函数的
图象和
性质
1
、如果一个正方形的边长为
5
，那这个正方形的面积为什么？
2
、如果一个正方体的边长为
4
，
那么这个正方体的表面积为多少？
21.2
二次函数的
图象和
性质
性质
3、如果一个正方体的边长为 ，这个正方体的表面积为y，
你可以列出y关于x的表达式吗？
问题
1
：
n
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数
与球队数
有什么关系？
(1)
每个队要与其他的队比赛多少场？怎么用
来表示？
每个队要与其他（
n-1
）个队比赛，所
以每队
应该是比
（
n-1
）
场。
(2)
把每个队要比赛的场次数相加，是不是就是总场数？有重复场次吗？
现在你能得出什么关系式吗？
你能看出这三个式子又什么特点吗？
这三个式子都是等式，最高次是
2
次，有两个未知数，并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。
观察
一般地，形如
的函数，叫做二次函数。
这些式子和一次函数有什么区别和联系呢？仿照一次函数，你能给这样的式子下个定义吗？
（
1
）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？
（
2
）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？
（
3
）二次项系数、一次项系数和常数项能为
0
吗？
二次项系数不能为
0
，否则就是一次函数了，一次项系数和常数项可以为
0
。
一个长方形的周长为
36
，其中一边长为
x
，
写出函数
y
与
x
的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常数项
。
拓展
(1)
一次函数的图象是一条
_____
，反比例函数的图象是
________.
(2)
通常怎样画一个函数的图象？
直线
双曲线
(3)
二次函数的图象是什么形状呢？
列表、描点、连线
结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．
二次函数
y
=
ax
的图象和性质
1.
列表：在
y
=
x
2
中自变量
x
可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x
···
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
···
y
=
x
2
···
···
2.
根据表中
x,y
的数值在坐标平面中描点（
x,y
）
画最简单的二次函数
y
=
x
2
的图象
x
y
O
－
3
3
3
6
9
0
1
4
9
1
4
9
3.
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y
=
x
2
的图象．
二次函数
y
=
x
2
的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做
抛物线
y
=
x
2
.
x
y
O
－
3
3
3
6
9
二次函数的图象都是
抛物线
， 它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0）的图象叫做
抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
.
实
际上，每条抛物线
都有对称轴
，抛物线与对称轴的交点叫做
抛物线的顶点
．顶点是抛物线的
最低点或最高点
．
y
轴是抛物线
y
=
x
2
的对称轴，抛物线
y
=
x
2
与它的对称轴的交点（
0
，
0
）叫做
抛物线
y
=
x
2
的顶点
，它是抛物线
y
=
x
2
的
最低点
．
函数
的
图象与函数
y
=
x
2
的图象相比，有什么共同点和不同点？
相同点
：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是
y
轴
.
不同点
：
a
要越大，抛物线的开口越小．
观察
你画出的图象与图中相同吗？
探究
画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
y
O
－
2
2
－
2
－
4
－
6
4
－
4
－
8
对比抛物线，
y
=
x
2
和
y
=
－
x
2
.
它们关于
x
轴对称吗？一般地，抛物线
y
=
ax
2
和
y
=
－
ax
2
呢？
二次函数
y=ax
2
的性质
１
.
顶点坐标与对称轴
２
.
位置与开口方向
３
.
增减性与最值
根据图形填下表：
抛物线
y=x
2
y =-x
2
顶点坐标
（
0
，
0
）
（
0
，
0
）
对称轴
y
轴
y
轴
位置
在
x
轴的上方
(
除顶点外
)
在
x
轴的下方
(
除顶点外
)
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而减小
.
在对称轴的右侧
, y
随着
x
的增大而增大
.
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而增大
.
在对称轴的右侧
, y
随着
x
的增大而减小
最值
当
x=0
时
,
最小值为
0
当
x=0
时
,
最大值为
0.
一般地，抛物线
y
=
ax
2
的对称轴是
y
轴，顶点是原点．
当
a
>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，
a
越大，抛物线的开口越小，在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当
a
0
时，函数
y=a(x-h)
2
的图象可由
y=ax
2
的图象向
左
平移
h
个单位得到，当
h0
向左平移
h
个单位，当
h
0
时，向上移
k
个单位，当
k
0
时
,
开口向上
;
当
a0
开口向上，对称轴为
x
=
－
3
，顶点坐标为（－
3
，
5
）
;
（
2
）
a
=
－
30
开口向上，对称轴为
x
=3
，顶点坐标为（
3,7
）
;
（
4
）
a
=－50
b
2
-4ac 0
b
2
-4ac = 0
b
2
-4ac < 0
第
21
章 二次函数与反比例函数
21.4
二次函数的应用
排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度
h
（
单位：
m
）
与排球的运动时间
t
（
单位：
s
）
之间的关系式是
h=
20
t
-
5
t
2
（
0
≤
t
≤
4
）
．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？
问题
0
h
t
4
21.4
二次函数的应用
变式
1
：现要用
60
米长的篱笆围成一个矩形
场地
（一边靠墙且墙长
40
米）。应怎样围才能使矩形的面积
s
最大？最大是多少？
牛刀小试
变式
2
现要用
60
米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长
28
米）。应怎样围才能使矩形的面积
s
最大？最大是多少？
（
1
）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
解这类题目的一般步骤
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
问题
:
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度
h
（单位：
m
）与小球的运动时间
t
（单位：
s
）之间的关系是
h
=30
t
-5
t
²
（
0≤
t
≤6
）
.
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
（
1
）图中抛物线的顶点在哪里？
（
2
）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？
（
3
）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（
4
）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
h
=30
t
-5
t
²
（
0≤
t
≤6
）
3
45
小球运动的时间是
3 s
时，小球最高．
小球运动中的最大高度是
45 m
．
问题
:
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度
h
（单位：
m
）与小球的运动时间
t
（单位：
s
）之间的关系是
h
=30
t
-5
t
²
（
0≤
t
≤6
）
.
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
由于抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，
当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小
（
大）
值
.
如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？
用总长为
60 m
的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化
.
（
1
）你能求出
S
与
L
之间的函数关系吗？
答：
S
=
l
（
30-
l
）
=-
l
²+ 30
l
（
0<
l
0
时
,
图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，
y
随
x
的增大而减小；
2、当k
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