资料简介
第
22
章 相似形
22.1
比例线段
四条线段
a、b、c、d
中
，如
果
a
：
b
=
c
：
d
，
那
么这四条线段
a、b、c、d
叫
做
成
比例的线段
，简
称
比例线段
.
比例线段
已知四条线段
a、b、c、d
，
如果
或
a
：
b=c
：
d
，
那么
a、b、c、d
叫做组成比例的
项
，
线段
a、d
叫做比例
外项
，线段
b、c
叫做比例
内项
，线段
d
叫做
a、b、c
的
第四比例项.
如果作为
比例内项
的是
两条相同的线段
，
或
a
：
b
=
b
：
c
，
即
那么线段
b
叫做线段
a
和
c
的
比例中项
.
两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比
.
比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
如果
ad
=
bc
，
那么
a
：
b
=
c
：
d
.
如果 a：b =
b
：
c
，那么
b
2
=
a
c.
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了).
(2)合比性质
如果
a c
b d
=
，
那么
a
±
b c
±
d
b d
= .
(3)等比性质
如果
那么
a c
b d
=
m
n
= …=
(b+d+…+n≠0),
a
+
c+…+m
b+d+…+n
=
.
a
b
本课小结：
主要内容：
比例线段的意义，比例的3个主要性质及其应用.
能力要求：
通过本课的学习，形成比例变形的能力，
要做一定量
的
练
习
题
，熟练巩固.
情境引入
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是
2:3
？
平行线分线段成比例
将 向下平移到如图的位置，直线
m
,
n
与 的交点分别为 ， ，问题
2
中的结论还成立吗
？试
一试。如果将
平
移到其他位置呢？
a
b
c
A
B
C
D
E
F
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
3
4
x
7
已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，你能求出
x
的值吗
?
解：由已知条件可得：
如图
4-8
，直线
a
∥
b
∥
c
，分别交直线
m
,
n
于
A
1
，
A
2
，
A
3
，
B
1
，
B
2
，
B
3
。过点
A
1
作直线
n
的平行线，分别交直线
b
，
c
于点
C
2
，
C
3
。如图
4-9
，图
4-9
中有哪些成比例线段？
推论
：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
A
B
C
D
E
∵
DE
∥
AB
例
1
、如图，在△
ABC
中，
E
、
F
分别是
AB
和
AC
上的点，且
EF∥
BC.
（
1
）如
果
AE = 7, FC = 4
，那么
AF
的长是多少？
（
2
）如
果
AB = 10, AE=6
，
AF = 5
，那么
FC
的长是多少？
A
B
C
E
F
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实．
２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到一个推论．
３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法．
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是
2:3?
A
B
C
E
D
F
黄金分割与人体的关系
量量人的身高，
从脚底
往上，
0.618
处
正好是在
肚脐
附近
.
画家们绘画时依照
黄
金比例
勾勒出的脸谱
.
点
C
把线段
AB
分成两条线段
AC
和
BC,
如果 ，那么称线段
AB
被点
C
黄金分割
,
点
C
叫做线段
AB
的
黄金分割点
,AC
与
AB
的比叫做
黄金比
.
黄金分割
如何找出黄金分割点
如图
,
已知线段
AB
按照如下方法作图
:
1.经过点B作BD⊥AB,使
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
4.C点就是AB的黄金分割点
.
AB
D
E
C
一条线段有几个黄金分割点？
两个
黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学等许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金分割的美吧！
黄
金
螺线
蜗牛
的外
壳
呈
黄金螺线
形。
树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例
在现在生活中
，
黄金比例
也一直被使用
着
，例如
国
旗、明信片、
报纸
、
邮票
等等，其
长宽
之比均接近黃金比，
据统计黄
金比也是被使用最多的比例
.
东
方明珠塔，塔高
462.85
米
.
设计师将在
295
米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观
.
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
第
22
章 相似形
22.2
相似三角形的判定
相似三角形的相关概念
三个角对应
相等
,
三条边对应
成比例
的两个三角形
,
叫做相似三角
形
相似三角形的各
对应角相等
,
各对应边
对应成比例
.
相似比等于
1
的两个三角形全等
.
注意：
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上
.
反之
,
写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
由于相似三角形与其位置无关
,
因此
,
能否弄清对应是正确解答的前提和关键
.
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法
:
两角对应相等的两个三角形相似
.
三边对应成比例的两个三角形相似
.
类比三角形全等的判定方法
:
边角边
(SAS);
角边角
(ASA);
角角边
(AAS);
边边边
(SSS);
斜边直角边
(HL).
你还能得出判定三角形相似的
其他方
法吗
?
相似与全等类比
—
新化旧
由
角边角
(ASA)
、角角边
(AAS)
可知
,
有两个角对应相等的两个三角形相似
;
由
边边边
(SSS)
可知
:
有三边对应成比例的两个三角形相似
;
由
边角边
(SAS)
可猜想
:
两边对应成比例
,
且夹角相等的两个三角形相似
;
由
斜边直角边
(HL)
可猜想
:
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
我们已经把前两个猜想变为现实
,
剩余的还有问题吗？
问题三
:
如果
△ABC
与
△A
′
B
′
C
′
有一个角相等
,
且两边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
(1)
如果这个角是这两边的夹角
,
那么它们一定相似吗
?
我们一起来动手
:
画
△ABC
与
△
A
′
B
′
C
′
使
∠A=∠A
′,
设法比较
∠B
与
∠B
′
的大小
,∠C
与
∠C
′
的大小
.
△ ABC
与
△A
′
B
′
C
′
相似吗
?
说说你的理由
.
改变
k
值的大小
(
如
1∶3),
再试一试
.
通过上面的活动
,
你猜出了什么结论
?
判定三角形相似的方法
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
.
如图
,
在
△ ABC
与
△A
′
B
′
C
′
中
,
如果
那么
△ ABC∽△A
′
B
′
C
′
(
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
.)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
这又是一个用来判定两个三角形相似的方法
,
但使用频率不是很高
,
务必引起重视
.
且
∠A=∠A
′,
图中的
△ABC∽△A
′
B
′
C
′
,
你还能用
其他方
法来说明其正确性吗
?
且∠A=∠A′=450,
∴△ABC∽△A′B′C
′
.
(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相
似)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:
问题四
:
在
Rt△ ABC
与
Rt△ A
′
B
′
C
′
中
, ∠C= ∠C
′=90
0
,
如果有一直角边和斜边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
我们一起来动手
:
画
△ ABC
与
△ A
′
B
′
C
′
,
使
设法比较∠B 与∠
B′的大小,∠A与∠A′的大小.
Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′ 相似吗?说说你的理由
.
改变k值的大小(如1∶3),再试一试.
通过上面的活动,你猜出了什么结论
?
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
如图
,
在
Rt △ABC
与
Rt
△A
′
B
′
C
′
中
,
如果
那么
△ABC∽△A
′
B
′
C
′
,
(
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.)
C
B
A
A
′
B
′
C
′
这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法
,
务必引起重视
.
我们重新来看问题三
:
如果
△ ABC
与
△ DEF
有一个角相等
,
且两边对应成比例
,
那么它们一定相似吗
?
(2).
如果这个角是这两边中一条边的对角
,
那么它们一定相似吗
?
小明和小颖分别画出了下面的
△ ABC
与
△ DEF
:
A
B
C
50
0
3.2cm
4cm
2cm
D
F
E
50
0
1.6cm
通过上面的活动,你猜出了什么结论?
两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。
判定三角形相似的常用方法
:
两角对应相等的两个三角形相似
.
三边对应成比例的两个三角形相似
.
两边对应成比例
,
且夹角相等的两个三角形相似
.
斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似
.
相似三角形的各
对应角相等
,
各对应边
对应成比例
.
相似三角形
对应高
的比
,
对应角平分线
的比
,
对应
中线
的比
,
对应周长
的比都等于相似比
.
如图
:
在
△ ABC
和
△ DEF
中 ，如果
∠A=∠D, ∠B=∠E,
那么
△ ABC∽ △DEF.
A
B
C
D
E
F
那么△ ABC∽ △DEF.
且
∠A=∠D
，
那么
△ ABC∽ △DEF.
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。
定义判定
相似三角形判定定理的证明
定理 两
角分别相等的两个三角形相似
A
B
C
A
′
B
′
C
′
已知：如图，在
△
ABC
和
△
A
′
B
′
C
′
中
，
∠
A=∠
A
′
,
∠B=
∠B
′
.
求
证：
△
ABC
∽△A
′
B
′
C
′
.
证明：在
△
ABC
的边
AB
（或它的延长线）上截取
AD=A
′
B
′
,
过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E
（如图），
则
∠
ADE=∠
B, ∠AED=
∠C
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则
（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）
∵
DE∥BC,DF
∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形
∴DE=CF
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A=∠
A
′
,
∠ADE=∠B=∠
B
′
AD=A
′
B
′
∴△ADE≌△
A
′
B
′
C
′
∴△ABC∽△
A
′
B
′
C
′
定理 两边
成比例且夹角相等的两个三角形
相似
已知：如图，
在△
ABC
和△
A
′
B
′
C
′
中，
∠
A=∠
A
′
,
求证
：△
ABC∽△
A
′
B
′
C
′
.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A
′
B
′
,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图）
，
则
∠B=∠ADE, ∠C=∠AED
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
∴AE=A
′
C
′
而∠A=∠A
′
∴△ADE≌△A
′
B
′
C
′
∴△ABC∽△A
′
B
′
C
′
定理 三
边成比例的两个三角形相似
已知：如图，在△
ABC
和△
A ′ B ′ C ′
中
，
求证：△
ABC∽△
A ′ B ′ C ′.
证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A
′
B
′
,AE=A
′
C
′
,连接DE.
而∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴DE=B
′
C
′
∴△ADE≌△A
′
B
′
C
′
∴△ABC∽△A
′
B
′
C
′
B
C
A
E
D
F
如图，
AD⊥BC
于点
D
，
CE⊥AB
于点
E
，且交
AD
于
F
，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
B
C
A
E
D
F
如图，
AD⊥BC
于点
D
，
CE⊥AB
于点
E
，且交
AD
于
F
，你能从中找出几对相似三角形？
通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？
?
本 课
小
结
第
22
章 相似形
22.3
相似三角形的性质
22.3
相似三角形的性质
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证二组对应角相等
证三组对应边成比例
证二组对应边成比例，且夹角相等
相似三角形的特征
问：你知道相似三角形的特征是什么吗？
角：对应角相等
边：对应边成比例
问：什么是相似比？
相似比=对应边的比值=
如右图，
△
A B C ∽△A′B′C′
A
B
C
A
’
B
’
C
’
D
D
’
已知：
Δ
ABC∽
Δ
A’B’C,
’
相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。
相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
相似三角形对应边上的高之比等于相似比
A′
B′
C′
D′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？
右图△
A B C ， AD
为
BC
边上的高。
D
A
B
C
相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比
如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？
A
B
C
F
A′
B′
C′
F′
相似三角形对应边上的中线比等于相似比
相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？
如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。
则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？
A
B
C
E
A′
B′
C′
E′
填空：
（
1
）两个三角形的对应边的比为
3:4
，则这两个三角形的对应角平分线的比为
_____
，对应边上的高的比为
____
，对应边上的中线的比为
____
(2)
相似三角形对应角平分线比为
0.2,
则相似比为
_________,
对应中线的比等于
______;
相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
.
你会应用吗？
△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知 ，B′D′=4cm，求BD的长.
解：∵
△
ABC∽△A
′
B′C′
，
BD
和
B′D′
是它们的对应中线
∴
（相似三角形对应中线的比都等于相似比）
∴
BD=6
∴
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
周长比等于相似比，面积比等于相似比的
平方
√10
2
√2
1
√5
√2
A
B
C
A
’
C’
B’
小结
相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的
平方
（你学到了什么呢？）
第
22
章 相似形
22.4
图形的位似变换
22.4
图
形的位似变换
观察下列图形的特点
A
B
C
D
P
特征
:
(1)
是相似图形
(2)
每组对应点所在的直线都经过同一个点
如果两个多边形是每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做
位似多边形，
这个点叫做
位似中心
。
实际上，
K
就是这两个相似多边形的相似比。
基本概念
:
下列图形中，每个图中的四边形
ABCD
和四边形
A′B′C′D′
都是
相似图形
.
分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
图中每组中的两个多边形也是位似多边形。
应用位似图形概念作图
例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，且相似比为2.
解：1、画射线OA,OB,OC.
2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC
3.顺次连接D、E、F
则△DEF与△ABC位似，相似比为2
用橡皮筋放大图形的方法放大图形,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2吗?
判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？
（
1
）五边形
ABCDE
与五边形
A′B′C′D′E′
；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
做一做
如图，请以坐标原点
O
为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大
3
倍
.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心
O
和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的
3
倍，就得到所求作图形的各个顶点
练一练
1
．如图，已知△
ABC
和点
O.
以
O
为位似中心，求作△
ABC
的位似图形，并把△
ABC
的边长缩小到原来的一半
.
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质
.
小结
第
22
章 相似形
22.5
综合与实践 测量与误差
22.5
综合与实践 测量与误差
课题：
同学们
,
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆
(
或路灯
,
或树
,
或烟囱
)
的高度
?
活动方式：
全班同学分成六
人一小
组
,
选出组长
,
分头进行户外实际测量
,
被测物不一定是旗杆
.
如楼房
,
树
,
电线杆等
.
先集中讨论方案
,
再分散实际操作
,
最后集中总结交流
.
测量与误差
A
B
C
D
E
F
方法
1:
利用阳光下的影子
A
C
B
E
F
方法
2:
利用标杆
E
C
B
D
A
方法
3:
利用镜子
如图
,A
、
B
两点分别位于一个池塘的两端
,
小芳想用绳子测量
A
、
B
两点之间的距离
,
但绳子的长度不够
,
一位同学帮她想了一个主意
,
先在地上取一个可以直接到达
A
、
B
点的点
C,
找到
AC
、
BC
的中点
D
、
E,
并且
DE
的长为
5m,
则
A
、
B
两点的距离是多少？
C
B
A
E
D
用较简单的方法测量河坡电场烟囱的高度
.
课外完成
,
写出实践报告
.
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