资料简介
第一章 有理数
1.1 正数与负数
在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运
算的问题．例如：
1、天气预报2007年11月某天北京的温度为-3~ 3°C，它
的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？
这天的最高温度是零上3°C，最低温度是零下3°C，
温差是6°C．
2、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1），
黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（1：0），如何确定三个
队的净胜球数与排名顺序？
3、某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的
尺寸为100 0.5（mm），这里的 0.5代表什么意思？合
格产品的长度范围是多少 ？
4、纳米是一种非常小的长度单位,它与长度单
位“米”的关系为1纳米= 米，应怎样理解这种
记数法的表示？
910
纳米冰箱生产线
这里出现了一种新数：
-3 表示零下3摄氏度，
-2 表示净输2球，
-0.5 表示小于设计尺寸0.5mm
而：
3 表示零上3摄氏度，
2 表示净胜2球，
+0.5 表示大于设计尺寸0.5mm
像-3，-2, -0.5, …这样的数（即以前学过的0以
外的数前面加上负号“-”的数叫做负数．
而在小学学过的除“0”以外的数都叫正数．
为了突出数的符号,可以在正数的前面加“+”
号，如+5, + ，+1.2, …
1
2
我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量!
0既不是正数,也不是负数.
观察下图，试着说明它们的海拔高度．
珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，吐鲁番盆
地的海拔高度为-155米．
0
（1）一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少
1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
例题
解：（1）这个月小明体重增长2 kg，小华体重增长
-1 kg，小强体重增长0 kg．
（2）2006年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情
况是：
美国减少6.4%， 德国增长1.3%，
法国减少2.4%， 英国减少3.5%，
意大利增长0.2%，中国增长7.5%．
写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率．
解：六个国家2006年商品出口总额的增长率：
美国 -6.4%， 德国 1.3%，
法国 -2.4%， 英国 -3.5%，
意大利 0.2%， 中国 7.5%．
（1）如果零上5°C记作+5 °C，那么零下
3°C记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果- 4米表
示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？
物体原地不动记为什么？
（3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,
那么运出3.8吨应记作什么?
课堂练习
解:（1）零下3°C记作-3°C．
（2）+2米表示一个物体向东运动2米；
物体原地不动记为0米．
（3）运出3.8吨应记作- 3.8吨．
课堂练习
１．(1) 在知识竞赛中，如果用+10分表示
加10分，那么扣20分怎样表示？
(2) 某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时
针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈
怎样表示？
(3) 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超
出标准质量0.02克记作+0.02，那么-0.03克
表示什么?
课堂小测
2．读下列各数，并指出哪些是正数？哪些是负数？
99,14.3,02.0
,14.3,2
12,2
13,0,2,8
温度的表示方法
1
2
3
0
1
2
0 ℃
零上2 ℃
零下2℃
+2 ℃
- 2 ℃
0只表示没有吗?
引入正负数后，0不再简简单单的只表示没有。它具
有丰富的意义,是正负数的基准。
0既不正数，也不是负数。
1.空罐中的金币数量;
2.温度中的0℃;
3.海平面的高度;
4.标准水位。
1、正数：以前学过的数中，除0外的数叫做正数。如：+5，
+0.23, 8818，…
2、负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数。如：-5，
-0.54，…
3、0既不是正数，也不是负数。
4、可以用正数与负数表示具有相反意义的量。
5、一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号。
具有相反意
义的两个量
规定其中一个为正 用正数表示
分界点为零
则另一个为负 用负数表示
第一章 有理数
1.2 有理数
我们学过的数：
正整数，如：1，2，3，…
零，0
负整数，如：-1，-2，-3 ，…
正分数，如： ， ，0.1，5.32，…
负分数，如： ，- 0.5，-150.32，…
整
数
分
数 2
1
正整数、零、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
有理数可以怎样分类呢？
有
理
数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
如果按性质（正数、负数）来分类，又该怎样来
分呢？
把下列各数填入它所属于的集合的圈内:
15, ，-5, , , 0.1, -5.32 , -80, 123, + 2.33
正数集合
正分数集合
整数集合
负分数集合
… …
… …
在下表适当的空格里画上“√”号
有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数
-9
-2.35
0
+5
3
2
1、观察温度计，体会数、形对应。
学生观察温度计后回答下列
问题：
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
①零上5℃怎样表示？
②零下10℃怎样表示？
③0℃怎样表示？
2、画情境图，体会方向与距离。
在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和
7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分
别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境。
汽
车
站
0 1 3 7.5-3-4.8
3、对比观察，引入课题。
1、画一条水平直线，在直线上任取一点0,叫原点
2、规定直线上向右的方向为正方向，
3、选取适当的长度作为单位长度。
画数轴
（1）画直线，取原点
（2）标正方向
（3）选取单位长度，标数
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原
点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数
-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长
度。
观察数轴上的有理数排列？
0 1 2 3-1-2-3
a左
a右
0 1 2 3-1-3-4 4
-1.5
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示;但
数轴上的点不全都表示有理数。
例1：在数轴上表示下列各数
+3，-4，，-1.5
-2
+3-4
0 1 2 3 -1 -2
A D C B
解：点A表示 -2；点B表示2；
点C表示0；点D表示- 1。
例2: 指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数。
复习巩固：
1.什么是数轴？他的三要素是什么？
2.数5和–5到原点的距离各有多少个单位长度？
问题1：在数轴上，画出表示5与－5的点，并观察这两
个点具有怎样的特征？
在数轴上， 5与－5所对应的点位于原点两侧，且与原
点的距离相等。
问题2：举出几组具有这种特点的两个数？
如：2和－2, 1.5和－1.5
思考
数轴上与原点距离是2 的点有____个，这些点表示的
数是________；与原点的距离是5 的点有____个，这些
点表示的数是________。
0 2-2
两
2和-2
5和-5
两
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是
a的点有_____个，它们分别在原点的______，表示
_______，我们说这两点________________。
注意：a和-a到原点的距离相等。
归纳：
两 左右
-a和a 关于原点对称
观察这两个数，有什么相同和不同？
5.3 5.3
数字相同
符号不同
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫
做互为相反数；特别地，0的相反数是0。
即：一般地，a和_____互为相反数；特别地，0
的相反数是____。0
-a
数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；
2.互为相反数的两个数到原点的距离相等。
1. 判断：
（1）－5是5的相反数（ ）;
（2）－5是相反数（ ）;
（3） 与 互为相反数（ ）;
（4）－5和5互为相反数（ ）.
2
12 2
1
（5） 相反数等于它本身的数只有0 ﹙ ﹚
（6） 符号不同的两个数互为相反数﹙ ﹚
×
√
×
√
√
×
a 的相反数是-a ， a可表示任意数。
求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“－”号．
-（＋1.1）表示什么？-（-7）呢？
-（-9.8）呢？它们的结果应是多少？
问题：若把 a分别换成＋5，-7，0时，这些数的相反数怎样
表示？
a = +5， - a = -（+5）
a = -7， - a = -（-7）
a = 0， - a = 0
在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反
数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？
在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，“＋”号
可省略．
课堂小结
1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相
反数；特别地，0的相反数是0。
2． 表示求 的相反数。a a
0 1 2-1-2
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
规定：0的相反数是0。
0 1 2 3 4-1-2-3
大象距原点
多远?
两只小狗分别距
原点多远?
例如：大象在数轴上+4点，距离原点4个单位长度，
即 +4的绝对值等于4。
0 6-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5
BA │－５│＝５ │４│＝４
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a
的绝对值.用“| |”表示,记作 |a|（这里的数a可以是
正数、负数和0）
绝对值：
两只小狗呢?
记作│+ 3│＝3 │－3│＝3
如果一个数为-5，则它的绝对值呢?
求下列各组相反数的绝对值。
(1)9,-9;(2)0.6,-0.6;(3) 1 1;8 8
解: （1）|9|=9 | -9 |= 9
（2）|0.6|=0.6 |-0.6|=0.6
| |= |- |=1
8
1
8
1
8
1
8
（3）
例1.
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系?
0-4 -3 -2 -1 321
原点
-3到原点的距离是3 +3到原点的距离是3
互为相反数的两个数的绝对值相等.
|－4|=4|－2|=2 |0|=0|2|=2|4|=4
观察数轴上的点所对应的数，它们的绝对值分别是
多少？一个数的绝对值与它们本身又有什么关系呢？
0 2 4－2－4 6－6
ABCDE
1.正数的绝对值是它本身;
2.负数的绝对值是它的相反数;
3.0的绝对值是0.
性质
因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，所以
上述三条可表述成：
0a而且
(3)如果a＝0，那么|a|＝______
(2)如果a＜0，那么|a|＝______
(1)如果a＞0，那么|a|＝______a
-a
0
(1)绝对值是3的整数有几个？各是什么？
(2)绝对值是0的数有几个？它是什么？
(3)是否存在绝对值是－2的数？若存在，请说出来？
绝对值小于3的整数一共有5个，它们分
别是－2，－1，0，1，2。
绝对值是0的数有一个，就是0。
没有绝对值是－2的数。因为 0 ≥|a|
做一做
(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小.
-1.5 ，-3 ，-1 ，-5 ;
(2)求出（1）中各数的绝对值，并比较绝对值的大小.
(3)完成(1)(2)你发现了什么？
第一章 有理数
1.3 有理数的加减法
有理数的加法
1.3 有理数的加减法
知识目标:了解有理数加法的意义,会根据有理数
加法法则进行有理数的加法运算.
教学重点：了解有理数加法的意义，会根据有理数
加法法则进行有理数的加法运算。
教学难点：有理数加法中的异号两数如何进行加法
运算。
一只可爱的小企鹅，在一条东西走向的笔直公路上蹒跚
而行。现规定向东为正，向西为负。
如果小企鹅先向东行走3米，再继续向东行走4米，则小
企鹅两次一共向哪个方向行走了多少米？
0 3 4 5 6 7 8-1 1 2
东
答: 小企鹅两次一共向东行走了7米.
规定向东为正,写成算式为：
（+3）+（+4）= + 7
如果小企鹅先向西行走3米，再继续向西行走5米，
则小企鹅两次一共向哪个方向行走了多少米？
-7 -4 -3 -2 -1 0 1-8 -6 -5
东
答：小企鹅两次行走一共向西行走了8 米.
规定向东为正,写成算式为：
(- 3)+(- 5) = - 8
你能从上面的两个算式中发现什么？
同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相
加.
（+3）+（+4）= +7
(- 3 ) + ( - 5 ) = - 8
加数 加数 和
如果小企鹅先向东行走2米，接着向西行走6米，则
小企鹅两次行走一共向( )走了( )米.西 4
-4 -1 0 1 2 3 4-5 -3 -2
东
(+2)+(-6) =
规定向东为正,写成算式为:
- 4
如果小企鹅先向西行走3米，接着向东行走5米，则小
企鹅两次行走一共向( )走了( )米.东 2
-4 -1 0 1 2 3 4-5 -3 -2
东
规定向东为正,写成算式为：
(-3)+(+5)= +2
从以上两个算式你能从中发现什么?
异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大
的绝对值减去较小的绝对值.
(+2)+(- 6)= - 4
(-3)+(+5)= +2
加数 和加数
(2) (+ 2) + (- 2) =___; (1) (- 4) + (+ 4)=___;0 0
(4) ( +4 ) + 0 =___.(3) ( - 3 ) + 0 =____;- 3 +4
由此,你又能发现有理数相加有哪些运算规律吗？
一个数同零相加，仍得这个数。
互为相反数的两个数相加，和为零。
你能模仿小企鹅的运动方法，完成下列算式吗？
有理数的加法法则
一、同号两数相加：
二、绝对值不相等的异号两数相加：
三、互为相反数的两个数相加：
四、一个数同零相加：
取相同的符号，并把绝对值相加.
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对
值减去较小的绝对值.
得零.
仍得这个数.
通过有理数加法法则的学习，同
学们，你们认为如何进行有理数加
法运算呢？
赶快动脑筋，说
说自己的想法？
1、先判断类型（同号、异号等）；
2、再确定和的符号；
3、最后进行绝对值的加减运算。
发挥你的聪明才
智,若回答问题
正确,则可打开
一扇门.
1.计算:
（1）(+5)+(+3) (-5)+(-3)
(-11)+(-6)
= 8 = -8
= -17
（2）(+5)+(-3) (-5)+(+3)
(-11)+(+6)
= 2 = - 2
=-5
变换题型了
（1）（__5）+( __5）＝0
（2）（ __7 ）+（-5）＝-12
_
_ +
（3）（-10）+（ __11）＝ 1
（4）（__2.5）+（__2.5 ）=-5_ + _
打开这一扇门,你会有所
发现你发财了，你获得了
最宝贵的财富—知识。
有理数的加法
口 答 下 列 各 式
1 . ( ＋ 1 1 ) ＋ ( ＋ 9 ) =
2 . ( － 8 ) ＋ ( － 2 ) ＝
3 . ( － 1 2 ) ＋ ( ＋ 4 ) ＝
4 . ( ＋ 7 ) ＋ ( － 6 ) ＝
5 . ( ＋ 1 0 0 ) ＋ ( － 1 0 0 ) ＝
6 . ( － 1 8 ) ＋ 0 ＝
利 用 有 理 数 加 法 解 决 下 列 实 际 问 题
1 、 一 人 一 个 月 工 资 可 得 8 0 0 元 ， 奖 金 可 得 5 0 0 元 ， 这 个 人 一 个 月 收 入 多 少 元 ？
2 、 一 个 人 向 东 走 了 2 0 0 米 ， 又 向 西 走 了 3 0 0 米 ， 结 果 他 是 向 东 走 还 是 向 西 走 ， 向 东 或 向 西 走 了 多 少 米 ？
数扩展到有理数之后,下面的结论还成立吗?请说明理
由(如果认为结论不成立,请举例说明):
(1)若两个数的和是0,则这两个数都是0.
(2)任意的两个数相加,和不小于任何一个加数.
有些语句还正确吗?
小结
1、有理数的加法法则；
2、一个有理数由符号和绝对值两个部分组成的，
在进行同号或异号两个有理数相加，首先判断加法
类型，再确定和的符号，最后确定绝对值是和还是
差。
有理数的减法
新知引入
问题1：某天当地中午12时的气温为20 ℃ ，傍
晚18时下降了8 ℃ ，那么傍晚的气温是多少？
如何计算？
20 - 8 = 12 ℃
大 小-
问题2：某天当地下午17时的气温为3 ℃ ，晚上22 时下
降了6 ℃ ，那么晚上22时的气温是多少？
3–6 = ?
小–大 = ?
问题3：据襄樊市气象台预报：2012年2月7日，我市最
高气温,4 ℃ ，最低气温–3 ℃ ， 请问这天的温差是
多少？你是怎样算的？
4–(–3)= ?
正数–负数 = ?
问题2：某天当地下午17时的气温为3 ℃ ，晚上22时下降
了6 ℃ ，那么晚上22时的气温是多少？
0 ℃
3 ℃
-3 ℃
下降6℃
3 - 6 = - 3
3 +(-6) = - 3
①
②
3- 6 = 3 + ( -6 )
由①②得：
③
4 –(– 3) = 7(℃)
0 ℃
4 ℃
-3 ℃
温差为7
4 + 3 = 7(℃)
④
由④⑤得：
4 –(– 3) = 4 + 3
⑤
⑥
问题3：据襄樊市气象台预报：2012年2月7日，我市最
高气温,4 ℃ ，最低气温–3 ℃ ，请问这天的温差是
多少？你是怎样算的？
3 - 6 = 3 + ( - 6 ) ③
• 由③⑥可知：
有理数的减法可以转化为加法来计算。
4 –(– 3) = 4 + 3 ⑥
总结归纳
• 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这
个数的相反数。
注意：有理数减法在运算时有2个要素要发生变化。
例1：计算下列各题：
（1）(-3) -（-5） (2) 7.2-(-4.8)
（3）0–7
（2）原式=（7.2)-(-4.8）
=-3.4
解:（1）原式= (-3) + 5=-2
减去-4.8等于加上-4.8的
相反数。
（3）原式=0+（-7）=-7
减去（-5）等于加上-5的
相反数。
一个数同0相加，仍得这个
数。
练习：计算：
（1） 18－(－3)
（2） (－3)－18
（3） (－18)－(－3)
（4） (－1.3)－ (－2.1)
=18+(+3) =18+3 =21
=(-3)+(-18) = -(18+3) = -21
=(-18)+(3) = -15
=(-1.3)+(2.1) =0.8
爱，责任，梦想！ 87
l
如图，有一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置恰
好在l 上的一点O
O
为区分方向，我们记向右为正，向左为负，
为区分时间，我们记现在后为正，现在前为负.
O 2 4 6 8
其结果可表示为
问题一：如果蜗牛一直以每分2 cm的速度从O点向右
爬行，3分钟后它在点O的 边 cm 处？右 6
（+2）×（+3）= +6
问题二：如果蜗牛一直以每分2cm的速度从O点向左爬行，
3分钟后它在点O的 边 cm 处？
O-8 -6 -4 -2
左 6
其结果可表示为
（-2）×（+3）= -6
问题三：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，
现在蜗牛在点O处,那么3分钟前它在点O的 边 cm
处.
O-8 -6 -4 -2
左 6
其结果可表示为
（+2）×（－3）=－6
问题四:如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，现在
蜗牛在点O处,3分钟前它在点O 边 cm处？
O 2 4 6 8
右 6
其结果可表示为
（－2）×（－3）=+6
(1) (＋2)×(＋3)=+(2×3)=＋6
(2) (－2) ×(＋3)=－(2×3)=－6
(3) (＋2) ×(－3)=－(2×3)=－6
(4) (－2)×(－3)= ＋(2×3)=＋6
总结：两有理数相乘,积的绝对值等于各乘数的绝对
值的积.
问题五：如果蜗牛一直以每分钟 0cm的速度向左爬行，
3分钟前它在什么位置？
O-8 -6 -4 -2
其结果可以表示为：
0×（－3）= 0
有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值
相乘.
任何数同0相乘,都得0.
1
2
例1 计算：
（1）（－3）×9 （2）（－ ）×（－2）
解：（1）（－3）×9 =－27
（2）(－ ) ×(－2) =1
1
2
1×1= 1 -1×(-1)=
×3= - ×(-3)=
1
3
1
3
总结：乘积是1的两个数互为倒数。
即：若ab=1，则a和b互为倒数。
1的倒数为 -1的倒数为
的倒数为3
1 - 的倒数为3
1
5的倒数为 -5 的倒数为
1 -1
3 -3
思考：互为倒数的两个数是同号吗？
1
5
1
5
的倒数为3
2
- 的倒数为3
2
2
3
2
3
例2: 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为
负，登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量
为－60C，攀登3km后，气温有什么变化？
解：（- 6）×3 = -18
答：气温下降18 0C
商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，
与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变
化？
解：（－5）×60 =－300
答：销售额减少300元。
小练习
能力提升
(1) 若 ab>0，则必有 ( )
A. a>0，b>0 B. a0或a
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