天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 九年级上册 / 第一章 特殊平行四边形 / 本章复习与测试 / 北师大版九年级数学上册第一章同步测试题及答案
资料简介
北师大版九年级数学上册第一章同步测试题及答案
1.1 菱形的性质与判定
一、选择题
1. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接 EF，则的△AEF 的
面积是（ ）
A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=8，点 E，F 分别在 AB，AD 上，且 AE=AF，过点 E 作 EG∥AD 交 CD 于点 G，
过点 F 作 FH∥AB 交 BC 于点 H，EG 与 FH 交于点 O．当四边形 AEOF 与四边形 CGOH 的周长之差为 12 时，AE
的值为（ ）
A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5
3. 如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CE⊥AB 交于点 E，交 BD 于点 F，且点 E 是 AB 中点，则 tan∠BFE 的
值是（ ）
A. 1
2
B. 2 C. 3
3
D. 3
4. 如图，在菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（ ）
A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
5. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形 ABCD 的面积是（ ）
A. 18 B. 18 3 C. 36 D. 36 3
6. 如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60°，则花坛对角线 AC 的长等于（ ）
A. 6 3米 B. 6 米 C. 3 3米 D. 3 米
7. 如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（-3，4），顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 y=k
x
（x
＜0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ）
A. -12 B. -27 C. -32 D. -36
8. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O 点，E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF．若 EF= 3，
BD=4，则菱形 ABCD 的周长为（ ）
A. 4 B. 4 3 C. 4 7 D. 28
9. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
10. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为 2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校
方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后
菱形区域的周长为（ ）
A. 20m B. 25m C. 30m D. 35m
11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则
∠CPB 的度数是（ ）
A. 108° B. 72° C. 90° D. 100°
12. 在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点，则∠EAF 等于（ ）
A. 60° B. 55° C. 45° D. 30°
13. 菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则菱形的面积是（ ）
A. 10 B. 20 C. 24 D. 48
14. 在菱形 ABCD 中，下列结论错误的是（ ）
A. BO=DO B. ∠DAC=∠BAC C. AC⊥BD D. AO=DO
15. 如图，在菱形 ABCD 中，P、Q 分别是 AD、AC 的中点，如果 PQ=3，那么菱形 ABCD 的周长是（ ）
A. 30 B. 24 C. 18 D. 6
二、填空题（共 5 题）
16. 如图，AD 是△ABC 的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC 满足条件________时，四边形 AEDF 是菱形．
17. 如图，在△ABC 中，已知 E、F、D 分别是 AB、AC、BC 上的点，且 DE∥AC，DF∥AB，要使四边形 AEDF
是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形
18. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，
使四边形 ABCD 成为菱形．
19. 如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于1
2
AB 的长为半
径画弧，两弧相交于 C、D，则直线 CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是_________
20. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 相交于点 O，添加一个条件：________ ，可使它成为菱
形.
三、解答题（共 5 题）
21. 如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CE 是中线，△ACD 与△ACE 关于直线 AC 对称．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）求证：BC=ED．
22. 如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点 E、F 分别为 AC、BC 的中点．
（1）求证：四边形 EFCD 是菱形；
（2）如果 AB=8，求 D、F 两点间的距离．
23. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E．
（1）求证：四边形 AECD 是菱形；
（2）若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
24. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，CE∥AD 交 AB 于 E，AE=AD．求证：四边形 AECD 是菱形
25. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形 ABCD．试判断四边形 ABCD 的形状并证明
答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，
∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF
是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=2 3 ∴EF=AE=2 3∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF 的面积是：1
2
EF•AM=1
2
×2 3×3=3 3.故选:B.
2.【答案】C
【解析】根据题意可得四边形 AEOF 和四边形 CGOH 为菱形，且 OH=EB，设 AE=x，则 BE=8－x，根据菱形的
周长之差为 12，可得两个菱形的边长之差为 3，即 x－（8－x）=3，解得：x=5．5
考点：菱形的性质
3. 【答案】D
【解析】根据菱形的性质，在菱形 ABCD 中，AB=BC，E 为 AB 的中点，因此可知 BE=1
2 BC，又由 CE⊥AB，可
知△BCA 为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=1
2
∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得 tan∠BFE= 3．故选 D
考点：菱形的性质，解直角三角形
4. 【答案】A
【解析】根据菱形的四条边都相等求出 AB，再根据菱形的对角线互相平分可得 OB=OD，然后判断出 OE 是
△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形 ABCD 的周
长为 28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E 为 AD 边中点，∴OE 是△ABD 的中位线，∴OE= AB= ×7=3.5．故
选 A．
点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是
解题的关键．
5. 【答案】B
【解析】过点 A 作 AE⊥BC 于 E，如图，∵在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，
∴AE=3 3，∴菱形 ABCD 的面积是 6 × 3 3=18 3，故选 B．
考点：菱形的性质．
6. 【答案】A
【解析】本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.因为菱形周长为 24 米，所以边长为 6 米，
因为∠BAD = 60°，所以∠BAO=30°，∴OA=3 3米,∴AC= 6 3米. 故选 A.
7. 【答案】C
【解析】∵A（﹣3，4），∴OA= =5，∵四边形 OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点 B 的横坐标
为﹣3﹣5=﹣8，故 B 的坐标为：（﹣8，4），将点 B 的坐标代入 得，4= ，解得：k=﹣32．故选 C．
8. 【答案】C
【解析】∵E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC=2EF=2 3.∵菱形 ABCD 的对角
线 AC，BD 相交于 O 点，∴∠AOB=90°，AO=1
2
AC= 3，BO=1
2
BD=2.∴AB= A02 + BO2 = 7，∴C 菱形 ABCD=4AB=4 7.
故选 C.
9. 【答案】D
【解析】A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C、不
正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选 D．
10. 【答案】C
【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG=
∠BGM=60°，∴△BMG 是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF
+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为 7.5×4=30（m），故选 C．
考点：菱形的性质．
11. 【答案】B
【解析】如图，连接 AP，∵在菱形 ABCD 中，∠ADC=72°，BD 为菱形 ABCD 的对角线，∴∠ADP=∠CDP=1
2
∠ADC=36°.∵AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=
∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形 ABCD 是关于对角线 BD 对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选 B.
点睛：连接 AP，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB 的度数是解本题的基础，而利用通常
容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB 才是解决本题的关
键.
12. 【答案】A
【解析】如图，连接 AC，∵AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点，∴AB=
AC，AD=AC.又∵在菱形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC.∴△ABC 和△ADC 都是等边三角
形.∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=1
2
∠BAC=30°，∠FAC=1
2
∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+
∠FAC=60°.故选 A.
13.【答案】C
【解析】由菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵
菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，∴这个菱形的面积是： ×6×8=24．故选 C．
考点：菱形的性质．
14. 【答案】D
【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项 A、B、
C 的结论都是正确的，只有选项 D 的结论不一定成立.故选 D.
15. 【答案】B
【解析】∵P，Q分别是AD，AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，
∴C 菱形 ABCD=6+6+6+6=24.故选 B.
二、填空题（共 5 题）
16. 【答案】AB=AC 或∠B=∠C
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边形.所以当四边形 AEDF 中有一组邻边相等时，它
就是菱形了.由此在△ABC 中可添加条件：（1）AB=AC 或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC”时，
∵AD 是△ABC 的高，AB=AC，∴点 D 是 BC 边的中点，又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点 E、F 分别是 AB、AC 的中
点，∴AE=1
2
AB，AF=1
2
AC，∴AE=AF，∴平行四边形 AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时，
则由∠B=∠C 可得 AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，∴平行四边形 AEDF 是菱形.
17. 【答案】AB=AC，答案不唯一
【解析】根据 DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形 AEDF 是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相
等即可，从而可以得出．条件 AE=AF（或 AD 平分角 BAC，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行
四边形，又 AE=AF，∴四边形 AEDF 是菱形．
考点: 菱形的判定.
18. 【答案】AB=AD，答案不唯一
【解析】由已知条件可证四边形 ABCD 是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可
添加：（1）四边形 ABCD 中，有一组邻边相等；（2）四边形 ABCD 的对角线互相垂直；
因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且
OA=OC，OB=OD．∴四边形 ABCD 是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形 ABCD 是菱形.
点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形 ABCD 是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一
组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有 3
种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线 AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）
或（2）的其它条件.
19. 【答案】菱形
【解析】∵分别以 A 和 B 为圆心，大于1
2
AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形
ADBC 是菱形．故答案为：菱形．
20. 【答案】AB=BC 或 AC⊥BD 等
【解析】有一组领边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．本题的答案有很多
种，只要写出符合条件的即可．
考点：菱形的性质．
三、解答题（共 5 题）
21. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由△ABC 中，∠ACB=90°，CE 是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD 与△ACE 关于直线 AC 对
称，可得 AD=AE=CE=CD，从而可得四边形 ADCE 是菱形；（2）由（1）可得 DC∥BE，DC=AE=BE，从而可证得：
四边形 BCDE 是平行四边形，就可得到：BC=DE.
（1）证明：∵∠C=90°，点 E 为 AB 的中点，∴EA=EC.
∵△ACD 与△ACE 关于直线 AC 对称．
∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，
∴四边形 ADCE 是菱形；
（2）∵四边形 ADCE 是菱形，
∴CD∥AE 且 CD=AE，
∵AE=EB，∴CD∥EB 且 CD=EB
∴四边形 BCDE 为平行四边形，
∴DE=BC．
22. 【答案】（1）证明见解析；（2）4 3
【解析】（1）由△ABC 是等边三角形，点 E、F 分别为 AC、BC 的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC 是等边
三角形可得：DE=DC=EC，从而可得 EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形 EFCD 是菱形；（2）连接 DF 交 AC 于点
G，由已知易证 EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得 EG=2，再由勾股定理可得：FG=2 3，从
而可得 DF=4 3.
解：（1）∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵点 E、F 分别为 AC、BC 的中点
∴EF=1
2
AB，EC=1
2
AC，FC=1
2
BC
∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，
∴四边形 EFCD 是菱形．
（2）连接 DF，与 EC 相交于点 G，
∵四边形 EFCD 是菱形，
∴DF⊥EC，垂足为 G ，EG=1
2
EC，
∴∠EGF=90°，
又∵AB=8， EF=1
2
AB，EC=1
2
AC，
∴EF=4，EC=4，EG=2，
∴GF= EF2 − EG2 = 2 3，
∴DF=2GF=4 3.
23. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．
解：（1）四边形 ABCD 中，AB∥CD，过 C 作 CE∥AD 交 AB 于 E，
则四边形 AECD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
因为 AB∥CD，所以∠EAC = ∠ACD；
AC 平分∠BAD，所以∠EAC = ∠CAD，
因此∠ACD = ∠CAD，所以 AD=CD，
所以四边形 AECD 是菱形.
（2）由（1）知四边形 AECD 是菱形，所以 AE=CE；
点 E 是 AB 的中点，AE=BE，
所以 CE=AE=BE，
所以△ABC 是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）
考点：平行四边形，菱形，直角三角形
点评：本题考查平行四边形，菱形，直角三角形，要求考生掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定方法
和性质，直角三角形的性质
24.【答案】证明见解析.
【解析】由 AB∥CD，CE∥AD 可证得：四边形 AECD 是平行四边形，再由 AE=AD 即可证得平行四边形 AECD
是菱形.
解：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形 AECD 是平行四边形，
∵AE=AD，∴四边形 AECD 是菱形.
25. 【答案】四边形 ABCD 是菱形．证明见解析.
【解析】过点 A 作 AR⊥BC 于点 R，AS⊥CD 于点 S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形 ABCD
是平行四边形；由矩形纸条等宽可得 AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形 ABCD 是菱
形.
解：四边形 ABCD 是菱形．理由如下：
作 AR⊥BC 于 R，AS⊥CD 于 S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵两个矩形等宽，∴AR=AS，
∵S 平行四边形 ABCD=AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形 ABCD 是菱形.
点睛：本题第一步容易证得四边形 ABCD 是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助
线 AR⊥BC，AS⊥CD，就可得 AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD 是解决本题的关键.
1.2 矩形的性质与判定
一、选择题
1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，B 与 D 两点之间
用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A. 四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形
B. BD 的长度增大
C. 四边形 ABCD 的面积不变
D. 四边形 ABCD 的周长不变
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ）
A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OA=AD
3. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为
（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
4. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为 60°，两条对角线的长度的和为 20cm，则这个矩形的一条较短
边的长度为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm
5. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，若∠AOD=120°，AB=6，则 AC 等于（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若∠ACB=30°，AB=2，则 BD 的长为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 一个矩形被分成不同的 4 个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的 15%，黄色的三角形的面积是
212，则该矩形的面积为（ ）
A. 60 2 B. 70 2 C. 120 2 D. 140 2
8. 如图，矩形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若 AD= 3，则 OE=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（ ）
A. 16 B. 22 或 16 C. 26 D. 22 或 26
10. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
11. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3cm 和 5cm 的两部分，则此矩形的周长为（ ）
A. 16cm B. 22cm C. 26cm D. 22cm 或 26cm
12. 矩形的对角线所成的角之一是 65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）
A. 57.5° B. 32.5° C. 57.5°，23.5° D. 57.5°，32.5°
13. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
14. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是
（ ）
A. 对角线相等的四边形
B. 对角线垂直的四边形
C. 对角线互相平分且相等的四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形
15. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（ ）
A. 80° B. 60° C. 45° D. 40°
二、填空题
16. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平
行四边形 ABCD 是矩形．
17. 平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC
平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形 ABCD 是矩形的条件有________
18. 如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．
19. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提
下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
20. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 15cm，宽为 8cm，对角线为 17cm，这个桌面_________（填”
合格”或”不合格”）
三、解答题
21. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在 AB、BC、CD、AD 边上且 AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
（2）如果 AB=AD，且 AH=AE，求证：四边形 EFGH 是矩形
22. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 为 BC 边上的高，过点 A 作 AE∥BC，过点 D 作 DE∥AC，AE 与
DE 交于点 E，AB 与 DE 交于点 F，连结 BE．求四边形 AEBD 的面积
23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，连接 BE，∠F=45°．求
证：四边形 ABCD 是矩形
24. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 DEF 部分打碎，现在只测得 AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，
∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出 AD 的长吗？
25. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD、AE 分别是∠BAC 与∠BAC 的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD 可伸长，故 BD 的长度变大，四边形 ABCD 由矩形变为平行四
边形 ，因为四条边的长度不变，所以四边形 ABCD 的周长不变.原来矩形 ABCD 的面积等于 BC 乘以 AB，变
化后平行四边形 ABCD 的面积等于底乘以高，即 BC 乘以 BC 边上的高，BC 边上的高小于 AB，所以四边形 ABCD
的面积变小了，故 A,B,D 说法正确，C 说法错误.故正确的选项是 C.
考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.
2. 【答案】D
【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，
对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA
=∠BAD=90°，AC=BD，OA= AC，OB= BD，∴OA=OB，∴A、B、C 正确，D 错误
考点：矩形的性质
3. 【答案】D
【解析】∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，
OA=OB，OM 为△ACD 的中位线，∴OM=1
2
CD=2.5，AC= 52+122=13，∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，
∴BO=1
2
AC=6.5,∴四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选 D．
考点： 矩形的性质．
4. 【答案】D
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA=OC=1
2
AC，OD=OB=1
2
BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=5cm，
故选 D．
考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．
5. 【答案】C
【解析】根据∠AOD=120°可得∠AOB=60°，根据矩形的性质可得 AO=BO，则△AOB 是正三角形，则 AO=AB=6，
则 AC=2AO=12．
考点：矩形的性质．
6. 【答案】A
【解析】在矩形 ABCD 中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BD=AC=4．故选 A．
7. 【答案】A
【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50%，而绿色三角形面积占矩形面积的 15%，所
以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是 21 平方厘米，故矩形的面积=21÷
（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选 A．
考点：矩形的性质．
8.【答案】A
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO 是等边三角形，∴OA= 3，∠OAD=60°，∴∠OAE=
30°，∵OE⊥AC，∴△OAE 是一个含 30°的直角三角形，∴OE=1，故选 A．
9.【答案】D
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，①当 AE=3，DE=5 时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，
即矩形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；②当 AE=5，DE=3 时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，即矩
形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是 22 或 26，故选 D．
考点：矩形的性质.
10.【答案】A
【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具
有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质
是：对角线相等．故选 A．
11. 【答案】D
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE， 当 AE=3cm 时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，
∴此时矩形 ABCD 的周长是 AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当 AE=5cm 时，AB=AE=5cm=CD，
AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形 ABCD 的周长是 AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选 D．
考点：矩形的性质．
12. 【答案】D
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=
OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=1
2
×
（180°﹣∠AOB）=1
2
×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是
57.5°和 32.5°，故选 D．
点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质
进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
13. 【答案】A
【解析】菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，∴矩形具
有而菱形不具有的性质是对角线相等，故选 A．
考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．
14. 【答案】B
【解析】∵四边形 EFGH 是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，
∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形 AEBO 是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选 B．
15. 【答案】A
【解析】如图,根据题意可得：∠1=40°，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OB=OC，∴∠OBC=∠1=40°，则
∠AOB=2∠1=80°．故选 A．
考点：矩形的性质．
二、填空题
16. 【答案】AC=BD．答案不唯一
【解析】添加的条件是 AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形 ABCD 是平行四边形，∴平行四边形 ABCD 是矩形，
故答案为：AC=BD．答案不唯一．
点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的
题目，答案不唯一．
17.【答案】①⑤
【解析】要使得平行四边形 ABCD 为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2 个即可；故答案为：①⑤．
18. 【答案】∠ABC=90°或 AC=BD（不唯一）
【解析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形 ABCD 是矩形，故答案为 AC=BD．
19. 【答案】∠DAB=90°
【解析】可以添加条件∠DAB=90°.∵AO=CO，BO=DO，∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵∠DAB=90°，∴四
边形 ABCD 是矩形.故答案为：∠DAB=90°.
20. 【答案】合格
【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三
角形.∵ ∴这个桌面合格.
考点：勾股定理的逆定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.
三、解答题
21. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得 BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相
等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形 ABCD 是菱形，连接 AC，BD，则有 AC⊥BD，
由 AB=AD，且 AH=AE 可证得 HE∥BD，同理可得到 HG∥AC，故 HG⊥HE，又由（1）知四边形 HGFE 是平行四
边形，故四边形 HGFE 是矩形．
证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．
在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即 BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形 ABCD 中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
（2）在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=180°−a
2 = 90° − a
2
．
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即 DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH=180°−(180−a)
2 = a
2
．
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．
又∵四边形 EFGH 是平行四边形，
∴四边形 EFGH 是矩形．
考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．
22. 【答案】12.
【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形 AEBD 是矩形．在 Rt△ADC 中，由勾股
定理可以求得 AD 的长度，由等腰三角形的性质求得 CD（或 BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．
解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形 AEDC 是平行四边形，∴AE=CD．
在△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，
∴BD=AE，∴平行四边形 AEBD 是矩形．
在 Rt△ADC 中，∠ADB=90°，AC=5，CD=1
2
BC=3，∴AD= 52 − 32=4，
∴四边形 AEBD 的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．
点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边
形为矩形”推知平行四边形 AEBD 是矩形是解题的难点．
23. 【答案】证明见解析.
【解析】欲证明四边形 ABCD 是矩形，只需推知∠DAB 是直角．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.
∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．
∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是矩形．
24. 【答案】AD＝140cm．
【解析】过 C 作 CM∥AB，交 AD 于 M，推出平行四边形 ABCM，推出 AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，
∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出 CM=DM=60cm，代入 AD=AM+DM 求出即可．
解：过 C 作 CM∥AB，交 AD 于 M，
∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，
∵AB∥CM，∴四边形 ABCM 是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，
∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，
∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，
∴AD=60cm+80cm=140cm．
25. 【答案】证明见解析.
【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明 AE∥BD，再由 AD、AE 分别是∠BAC 与∠BAC 的外角的平分
线可证得 DA⊥AE，可得 AD∥BE，可证得四边形 ADBE 为矩形，可得结论．
证明：∵AD、AE 分别是∠BAC 与∠BAC 的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=1
2
（∠BAC+∠FAB）=90°，
∵BE⊥AE，∴DA∥BE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形 AEBD 为平行四边形，且∠BEA=90°，
∴四边形 AEBD 为矩形，∴AB=DE．
点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明 AE∥BD 是解题的关键．
1.3 正方形的性质与判定
一、选择题
1. 下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为 5 和 12，则第三边长是 13；（2）如果 a≥0，那么
=a;（3）若点 P（a，b）在第三象限，则点 P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直
且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个
数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 下列命题中，正确命题是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形
D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形
3. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形
B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4. 下列说法中错误的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形
5. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 有三个角是直角的四边形是矩形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，
且保持 AD=CE．连接 DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的
面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤
C. ①③④ D. ③④⑤
7. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当 AB=BC 时，它是菱形 B. 当 AC⊥BD 时，它是菱形
C. 当∠ABC=90°时，它是矩形 D. 当 AC=BD 时，它是正方形
8. 下列命题中正确的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
9. 已知四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个
条件可以是（ ）
A. ∠D=90° B. AB=CD
C. AD=BC D. BC=CD
10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与
折痕成（ ）
A. 22.5°角 B. 30°角 C. 45°角 D. 60°角
11. 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A. AC=BD，AB∥CD，AB=CD B. AD∥BC，∠A=∠C
C. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC
12. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）
菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A. （1）（2）（5） B. （2）（3）（5）
C. （1）（4）（5） D. （1）（2）（3）
13. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 四个角都相等的四边形是矩形
D. 邻边相等的菱形是正方形
14. 下列说法中错误的是（ ）
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 每组邻边都相等的四边形是菱形
C. 四个角都相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
15. 四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；
④矩形 ABCD；⑤菱形 ABCD，⑥正方形 ABCD，则下列推理不成立的是（ ）
A. ①④
⇒
⑥ B. ①③
⇒
⑤ C. ①②
⇒
⑥ D. ②③
⇒
④
16. 在下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
17. 下列说法中错误的是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 四条边相等的四边形是正方形
18. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形
C. 菱形的四条边、四个角都相等 D. 三角形一边上的中线等于这边的一半
19. 下列说法错误的是（ ）
A. 平行四边形的内角和与外角和相等
B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 四条边都相等的四边形是正方形
20. 矩形的四个内角平分线围成的四边形（ ）
A. 一定是正方形 B. 是矩形
C. 菱形 D. 只能是平行四边形
21. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
二、填空题
22. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若不增加任何字母与辅助线，
要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是 _________ ．
23. 要使一个菱形 ABCD 成为正方形，则需增加的条件是 _________ ．（填一个正确的条件即可）
24. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．
（1）正方形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成；
（2）菱形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成；
（3）矩形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成．
三、解答题
25. 如图，点 D 是线段 AB 的中点，点 C 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于
点 F．
（1）求证：CE=CF；
（2）点 C 运动到什么位置时，四边形 CEDF 成为正方形？请说明理由．
26. 已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E、F，且 BF=CE．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形 AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论．
27. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三
角形．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形．
28. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，
垂足为点 E，
（1）求证：四边形 ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．
29. 如图：已知在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形 DFAE 是正方形．
30. 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD 相交于点 G，过点 A 作 AE∥DB
交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BF∥CA 交 DA 的延长线于点 F，AE，BF 相交于点 H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形 AHBG 是菱形；
（3）若使四边形 AHBG 是正方形，还需在 Rt△ABC 的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不
必证明）
答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为 5 和 12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯
一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点 P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，
∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点 P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平
分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选
A．
考点：直角三角形，二次根式，平面直角坐标系，正方形，三角形全等
2. 【答案】C
【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 错误；B、两条对角线平分且相等的四边形
是矩形，故 B 错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故 C 正确；D、两条对角线平分、垂直
且相等的四边形是正方形，故 D 错误；故选 C．
3. 【答案】D
【解析】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项 A 错误；B、对角线垂直且相等的平行
四边形是正方形，故选项 B 错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 C 错误；D、根据矩形
的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项 D 正确；故选 D．
4. 【答案】B
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 选项正确；B、对角线相等的平行四边形才是矩
形，故 B 选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故 C 选项正确；D、两条对角线相等的菱形是正
方形，故 D 选项正确；综上所述，B 符合题意，故选：B．
考点：矩形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定
5. 【答案】B
【解析】A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；B、错误，对角线相等的四边形不
一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；D、正确，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故选 B．
6. 【答案】B
【解析】解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证
△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，
再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF，当 DF 与 BC
垂直，即 DF 最小时，DE 取最小值 4 ，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去△DEF
的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接 CF；∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形（故①正确）．当 D、E 分
别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S 四边形 CEFD=S△AFC，
（故④正确）．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时，DF 也最小；即当 DF⊥AC 时，DE 最小，
此时 DF= BC=4．∴DE= DF=4 （故③错误）．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此
时 S△CDE=S 四边形 CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
7. 【答案】D
【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 ABCD 是平行四边形，当 AB=BC 时，它是菱形，
故 A 选项正确；B、∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，
∴四边形 ABCD 是菱形，故 B 选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；D、根
据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；综上所述，
符合题意是 D 选项；故选 D．
【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；
根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边
形是矩形．
8. 【答案】A
【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，
不一定是矩形，错误．C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．D、两
条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．故选 A．
9.【答案】D
【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可
判定为正方形，故选 D．
10. 【答案】C
【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对
角的平分线，所以当剪口线与折痕成 45°角，菱形就变成了正方形．故选 C．
11. 【答案】C
【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答
案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故
选 C．
12. 【答案】A
【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；
（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选 A．
13. 【答案】D
【解析】A 选项中一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形非常重要的一个判定定理，故
正确，B 选项对角线互相平分得到为平行四边形，再加又互相垂直可得为菱形，故正确，C 选项是正确，
四个角相等，只能都为 90 度，就变成了矩形，故正确，D 选项是错误的，因为菱形本来邻边相等，并不能
得出为正方形；故选：D
考点：平行四边形及特殊的平行四边的判定及性质.
14. 【答案】D
【解析】A 正确，符合平行四边形的判定定理；B 正确，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，对
角线互相垂直的平行四边形是菱形；C 正确，四个角都相等的四边形的内角和为 360°，那么每个内角为
90°，是矩形；D 不正确，菱形的邻边本来就是相等的，等于没加条件．故选 D．
15. 【答案】C
【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相
等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选 C．
考点：1．正方形的判定；2．菱形的判定；3．矩形的判定．
16. 【答案】C
【解析】A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 A 错误；B、两条对角线互相垂直的平行四边形
是菱形，故选项 B 错误；C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，
为真命题，故选项 C 是正确的；D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项 D 错误；
故选 C．
点睛：基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．
17. 【答案】D
【解析】A 正确，符合矩形的定义；B 正确，符合正方形的判定；C 正确，符合正方形的判定；D 不正确，
也可能是菱形；故选 D．
18. 【答案】B
【解析】A 不正确，因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形；B 正确，符合正方形的判定；C 不正确，
菱形的四条边、对角都相等；D 不正确，直角三角形斜边上的中线等于这边的一半；故选 B．
19. 【答案】D
【解析】A 正确，平行四边形的内角和与外角和都是 360°；B 正确，符合菱形的定义；C 正确，符合矩形
的判定；D 不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形；故选 D．
20. 【答案】A
【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成 8 个 45°的角，因此形成的四边形每个角是 90°.又知
两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形
是正方形，得到该四边形是正方形.故选 A．
点睛：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
21.【答案】D
【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故 A 选项错误；B、对角线互相
垂直的四边形也可能是一般四边形，故 B 选项错误；C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故 C 选
项错误．D、一组邻边相等的矩形是正方形，故 D 选项正确．故选：D．
考点： 命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
二、填空题
22. 【答案】AC=BD 或 AB⊥BC．
【解析】∵在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，∴四边形 ABCD 是菱形，∴要使四边形 ABCD 是正方形，则还
需增加一个条件是：AC=BD 或 AB⊥BC．
23. 【答案】∠A=90°或 AC=BD．
【解析】要使一个菱形 ABCD 成为正方形，则需增加的条件是∠A=90°或 AC=BD．
点睛：解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质．
24.【答案】等腰直角三角形，等腰三角形，直角三角形
【解析】∵正方形的四边相等，四角为直角，∴正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而
成.∵菱形的四边相等，∴菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成，∵矩形的四角为直角，
∴矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成．
三、解答题
25.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）由 CD 垂直平分线 AB，可得 AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD
（ASA），∴CE=CF；（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当 CD=1
2
AB 时，四边形
CEDF 为正方形．
（1）证明：∵CD 垂直平分线 AB，
∴AC=CB．∴△ABC 是等腰三角形，
∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC 与△DFC 中，
∠ACD = ∠BCD
CD = CD
∠EDC = ∠FDC
，
∴△DEC≌△DFC（ASA），
∴CE=CF．
（2）解：当 CD=1
2
AB 时，四边形 CEDF 为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=1
2
AB，∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，∴∠ACB=90°，
∴四边形 ECFD 是矩形，
∵CE=CF，∴四边形 ECFD 是正方形．
考点: 1.线段垂直平分线的性质；2.正方形的判定．
26. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）先利用 HL 判定 Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC 是等腰三角形；（2）由已知
可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形 AFDE 是正方形．
（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，
又∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠B=∠C．
故△ABC 是等腰三角形；
（2）解：四边形 AFDE 是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形 AFDE 是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，
∴四边形 AFDE 是正方形．
27. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， AO="CO "
又∵△ACE 是等边三角形，∴EO⊥AC，即 DB⊥AC
∴平行四边形 ABCD 是菱形.
（2）∵△ACE 是等边三角形，∴∠AEC=60°
∵EO⊥AC ∴∠AEO=∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°
∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°
∵四边形 ABCD 是菱形 ∴∠ADC=2∠ADO=90°
∴四边形 ABCD 是正方形
28. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知 CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，
可以证明四边形 ADCE 为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当 AD=1
2
BC，由已知可得，DC=1
2
BC，
由（1）的结论可知四边形 ADCE 为矩形，所以证得，四边形 ADCE 为正方形．
解：（1）证明：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1
2
×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形 ADCE 为矩形．
（2）当△ABC 满足∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形．
理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，
∵四边形 ADCE 为矩形，
∴矩形 ADCE 是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形．
点睛：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线
的性质等知识点的综合运用．
29. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】 (1)、根据 AB=AC 可得∠B=∠C，根据 DE⊥AB，DF⊥AC 可得∠BED=∠CFD=90°，根据 D 为中点可
得 BD=CD，根据 AAS 可以判定三角形全等；(2)、根据三个角为直角的四边形是矩形，首先得出矩形，然后
根据(1)的结论说明有一组邻边相等.
解：(1)、∵AB=AC ， ∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D 为 BC 的中点，∴BD=CD，
∴△BED≌△CFD
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°.
又∵∠A=90°，∴四边形 DFAE 为矩形.
∵△BED≌△CFD，∴DE=DF ，
∴四边形 DFAE 为正方形.
考点：(1)、三角形全等的证明；(2)、正方形的判定
30.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）需要添加的条件是 AB=BC．
【解析】（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用 SAS 可证
明．（2）由已知可得四边形 AHBG 是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB 为等腰三角形，▱
AHBG 的两邻边相等，从而得到平行四边形 AHBG 是菱形．
（1）解：△ABC≌△BAD．
证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，
∴四边形 AHBG 是平行四边形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD=∠BAC．∴GA=GB．
∴平行四边形 AHBG 是菱形．
（3）需要添加的条件是 AB=BC．
点睛：本题考查全等三角形，四边形等几何知识，考查几何论证和思维能力，第（3）小题是开放题，答
案不唯一．
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