天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 八年级上册 / 第五章 二元一次方程组 / 本章复习与测试 / 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组
资料简介
第五章 二元一次方程组
1
认识二元一次方程组
谁 的 包 裹 多
创设情境，导入新课
牛：累死我了！
马：你还累？这么大的个，才比我多驮了2个。
牛：哼！我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的
2倍
了
！
马：真的？！
牛：不信，你算算。
同学们
，你们知道它们各驮了多少包裹吗？请同学们带着以下问题进行讨论。
设老牛驮了
x
个包裹，小马驮了
y
个包裹。
（
1）老牛的包裹数比老马的多了2个，由此你能
得到
怎样
的等量关系？根据等量关系你能得出怎样的方程？
等量关系：老牛的包裹数─ 小马的包裹数=
2
可以
得到方程：
x
-
y
=2
（
2）若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时它们各有几个包裹？由此你又能得到怎样的等量关系？又能列出怎样的方程？
等量关系：老牛的包裹数+1=2（小马的包裹数─1）
可以得到方程：
x
+1=2(
y
-1).
在以下两个方程中：
x
-
y
=2
x
+1=2(
y
-1)
各
含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少
？ 请
同学们根据所学知识猜一猜它们是几元几次方程？
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
练习：判断下列方程是不是二元一次方程：
（1）
x
+
=5，
（2）
xy
=6，
（3）2
y
─3
x
=0，
（
4）
x
=
y
例
1、昨天，我们8个人去了红山公园玩，买门票花了34元。每张成人票5元，每张儿童票3元。你知道我们到底去了几个成人，几个儿童吗？请列出方程。
设
他们中有
x
个成人，
y
个儿童，由此你能得到怎样的相等关系？根据相等关系又能列出怎样的方程？
等量关系：成人人数+儿童人数=
8
买成人票的钱+买儿童票的钱=34元
可以得到方程：
x
+
y
=8
和
5
x
+3
y
=34.
提问：在上面的方程
x
+
y
=8
和5
x
+3
y
=34
中，
x
的含义相同吗？
y
呢？
方程
x
+
y
=8
和5
x
+3
y
=34
中，
x
,
y
的含义分别相同。因而
x
，
y
必须同时满足方程
x
+
y
=8
和5
x
+3
y
=34。
把它们联立起来，得
2
、二元一次方程组
像
上面这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
练习：
1、判断下列方程组是不是二元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
2
、据题意，列方程组：
小
明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各有多少枚？
解
：设小明买了50分的邮票
x
枚，80分的邮票
y
枚，依题意得：
做
一做：
（
1）
x
=6,
y
=2
适合方程
x
+
y
=8
吗？
x
=5
,
y
=3
呢？
x
=4
,
y
=4
呢？你还能找到其他
x
,
y
值适合方程
x
+
y
=8
吗？
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
如
x=6,y=2
是方程
x+y=8
的一个解，记作 ：
也是方程
x
+
y
=8
的一个解。
（2）
x
=5
,
y
=3
适合方程5
x
+3
y
=34
吗？
x
=2
,
y
=8
呢？
（3）你能找到一组
x
,
y
值，同时适合方程
x
+
y
=8
和 5
x
+3
y
=34
吗？
练习：下列4组数值中，哪些是二元
一次方程
2
x
+
y
=10
的解？
(1)
(2)
(3)
(4)
4
、二元一次方程组的解
二
元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
例如
就是二元一次方程组
的解。
第五章 二元一次方程组
2
求解二元一次方程组（
1
）
一、复习巩固，引入课题：
1
、什么叫做一元一次方程？解一元一次方程有哪些步骤？
2
、解方程：
2
（
x
-3
）
=
8
3
、在本章第一节课中老牛和小马各驮了多少个包裹的 问题中，需要解二元一次方程
组
如何解呢？同学们相互讨论一下。
①②
答案：
x
=7
二、新课讲解：
对于上面的方程组中，由①，得
y
=
x
-2 ③
啊哈，二元化为一元了
！
由于方程组中相同的字母表示同一个未知数，所以
方程②中的
y
也等于
x
-2,
可以用
x
-2
代替方程②中的
y
。
这样有
x
+1=2(
x
-2-1) ④
解所得的一元一次方程④，得
x
=7
。
再把
y
=5
代入③， 得
y
=5
。
这样，我们得到一元二次方程组
的解
x
=7
y
=5
.
因此，老牛驮了
7
个包裹，小马驮了
5
个包裹。
举例：例
1
解方程组
解：将②代入①，
得
3(
y
+3
)+2
y
=14
3
y
+9+2
y
=14
5
y
=5
y
=1
将
y
=1
代入②， 得
x
=4
所以原方程组的解是
注：
1
、在解题的过程中注意思路和格式；
2
、最后把求出的解代入原方程组，可以知道解得对不对。
及时反馈：
1
、解方程组
答案：
2
、方程组
的解是（ ）
（
A
）
（
C
）
（
B
）
（
D
）
3
、如何解这个方程组？
A
例
2
解方程组
2
x
+3
y
=16
①
x
+4
y
=13
②
解：由②，得
x
=13-4
y
③
将③代入①，得
2(13-4
y
)+3
y
=16
26-8
y
+3
y
=16
-5
y
=-10
y
=2
将
y
=2
代入③， 得
x
=5
所以原方程组的解是
将其中一个方程恒等变形后，要将表达出来的未知数代入另一个方程中去！！！
议一议：
上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？（讨论，归纳）
基本思路
“消元”
（把“二元”变为“一元”。
）
主要步骤：
1
、将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另外一个未知数的表达式表示出来；
2
、将表示出来的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，解出其中的解；
3
、然后代入上面经过变形后的方程，得到另一个未知数的值，最后得到方程组的解。
上述解方程组的方法称为代入消元法，简称消元法。
2
求解二元一次方程组（
2
）
主要步骤：
基本思路
:
写解
求解
代入
消去一个
元
分别求出
两个
未知数的值
写出
方程组
的解
变形
用
一个未知数
的
代数式
表示
另一个未知数
消元
:
二元
1
、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2
、用代入法解方程的步骤是什么？
温故知新
一元
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
问题：
把②变形得：
代入①，不就消去
了
！
思路
小明给出的思路如下：
把②变形得
可以直接代入①呀！
思路
小亮给出的思路如下：
和
互为相反数
……
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
（
3
x
＋
5
y
）
+
（
2
x
－
5
y
）＝
21 + (
－
11)
分析：
①
②
3
x
+5
y
+2
x
－
5
y
＝
10
①
左边
+
②
左
边
= ①
左
边
+
②
左边
5
x
+0
y
＝
10
5
x
=10
小丽发现：
所以原方程组的解是
①
②
解
:
由①
+②
得
: 5
x
=10
把
x
＝
2
代入①，得
x
＝
2
y
＝
3
参
考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
观察方程组中的两个方程，未知数
x
的系数
相等，都是
2
．把这两个方程两边分别相减，
就可以消去未知数
x
，这样得到一个一元一
次方程．
①
②
分析：
指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：
7
x
－
4
y
＝
4
5
x
－
4
y
＝－
4
解：
①
－②，得
2
x
＝
4
－
4
，
x=
0
①
①
②
②
3
x
－
4
y
＝
14
5
x
＋
4
y
＝
2
解：
①－②，得
－
2
x
＝
12
x
=
－
6
解
:
①－②，得
2
x
＝
4
＋
4
，
x
＝
4
解
:
①
＋
②，得
8
x
＝
16
x
＝
2
上面这些方程组的特点是什么
?
解这类方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点
:
基本思路
:
写解
求解
加减
二元
一元
加减消元
:
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数
总 结
例
4.
用加减法解方程组
:
对于
当方程组中两方程不具备
上述特点
时，必须用
等式性质
来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的
绝对值相等
的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件
．
①×3
得
所以原方程组的解是
①
②
分析：
③-④
得
:
y
=2
把
y
＝
2
代入①，
解
得
:
x
＝
3
②×2
得
6
x
+9
y
=36 ③
6
x
+8
y
=34 ④
主要步骤：
基本思路
:
写解
求解
加减
二元
加减消元
:
消去一个元
求出两个未知数的值
写出方程组的解
小 结
1.
加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？
变形
同一个未知数的系
数相同或互为相反数
2.
二元一次方程组解法有
.
代入法、加减法
3
、在解
方程组 时，
小张
正确的解是
了方程组中的
C
得到方程组的解为
探索与思考
,
小李由于看错
第五章 二元一次方程组
3
应用二元一次方程组
——
鸡兔同笼
《
孙子算经
》
是我国古代一部较为普及的算书
,
许多问题浅显有趣
,
其中下卷第
31
题“雉兔同笼”流传尤为广泛
,
飘洋过海流传到了日本等国
.
“
鸡兔同笼”题为
:
今有鸡兔同笼
,
上有三十五头
,
下有九十四足
,
问鸡兔各几何
?
“
上有三十五头”的意思是什么
?
“
下有九十四足”的意思是什么
?
“
雉兔同笼”题，今有雉（鸡）兔同笼，上有
35
头，下有
94
足，问雉兔各几何？
1.“
上有
35
头”的意思是什么
?
“下有
94
足”呢？
2.
你能根据（
1
）中的等量关系列出方程吗？
3.
你能解决这个有趣的问题吗？
等量关系：
鸡＋兔＝
35
鸡脚＋兔脚＝
94
例题详解
解：设笼中有
鸡
x
只，有
兔
y
只
.
由题意可得：
x
+
y
=35
，
2
x
+4
y
=94
.
解此方程组得：
x
=23,
y
=12.
答：笼中有鸡
23
只、兔
12
只
.
列方程解应用题步骤
1·
审题
(
找等量关系）
2·
设未知数
3·
列方程
4·
解方程
5·
检验，作答
关键：找等量关系、列方程
以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺
.
绳长、井深各几何？
(1)“
将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？
(2)“
若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？
议一议
例
古题今解
题中有哪些等量关系
?
想一想
用绳子测量水井的深度
.
如果将绳子折成三等份，
一份
绳长比井深多
5
尺；如果将绳子折成四等份，
一份
绳长比井深多
1
尺
.
绳长、井深各是多少尺？
题目大意
等量关系
×
绳长－井深＝
5
×
绳长－井深＝
1
关系一
关系二
解：设绳
长
x
尺
,
井深
y
尺
,
则
由题意可得：
x
-
y
=5
，
x
-
y
=1
.
解此方程组得：
x
=48,
y
=11.
答：绳长
48
尺
,
井深
11
尺
.
1.
今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
跟踪练习
解
:
设每头牛值
“
金
”
x
两
,
每头羊值
“
金
”
y
两
,
由题意
,
得
5
x
+2
y
=10,
2
x
+5
y
=8.
答
:
羊值
“
金
”
两
,
牛值
“
金
”
两
.
解得
x
=
y
=
2.
学校买铅笔、圆珠笔共
100
支，共花了
80
元
.
已知铅笔
每支
0.50
元，圆珠笔每支
1
元，问铅笔、圆珠笔各有多少支？
x
＋
y
＝
100
，
0.5
x
＋
y
＝
80.
解：设铅笔
x
支，圆珠笔
y
支
.
x
＝
40,
y
＝
60.
当堂检测
1
：设甲数为
x
，乙数为
y
，则甲数的
2
倍与 乙数的
3
倍的和为
15
，列出方程为
.
2
：一只蛐蛐
6
条腿，一只蜘蛛
8
条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共
10
只，共有
68
条腿，若设蛐蛐有
x
只，蜘蛛有
y
只
，
则
列出
方程组
为
.
3
：小刚有
5
角硬币和一元硬币有
8
枚，币值共有
6
元
5
角，
设
5
角的有
x
枚，一元的有
y
枚，列出的方程组
为
.
2
x
+
3
y
=15
x
+
y
=
10
6
x
+
8
y
=
68
x
+
y
=
8
0.5
x
+
y
=6.5
4.
甲、乙两人赛跑，若乙先跑
10
米，甲跑
5
秒即可追上乙；若乙先跑
2
秒，则甲跑
4
秒就可追上乙
.
设甲的速度为
x
米
/
秒，乙的速度为
y
米
/
秒，则可列方程组为
(
).
B
4
y
=
6
x
4
x
=
6
y
4
y
=
6
x
5
y
+
10
=
5
x
,
5
x
=
5
y
+
10
,
5
x
+
10
=
5
y
,
4
x
=
6
y
5
y
=
5
x
+
10
,
A.
B.
C.
D.
{
{
{
{
通过对“题目中的已知量、未知量是什么”
,“
各个量之间的关系是什么”等问题的分析，形成解决实际问题的一般性策略：
审、设、列、解、答
1.
审题
2.
设未知数
3.
列方程
4.
解方程
5.
检查，作答
小 结
第五章 二元一次方程组
4
应用二元一次方程组
——
增收节支
去年的总产值—去年的总支出=200万元
今年的总产值
=
去年总产值
×(1+20%
）
今年的总支出
=
去年的总支出
×(1—10%
）
今年的总产值
—
今年的总支出
=700
万元
例题探索一
分析
某工厂去年的利润（总产值
—
总支出）为
200
万元。今年总产值比去年增加了
20%
，总支出比去年减少了
10%
，今年的利润为
780
万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
关键
:
找出等量关系
.
得到两个等式：
设去年的总产值为
x
万元，总支出为
y
元
x—y=200
(1+20%)
x—(1—10%)y=780
解：
设去年的总产值为
x
万元，总支出为
y
元，则今年的总产值
=
(
1
+20
%
)
x
万元，今年的总支出
=
(
1
-
10
%
)
y
万元。 由题意得，
解得
答；去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。
例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要
？
例题探索二
x
x
y
y
0.5
x
x
0.7
y
0.4
y
甲蛋白质+乙蛋白质=35
甲铁质+乙铁质=40
营养品（单位
/
克）
原料（克）
每餐获取量（单位）
甲
蛋白质
0
．
5
铁质
1
乙
蛋白质
0.7
铁质
0.4
关 系
设每餐需要甲、乙两种原料各
x
,
y
克，则有下表
由上表可以得到的等式：
0.5
x
+0.7
y
=35
x
+0.4
y
=40
通过解二元一次方程组即可获得所需的答案
（
1
）×
2
得
10
x
+14
y
=700
(5)
解：设每餐需要甲、乙两种原料各
x
克
,
y
克，根据题意可得：
化简得：
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
将
y=30
代入(3)得
x
=28
(5)－(4)得 10
y
=300
y
=30
第五章 二元一次方程组
5
应用二元一次方程组
——
里程碑上的数
有一对父子，他们的年龄都是一个两位数，爸爸说：“我们俩的年龄之和是
68
岁哦
.
”儿子说
:“
若把你的年龄写在我的年龄的左边，得到一个四位数；若把你的年龄写在我的右边，同样得到一个四位数
.
”爸爸说
:“
前一个四位数比后一个四位数大
2178.
”那么他们俩的年龄各是多少
?
你会求他们俩的年龄吗？
里
13:00
里
是一个两位数，它的两个数字之和为
7
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上均速行驶，下图是小明每隔
1
小时看到的里程情况，你能确定小明在
12
：
00
时看到的里程碑上的数吗？
12
：
00
14:00
十位与个位数字与
12
：
00
时所看到的
正好互换了
.
比
12:00
时看到的两位数中间多了个
0
里
如果设小明在
12
：
00
看到的数的十位数字是
x
，个位数字是
y
，那么
（
1
）
12
：
00
时小明看到的数可表示为
____________,
根据两个数字和是
7
，可列方程
___________.
10
x
+
y
x
+
y
=
7
教材详解
如果设小明在
12
：
00
时看到的数的十位数字是
x
，个位
数字是
y
，那么
（
2
）
13
：
00
时小明看到的数可表示为
____________,
12
：
00~13
：
00
间摩托车行驶的路程是
_____________________.
（
3
）
14
：
00
时小明看到的数可表示为
_____________,
13
：
00~14
：
00
间摩托车行驶的路程是
_____________________.
（
4
）
12
：
00~13
：
00
与
13
：
00~14
：
00
两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？
你能列出相应的方程吗？
里
13:00
里
十位与个位数字与
12
：
00
时所看到的正好颠倒了
.
比
12
：
00
时看到
的两位数中间多了个
0
里
12:00
14:00
10
y
+
x
(10
y
+
x
)
-
(10
x
+
y
)
100
x
+
y
(100
x
+
y
)
-
(10
y
+
x
)
是一个两位数它的两个数字之和为
7
根据以上分析，得方程组
解这个方程组，得
再看导入的问题
解：设爸爸的年龄为
x
，儿子的年龄为
y
，依题意得：
x
+
y
=7
，
(100
x
+
y
)-(10
y
+
x
)=
(
10
y
+
x
)-(10
x
+
y
).
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数
.
已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.
分析：设较大的数为
x
,较小的数为
y
.
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为
_______, 在
较大的两位数的左边写上较小的两
位数
.
100
x
+
y
100
y
+
x
解：设较大的数为
x
,较小的数为
y
，则
{
x
+
y
=
68
,
(100
x
+
y
)-
(100
y
+
x
)
=
2178
.
解该方程组，得
y
=23
.
所以这两个数分别是45和23.
{
x
=
45
,
例 题 详 解
跟踪练习
1.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少?
18
2
．一个两位数的十位数字与个位数字的和为
7
，如果将十位数与个位数字对调后，所得的数比原数小
27
，求原来的两位数
.
解：设原来两位数的十位数字为
x
，个位数字为
y
，根据题意，得
解之得：
答：原来的两位数为
52.
3.
甲、乙两人相距
42
k
m
，如果两人从两地相向而行，
2
小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，
14
小时后乙追上甲，求二人的速度
.
解：设甲的速度为
x
,乙的速度为
y
，则
{
2
x
+
2
y
=42
,
14
y
=
14
x
+42
.
化简，得
{
x
+
y
=21
,
x
-
y
=3
.
解该方程组，得
{
x
=12
,
y
=9
.
所以甲的速度为
12
km/h
,
乙的速度为
9
km/h
.
1.小亮和小明做加法游戏, 小明在第一个加数的后面多写
一个
0, 所得和是242; 小亮在另一个加数的后面多写一个0,
所得
和是341
,
求原来的两个加数分别是多少?
解：设第一个加数为
x
，
第二个加数为
y
.
根据题意得：
y=32
x
=21
10
x
+
y
=242
x
+10
y
=341
当堂检测
解：设甲、乙速度分别为
x
千米/小时，
y
千米/小时，根据题意得：
2.
A
,
B
两地相距36千米，甲从
A
地步行到
B
地，乙从
B
地
步行到
A
地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后
，甲
剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
3.
一个两位数，减去它的各位数字之和的
3
倍，结果是
23
；这个两位数除以它的各位数字之和，商是
5
，余数是
1.
这个两位数是多少？
解：设十位上数字是
x
，个位上的数字是
y
，
依题意得
x
=5
y
=6
4.
汽车在上坡时速度为
28 km/h
，下坡时速度
42 km/h
，从甲地到乙地用了
4
小时
30
分，返回时用了
4
小时
40
分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）
解：设从甲地到乙地上坡路是
x
千米，下坡路是
y
千米
.
依题意得
分析：从
甲地
到
乙地
的
上坡路
和
下坡路
分别是从
乙地
到
甲地
的
下坡路
和
上坡路
.
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴交流．
小 结
列
二元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审
：
设：
列：
解：
答：
审清题目中的等量关系
．
设未知数
．
根据等量关系，列出方程组
．
解方程组，求出未知数
．
检验所求出未知数是否符合题意，写出答案
．
第五章 二元一次方程组
6
二元一次方程与一次函数
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动
.
他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁
.
在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系
.
笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程
.
这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系
.
蜘蛛给笛卡尔什么启示
1.
知识目标
（
1
）初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
（
2
）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
（
3
）掌握二元一次方程组的图象解法．
2.
重点
能正确的写出一次函数的表达式及解法
.
3.
难点
如何正确的找出数量之间的内在联系，及等量关系
.
学 习 目 标
想一想：
2
．点
(0,5), (5,0), (2,3)
在
一次函数
y
=-
x
+5
的图象上吗？
3
．在一次函数
y
=-
x
+
5
的图象上任取一点，它的坐标适合方程
x
+
y
=
5
吗？
4
．以方程
x
+
y
=5
的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数
y
=-
x
+5
的图象相同吗？
5
的解有多少个
?
y
1
．
方程
x
=
+
5
．
二
元一次方程与一次函数有什么联系？
适合
相同
1.
以二元一次方程的解为坐标的点都在
对应
的函数图
象上
;
一次函数的图象上的点的坐标都是
对应
的二元
一次方程的
解
.
（一）二元一次方程与一次函数的图象关系
在一次函数
y
=
kx
+
b
的图象上
点
(
s
,
t
)
x
=
s
y
=
t
二元一次
方程 的解
从形到数
从数到形
每个二元一次方程都可转化为一次函数
归 纳
1
．
解方程组
答案：
2
．上述方程移项变形转化为一次函数
和
.
在
同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象
．
x
+
y
=5
►
y
=5-
x
2
x
-
y
=1
►
y
=2
x
-1
（二）方程组和对应的两条直线的关系
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
第一支：在图象上取两
点
(0,5)
，
(5,0
)
．
第二支：在图象上
取
两点
(0.5,0
)
，
(0,-1)
．
3
．
方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系
(2,3)
答案：
x
+
y
=5
►
y
=5-
x
2
x
-
y
=1
►
y
=2
x
-1
x
=0
y
=5
x
=5
y
=0
x
=0
y
=-1
x
=0.5
y
=0
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
y
=2
x
-1
y
=5-
x
P
(2,3)
x
+
y
=5
2
x
-
y
=1
x
=2
y
=3
解得
(2)
交点坐标
(2,3)
与方程组
的
解有什么关系？
｛
x
+
y
=5
，
2
x
-
y
=1
(1)
在同一直角坐标系中分别作一次函数
y
=5-
x
和
y
=2
x
-1
的图象
,
这两个图象有交点吗
?
在
同一直角坐标系中一次函数
y
=
5
-
x
和
y
=
2
x
-
1
的图象有交点，交点坐标是（
2
，
3
）
.
方程组
的
解是
{
x
+
y
=
5
，
2
x
-
y
=1
{
x
=2
，
y
=3
交点坐标
(2,3)
是方程组
的
解
.
{
x
+
y
=5
,
2
x
-
y
=1
对应关系
二元一次方程组的解
两个一次函数图的交点坐标
两个一次函数
归纳
二元一次方程组的
解
与以这两个方程所对应的一次函数图象的
交点坐标
相
对应
.
由此可得
:
二
元一次方程组的图象解法
.
写函数，作图象，找交点，下结论
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
P
(2,2)
y
=2
x
-2
x
=2
y
=2
所以方程组的解为
:
由（
2
）得
y
=2
x
-2
x
=0
y
=-2
x
=1
y
=0
由此可得
进而作出
y
=2
x
-2
的图象
x
=
0
y
=
1
x
=-2
y
=0
由此可得
解： 由（
1
）得
进而作出
的
图象
x
-2
y
=-2
（
1
）
2
x
-
y
=2
（
2
）
例
1:
用图象法解二元一次方程组
1
、一次函数
y
=5-
x
与
y
=2
x
-1
图象的交点为
(2,3),
则方程组 的解为
.
2
、若二元
一次方程组 的
解为
,
则
函数
与 的
图象的
交点
坐标为
.
（
2
，
2
）
跟踪练习
3.
如图，直线 的交点坐标是
＿ ＿
.
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
(1)
函数
y
=
x
-1
的图象与函数
y
=-
2
x
+
5
的图象的交点坐标是
_______
(3)
如图所示的两条直线
的交点坐标是
_________
(2)
已知直线
y
=2
x
+
k
与直线
y
=
kx
-
2
的交点横坐标为
2
，则
k
的值是
,
交点坐标为
_______
(2,1)
6
(2,10)
y=x+
2
y=-
3
x+
3
(
,
)
挑战自我
1.
方程
x
-
y
=1
有一个解为 则一次 函数
y
=
x
-
1
的图象上有一点为
.
x
=2
，
y
=1.
(2,1)
2.
一次函数
y
=
2
x
-
4
上有一点坐标为
(3,2),
则方程
2
x
-
y
=4
有一个解为
.
当堂检测
x
=3
y
=2
4.
若二元一次方程组
的
解为
，
则
函数
y
=
x
+
2
与
y
=
2
x
-
2
的图象的交点
坐标为
.
x
=4
y
=6
x
-
y
=-2
2
x
-
y
=2
3.
函数
y
=-
x
+
4
和
y
=
2
x
+
1
图象的交点为
(1,3),
则
方程组
的
解为
.
y
+
x
=4
y
-
2
x
=1
x
=1
y
=3
(4,6)
2
x
+
y
=
4
2
x
-
3
y
=
12
5.
用图象法解方程组：
①
②
解：
由①得
:
由②得
:
作出图象：
观察图象得：交点
(3,-2)
∴
方程组
x
=
3
y
=-
2
x
o
y
2
x
+
y
=
4
2
x
-
3
y
=
12
的解为
（
1
）
二元一次方程与一次函数的区别与联系
二元一次方程的解是一次函数上点的坐标
;
一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解
.
（
2
）
二元一次方程组的解法总共学习了哪几种
?
加减法
;
代入法
;
图象法
.
（
3
）
方法归纳
用图象法解二元一次方程
组
优点
:
方法简便
,
形象直观
;
体现了数形结合思想
.
不足
:
一般情况下求出的是近似数
;
要想精确还要用代数方法
,
进行细致计算
.
小 结
第五章 二元一次方程组
7
用二元一次方程组确定一次函数表达式
O
y
x
1
1
求直线 与直线 的交点坐标。你有哪些方法
?
解法思路
l
：
画出图象找出交点，确定交点坐标
注意：
因作图误差可能 有较大差别
，因此交
点的坐标为近似值。
探究
解法思路
2
：
由解方程组，得到交点坐标
．
解这个方程组
的解为
所以
直线
与
的
交点坐标
直线
是（
1,1
）。
注：把形 的问题归结为数的问题解决，便捷准确。
①
②
探究
用
画出图象确定交点坐标的方法，因作图误差可能有较大差别
，因此交点的坐标为近似值，难于精确。所以可以利用数形结合的思想将图形问题转化为代数问题，即解相应的二元一次方程组确定交点的坐标，既简单又精确。而且可以直接利用判断方程组的解得出交点的情况。
小
结
第五章 二元一次方程组
*8
三元一次方程组
1.
经历探索三元一次方程组的解法的过程
;
2.
会解三元一次方程组
;
3.
能利用三元一次方程组解决简单的实际问题
.
学习目标
二元一次方程组的概念
解二元一次方程组的基本思想和方法
共
含有两个未知数，
含有未知数的
项
的次数都是
一
次
,
共含有两个方程
基本思想
是消元，
基本方法
是代入法和加减法。
温故知新
这两个方程组都不是二元一次方程组
.
那么它们与二元一次方程组的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点
:
①
共含有三个未知数
;
②
含未知数的项的次数都是
1.
③
共含有三个方程
.
共
含有
三个
未知数，含有未知数的
项
的次数都是
一
次，并且共含有
三
个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组。
探究新知
三元一次方程组
一元一次方程
二元一次方程组
1.
化“三元”为“二元”
消元
消元
三元一次方程组求法步骤：
2.
化“二元”为“一元”
（也就是消去一个未知数）
总结
如何求解三元一次方程组？
分析：方程组中的方程③ 是关于
x
、
z
的二元一次方程，因此只需把方程① ②中的另一个
未知数
y
消
去，得到的一个新方程中只含有
x
、
z
，
再与方程③ 连立就构成了一个二元一次方程组了。
例
1
：解方程组
①
②
③
用消元法解三元一次方程组，要先观察方程组中未知数的系数情况，然后再决定是用代入法还是用加减法来解
例
1
：解方程组
①
②
③
解： ①＋ ②，得：
2
x
+2
z
=2
即
：
x
+
z
=1 ④
③
＋ ④ 得：
2
x
=5
∴
x
=2.5
把
x
=2.5
代入③，得：
2.5-
z
=4
∴
z
=-1.5
把
x
=2.5
，
z
=-1.5
代入②，得：
2.5-
y
+(-1.5)=0
∴
y
=1
∴
原方程组的解为：
例
2
：解方程组
①
②
③
解：
③
－ ②，得：
x
－
y
＝－
1
④
①
＋ ④ ，得：
2
x
＝
2
∴
x
＝
1
把
x
=1
代入方程①、③ ，分别得：
y
=2
,
z
=3
∴
原方程组的解是
x
＋
y
－
z
＝
6
，
x
－
3
y
＋
2
z
＝
1
，
3
x
＋
2
y
－
z
＝
4.
解三元一次方程组
①
②
③
答案：
跟踪训练
某农场
300
名职工耕种
51 hm
2
土地，计划种植水稻
、
棉花
和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力
人
数
及投入的资金如下表：
农作物品种
每公顷所需劳动力
每公顷投入资金
水稻
4
人
1
万元
棉花
8
人
1
万元
蔬菜
5
人
2
万元
已知农场计划投入
67
万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用？
能 力 提 升
解：设安排
x
hm
2
种水稻、
y
hm
2
种棉花、
z
hm
2
种蔬菜
.
由题意得
答：安排
15 hm
2
种水稻、
20 hm
2
种棉花、
16 hm
2
种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用
.
4
x
+8
y
+5
z
=300
，
x
+
y
+2
z
=67.
x
+
y
+
z
=51
，
x
=15
，
y
=20
，
解得：
z
=16.
1.
三元一次方程组的解法
2.
三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消
元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握
：
小 结
第五章 二元一次方程组
*8
三元一次方程组
1.
经历探索三元一次方程组的解法的过程
;
2.
会解三元一次方程组
;
3.
能利用三元一次方程组解决简单的实际问题
.
学习目标
二元一次方程组的概念
解二元一次方程组的基本思想和方法
共
含有两个未知数，
含有未知数的
项
的次数都是
一
次
,
共含有两个方程
基本思想
是消元，
基本方法
是代入法和加减法。
温故知新
这两个方程组都不是二元一次方程组
.
那么它们与二元一次方程组的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点
:
①
共含有三个未知数
;
②
含未知数的项的次数都是
1.
③
共含有三个方程
.
共
含有
三个
未知数，含有未知数的
项
的次数都是
一
次，并且共含有
三
个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组。
探究新知
三元一次方程组
一元一次方程
二元一次方程组
1.
化“三元”为“二元”
消元
消元
三元一次方程组求法步骤：
2.
化“二元”为“一元”
（也就是消去一个未知数）
总结
如何求解三元一次方程组？
分析：方程组中的方程③ 是关于
x
、
z
的二元一次方程，因此只需把方程① ②中的另一个
未知数
y
消
去，得到的一个新方程中只含有
x
、
z
，
再与方程③ 连立就构成了一个二元一次方程组了。
例
1
：解方程组
①
②
③
用消元法解三元一次方程组，要先观察方程组中未知数的系数情况，然后再决定是用代入法还是用加减法来解
例
1
：解方程组
①
②
③
解： ①＋ ②，得：
2
x
+2
z
=2
即
：
x
+
z
=1 ④
③
＋ ④ 得：
2
x
=5
∴
x
=2.5
把
x
=2.5
代入③，得：
2.5-
z
=4
∴
z
=-1.5
把
x
=2.5
，
z
=-1.5
代入②，得：
2.5-
y
+(-1.5)=0
∴
y
=1
∴
原方程组的解为：
例
2
：解方程组
①
②
③
解：
③
－ ②，得：
x
－
y
＝－
1
④
①
＋ ④ ，得：
2
x
＝
2
∴
x
＝
1
把
x
=1
代入方程①、③ ，分别得：
y
=2
,
z
=3
∴
原方程组的解是
x
＋
y
－
z
＝
6
，
x
－
3
y
＋
2
z
＝
1
，
3
x
＋
2
y
－
z
＝
4.
解三元一次方程组
①
②
③
答案：
跟踪训练
某农场
300
名职工耕种
51 hm
2
土地，计划种植水稻
、
棉花
和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力
人
数
及投入的资金如下表：
农作物品种
每公顷所需劳动力
每公顷投入资金
水稻
4
人
1
万元
棉花
8
人
1
万元
蔬菜
5
人
2
万元
已知农场计划投入
67
万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用？
能 力 提 升
解：设安排
x
hm
2
种水稻、
y
hm
2
种棉花、
z
hm
2
种蔬菜
.
由题意得
答：安排
15 hm
2
种水稻、
20 hm
2
种棉花、
16 hm
2
种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用
.
4
x
+8
y
+5
z
=300
，
x
+
y
+2
z
=67.
x
+
y
+
z
=51
，
x
=15
，
y
=20
，
解得：
z
=16.
1.
三元一次方程组的解法
2.
三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消
元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握
：
小 结
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