资料简介
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
5x-15=0
认识一元二次方程
相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点：
一元二次
方程要素
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?
(⑴)x2 + -3=0
(2)x3-x+4=0
(3) x2 -2y-3=0
(4) –5y2 ＋3y +1=0
(5) 2x2=0
(6)4x2＋3x-2=(2x-1)2
x2
1
(不是)
(不是)
(不是)
( 是 )
( 是 )
(不是 )
为什么第6
小题不是呢?
4x2＋3x －2=(2x-1)2
你是怎么解这题的?
4x2＋3x －2=4x2-4x+1(完全平方公式)
4x2—4x2＋3x +4x=1+2 (移项)
(合并同类项)7x =3
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须
先将方程化为一般形式。
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并
写出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
解: 去括号，得3x2-3x=2x-4-4
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8
已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0,它是一元二
次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义,
只需m +1≠0
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么
感想？
1. 一元二次方程的定义
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
开心练一练：
(1) 19 2 x (2) 2)2( 2 x
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
1、用直接开平方法解下列方程:
静心想一想：
(1)
(2)
2442 xx
936122 xx
(3) 01562 xx
能否把(3)转化成
(x+b)2=a(a≥0)
的形式呢?
(1)
(2)
(3)
xx 62 =( + )2x
xx 42 =( )2x
xx 82 =( )2x
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
右边:所填常数等于一次项系数的一半.
23 3
22 2
24 4
2
p
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
大胆试一试：
共同点：
( )2
2
p
=( )2x(4) pxx2
观察(1)(2)看所填的
常数与一次项系数之
间有什么关系?
(1)(2)的结论适合
于(3)吗?
适用于(4)吗?
现在你会解方程 吗?01562 xx
把常数项移到方程右边得：
1562 xx
两边同加上 得： 23 222 31536 xx
即 24)3( 2 x
两边直接开平方得： 623 x
6232 x
解:
∴原方程的解为 ,6231 x
如何配方?
例1: 用配方法解方程
0762 xx
解:
配方得：
开平方得：
762 xx
3736 222 xx
43 x
16)3( 2 x即
7 , 1 21 xx
移项得：
∴原方程的解为：
一次项系数
变为负又如
何配方呢?
例2: 你能用配方法解方程 吗？ 062 2 xx
解:
配方得：
开平方得：
32
12 xx
)4
1(3)4
1(2
1 222 xx
4
7
4
1 x
16
49)4
1( 2 x即
2
3 , 2 21 xx
032
12 xx
移项得：
∴原方程的解为：
化二次项系数为1得：
1、用配方法解下列方程:
2、用配方法将下列式子化a(x+h)2+k的形式。
(1)x2+8x-15=0
(2)x2-5x-6=0
(3)2x2-5x-6=0
(4) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0)
(3) -3x2-2x+1
(2) x2-x+1 (1) y2+y-2
（2）移项
（3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的步骤：
1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平
方求出方程的解的方法。
(1)化二次项系数为1
小结
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
公式法是这样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
w1.化1:把二次项系数化为1;
w3.配方:方程两边都加上一次项
系数绝对值一半的平方;
w4.变形:方程左分解因式,右边
合并同类;
w5.开方:根据平方根意义,方程
两边开平方;
w6.求解:解一元一次方程;
w7.定解:写出原方程的解.
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w老师提示用公式法解一元二次方程的前提是:
w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
w2.b2-4ac≥0.
当
时，方程有实
数根吗？
w 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
w1.变形:化已知方
程为一般形式;
w3.计算: b2-4ac
的值;
w4.代入:把有关数
值代入公式计算;
w5.定根:写出原方
程的根.
w2.确定系数:用a,
b,c写出各项系数;
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
即 x1= - 3 x2=
求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0)
解：a= ，b= ，c = . b2-
4ac= = .
x= = = .
即 x1= , x2= .
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0
2 1 -6
12-4×2×(-6) 49
-2
求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0)
22
491
4
71
2
3
a= ，b= ，c = .
b2-4ac= = .
x= = = .
即 x1= , x2= .
例3：用公式法解方程
x2+4x=2
1 4 -2
42-4×1×(-2) 24
12
244
2
624
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、
c的值是什么？
62 62
3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
xx 3232
解： 03322 xx原方程化为：
031432 2 acb 42
3,32,1 cba
32
32
12
032
x
021 xx
042 acb
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互
为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两
个相等的实数解
02 cbxax
0a解：一元二次方程 02 cbxax 的解为：
a
acbbxa
acbbx 2
4,2
4 2
2
2
1
21 xx
a
acbb
a
acbb
2
4
2
4 22
a
b
a
b
22
0b
0a
ccba ,7,2
02474 22 cacb又
8
49,498 cc 即
4
7
22
7
221
a
bxx
已知方程 ,04,072 22 acbcxx 求c和x的值.
小结
042 acb
042 acb
acb 42
第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
教
学
目
标
1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树
立转化的思想。
重
点
难
点
重点：用因式分解法解一元二次方程
难点：正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示
两个因式）
自
学
检
测
题
1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？
3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么?
4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般
形式吗？
因式分解主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
因式分解法
解方程:4x2=9
解：移项，得 04
92 x
利用平方差公式分解因式，得 0)2
3)(2
3( xx
可得 .02
302
3 xx 或
.2
3,2
3
21 xx所以，原方程的根是
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法
叫做因式分解法。它的基本步骤是：
(1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
(2)将方程的左边分解因式；
(3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解
两个一元一次方程。
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 ；
（2）x2－25=0的根是 。
x1=0,x2=-1
x1=5,x2=-5
例1 解下列一元二次方程：
(3x－4)2=(4x－3)2.
解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,
即 (7x-7) (-x-1)=0.
∴7x-7=0,或 -x-1=0.
∴x1=1, x2=-1
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
094
x 2
(5)
用因式分解法解下列方程：
练
一
练
1.解方程 x2－2√3x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出
这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解
成两个一次因式的积时，则用因式分解法解
方程比较方便.
练
一
练
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程。
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例1这样的，移
项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化
成一般式再因式分解.
课堂小结
第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
a
acbb
2
42 (b2-4ac≥ 0)
一元二次方程根与系数的关系
1. 填表，观察、猜想
方程 x1, x2 x1+
x2
x1. x2
x2-
2x+1=0
1,1 2 1
x2+3x-
10=0
2,-5 -3 -10
x2+5x+4=0 -1,-4 -5 4问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。
2 0px qx 如果关于x的方程
的两根是 , ,则:x 1 x2
根与系数的关系
如果方程二次项系数不为1呢?
方 程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律
。
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= - , x1x2=
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。
第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改
进。
他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过
律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对
西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达
还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使
用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了
代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根
的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关
系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系
的结论称为“韦达定理”）。
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明：
a
acbbx 2
42
1
a
acbbx 2
42
2
X1+x2= a
acbb
2
42
a
acbb
2
42
+ = a
b
2
2
= -
X1x2=
a
acbb
2
42
a
acbb
2
42 ● = 24
2)42(2)(
a
acbb
= 24
4
a
ac
=
例 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的
另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为
x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数关系，得2x1＝3k 即 2 x1 ＝－6
∴ x1 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
练习
已知关于x的方程 012)1(2 mxmx
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
练习
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是 。
2和-1
解法(一):设两数分别为x , y则: 1 yx
2 yx{
解得: x=2
y=－1{ 或 ｘ＝－1
y=2{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两
根则: 022 aa
求得 1,2 21 aa ∴两数为2,－１
已知两个数的和与积，求两数
拓展：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
0)1(44 2 mmm△=
01
21
m
mxx
即 m>0
m-1
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