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北师大版九年级数学上册第四章图形的相似

2021-04-25
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第四章图形的相似 4.1 成比例线段四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b = c：d ，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段 . 成比例线段已知四条线段 a、b、c、d ，如果或 a ： b=c ： d ，那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c 的第四比例项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段，或 a ： b = b ： c ，即那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项 . 两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关于成比例的数具有下面的性质. 比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质： (1)比例的基本性质如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad = bc，那么 a ： b = c ： d . 如果 a：b = b ： c ，那么 b 2 = a c. 说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立 (比值变了). (2)合比性质如果 , 那么 . (3)等比性质如果 , 那么 (b+d+…+n≠0 ) . 本课小结：主要内容：成比例线段的意义，比例的3个主要性质及其应用. 能力要求：通过本课的学习，形成比例变形的能力，要做一定量的习题，达到熟练. 第四章图形的相似 4.2 平行线分线段成比例情境引入你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是 2:3 ？ 4.2 平行线分线段成比例将向下平移到如图的位置，直线 m , n 与的交点分别为，，问题 2 中的结论还成立吗？计算试一试。如果将平移到其他位置呢？ a b c A B C D E F 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3 4 x 7 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，你能求出 x 的值吗 ? 解：由已知条件可得：如图 4-8 ，直线 a ∥ b ∥ c ，分别交直线 m , n 于 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 1 ， B 2 ， B 3 。过点 A 1 作直线 n 的平行线，分别交直线 b ， c 于点 C 2 ， C 3 。如图 4-9 ，图 4-9 中有哪些成比例线段？推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 A B C D E ∵ DE ∥ AB 例 1 、如图，在△ ABC 中， E 、 F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF∥BC, （ 1 ） . 如果 AE = 7, FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？（ 2 ） . 如果 AB = 10, AE=6 ， AF = 5 ，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取这些知识的？１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实．２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，得到一个推论．３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法．如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3? A B C E D F 第四章图形的相似 4.3 相似多边形我们在生活中，常会看到这样一些的图片观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？ (1) (2) (3) (5) (4) (6) 4.3 相似多边形下列每组图形形状相同吗？（ 1 ）正三角形 ABC 与正三角形（ 2 ）正方形 ABCD 与正方形（ 3 ）正五边形 ABCDE 与正五边形想一想：（ 1 ）在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．（ 2 ）在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形 ABCDEF 和投射到银幕上的多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ，它们的形状相同吗 ? 想一想：（ 1 ）在这两个多边形中，是否有对应相等内角？设法验证你的猜测．（ 2 ）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？强调说明：在上图中，六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是形状相同的多边形，其中∠ A 与∠ A 1 ，∠ B 与∠ B 1 ，∠ C 与∠ C 1 ，∠ D 与∠ D 1 ，∠ E 与∠ E 1 ，∠ F 与∠ F 1 ，分别相等，称为对应角； AB 与 A 1 B 1 ， BC 与 B 1 C 1 ， CD 与 C 1 D 1 ， DE 与 D 1 E 1 ， EF 与 E 1 F 1 ， FA 与 F 1 A 1 的比都相等，称为对应边．归纳总结，形成概念相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（ Similar polygons ） . 例如，在上图中六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 相似，记作六边形 ABCDEF ∽ 六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ， “ ∽ ” 读作“ 相似于 ”．相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比（ Similarity ratio ） . 强调说明： (1) 在记两个多边形相似时，要把对应顶点字母写在对应的位置上 . ( 2) 相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质 . (3) 相似比有顺序性 . 例如，五边形 ABCDE ∽ 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ，对应边的比为因此五边形 ABCDE 与五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 的相似比五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 与五边形 ABCDE 的相似比 (4) 相似比为 1 的两个图形是全等形 . 因此全等形是相似图形特殊情况 . (1) 观察下面两组图形，图（ 1 ）中的两个图形相似吗？图（ 2 ）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么启发？与同桌交流 . (2) 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？提出问题：一块长 3m 、宽 1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框 7.5cm. 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？解 :∵ 四边形 ABCD 与矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 均为矩形 ∴∠ A =∠ A 1 ，∠ B =∠ B 1 ，∠ C =∠ C 1 ，∠ D =∠ D 1 ，由题意得 AB =315 ， BC =165 ∴ ∴ ≠ ∴ 矩形 ABCD 和矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 不相似 . 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．通过本节课的学习，同学们经历从特殊到一般探究过程，认识到全等图形是相似比于 1 的相似图形，相似图形是全等图形的进一步的推广，理解了相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角．体会了相似比是有顺序要求． 1 ．一个多边形的边长分别是 2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，另一个和它相似的多边形的最短边长为 6 ，则这个多边形的最长边为． 2 ．下列说法中正确的是（） A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的正多边形都相似 18 B 练习第四章图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件相似三角形的相关概念三个角对应相等 , 三条边对应成比例的两个三角形 , 叫做相似三角形 (similar trianglec ). 相似三角形的各对应角相等 , 各对应边对应成比例 . 相似比等于 1 的两个三角形全等 . 注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 . 反之 , 写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！由于相似三角形与其位置无关 , 因此 , 能否弄清对应是正确解答的前提和关键 . 判定三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 类比三角形全等的判定方法 : 边角边 (SAS); 角边角 (ASA); 角角边 (AAS); 边边边 (SSS); 斜边直角边 (HL). 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗 ? 相似与全等类比 — 新化旧由角边角 (ASA) 、角角边 (AAS) 可知 , 有两个角对应相等的两个三角形相似 ; 由边边边 (SSS) 可知 : 有三边对应成比例的两个三角形相似 ; 由边角边 (SAS) 可猜想 : 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 ; 由斜边直角边 (HL) 可猜想 : 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 我们已经把前两个猜想变为现实 , 剩余的还有问题吗？问题三 : 如果 △ ABC 与 △ A′B′C′ 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (1) 如果这个角是这两边的夹角 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △A′B′C′ 使 ∠A=∠A ′, 和都等于给定的值 k （如） . 设法比较 ∠B 与 ∠B′ 的大小 ,∠C 与 ∠C′ 的大小 . △ ABC 与 △A′B′C′ 相似吗 ? 说说你的理由 . 改变 k 值的大小 ( 如 1∶3), 再试一试 . 通过上面的活动 , 你猜出了什么结论 ? 判定三角形相似的方法两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 如图 , 在 △ ABC 与 △A′B′C′ 中 , 如果那么 △ ABC∽△A′B′C ′ ( 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法 , 但使用频率不是很高 , 务必引起重视 . 且 ∠A=∠A′, 图中 △ ABC∽△A′B′C′, 你还能用其它方法来说明其正确性吗 ? 且∠A=∠A′=450, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.) C B A A ′ B ′ C ′ 解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得: 问题四 : 在 Rt△ABC 与 Rt △ A′B′C′ 中 , ∠C= ∠C′=90 0 , 如果有一直角边和斜边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △ A′B′C′, 使和都等于给定的值 k （如） . 设法比较∠B 与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小.Rt△ABC与Rt△ A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1∶3 ),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 如图 , 在 Rt△ABC 与 Rt △A′B′C′ 中 , 如果那么 △ABC∽△A′B′C′, ( 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法 , 务必引起重视 . 我们重新来看问题三 : 如果 △ ABC 与 △ DEF 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (2). 如果这个角是这两边中一条边的对角 , 那么它们一定相似吗 ? 小明和小颖分别画出了下面的 △ ABC 与 △ DEF : 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。 A B C 50 0 3.2cm 4cm 2cm D F E 50 0 1.6cm 判定三角形相似的常用方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 . 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 相似三角形的各对应角相等 , 各对应边对应成比例 . 相似三角形对应高的比 , 对应角平分线的比 , 对应中线的比 , 对应周长的比都等于相似比 . 如图 : 在 △ ABC 和 △ DEF 中，如果 ∠A=∠D ,∠ B=∠E, 那么 △ ABC∽ △DEF. A B C D E F 那么△ ABC∽ △DEF. 且 ∠A=∠D ，那么 △ ABC∽ △DEF. 黄金分割与人体的关系量量人的身高，从脚底往上， 0.618 处正好是在肚脐附近 . 画家们绘画时依照黄金比例勾勒出的脸谱 . 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, 如果，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 ,AC 与 AB 的比叫做黄金比 . 黄金分割如何找出黄金分割点如图 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1.经过点B作BD⊥AB,使 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 4.C点就是AB的黄金分割点 . AB D E C 一条线段有几个黄金分割点？两个黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学等许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金分割的美吧！黄金螺线蜗牛的外壳呈黄金螺线形。树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例在现在生活中，黄金比例也一直被使用着，例如国旗、明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近黃金比，据统计黄金比也是被使用最多的比例 . 东方明珠塔，塔高 462.85 米 . 设计师将在 295 米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618. 通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？ ? 本课小结第四章图形的相似 *4.5 相似三角形判定定理的证明两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。定义判定相似三角形判定定理的证明定理两角分别相等的两个三角形相似 A B C A ’ B ’ C ’ 已知：如图，在 △ ABC 和 △ A ’ B ’ C ’ 中， ∠ A=∠ A ’ , ∠B= ∠B ’ . 求证： △ ABC ∽△A ’ B ’ C ’ . 证明：在 △ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD=A ’ B ’ , 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E （如图），则 ∠ ADE=∠ B, ∠AED= ∠C （平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）过点D作AC的平行线，交BC于点F,则（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例） ∵ DE∥BC,DF ∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形 ∴DE=CF 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A=∠ A’, ∠ADE=∠B=∠ B’,AD=A’B’ ∴△ADE≌△ A’B’C’ ∴△ABC∽△ A’B’C’ 定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知：如图，在△ ABC 和△ A / B / C / 中， ∠ A=∠A / , 求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图），则 ∠B=∠ADE, ∠C=∠AED ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） ∴AE=A’C’ 而∠A=∠A ’ ∴△ADE≌△A’B’C’ ∴△ABC∽△A’B’C’ 定理三边成比例的两个三角形相似已知：如图，在△ ABC 和△ A / B / C / 中，求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/,连接DE. 而∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴DE=B ’ C ’ ∴△ADE≌△A ’ B ’ C ’ ∴△ABC∽△A ’ B ’ C ’ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？第四章图形的相似 4.6 利用相似三角形测高利用相似三角形测高课题：同学们 , 怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆 ( 或路灯 , 或树 , 或烟囱 ) 的高度 ? 活动方式：全班同学分成六人小组 , 选出组长 , 分头进行户外实际测量 , 被测物不一定是旗杆 . 如楼房 , 树 , 电线杆等 . 先集中讨论方案 , 再分散实际操作 , 最后集中总结交流 . A B C D E F 方法 1: 利用阳光下的影子 A C B E F 方法 2: 利用标杆 E C B D A 方法 3: 利用镜子如图 ,A 、 B 两点分别位于一个池塘的两端 , 小芳想用绳子测量 A 、 B 两点之间的距离 , 但绳子的长度不够 , 一位同学帮她想了一个主意 , 先在地上取一个可以直接到达 A 、 B 点的点 C, 找到 AC 、 BC 的中点 D 、 E, 并且 DE 的长为 5m, 则 A 、 B 两点的距离是多少？ C B A E D 一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程 . 请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高 . 用较简单的方法测量河坡电场烟囱的高度 . 课外完成 , 写出实践报告 . 第四章图形的相似 4.7 相似三角形的性质相似三角形的识别问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应角相等证三组对应边成比例证二组对应边成比例，且夹角相等相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例问：什么是相似比？相似比=对应边的比值= 如右图，△ A B C ∽△A′B′C′ A B C A ’ B ’ C ’ D D ’ 已知： Δ ABC∽ Δ A’ B’ C, ’ 相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。想一想相似三角形对应边上的高有什么关系呢？归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。 A′ B′ C′ D′ △ A D C ∽△A′D′C′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得 △A′B′C′，并作出 B′C′ 边上的高 A′ D′ 。 △ A B C 与△ A′B′C′ 的相似比为多少？ AD 与 A′ D′ 有什么关系？右图△ A B C ， AD 为 BC 边上的高。 D A B C (2)如右图两个相似三角形相似比为 k，则对应边上的高有什么关系呢？__________ 说说你判断的理由是什么？___________ 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？如图△ A B C ， AF 为 ∠ A 的角平分线。则:(1)把三角形扩大2倍后得 △A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′ 的角平分线， △ A B C 与△ A′B′C′ 的相似比为多少？ AF 与 A′ F′ 比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ 归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。 (2)如右图两个相似三角形相似比为 k，则对应角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？ ______ _____ △ A F C ∽△A′F′C′ 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？如右图△ A B C ， AE 为 BC 边上的中线。则:(1)把三角形扩大2倍后得 △A′B′C′，A′ E′ 为 B′C′ 边上的中线。 △ A B C 与△ A′B′C′ 的相似比为多少？ AE 与 A′ E′ 比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ 归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。 (2)如右图两个相似三角形相似比为 k，则对应边上的中线的比是多少？说说你判断的理由是什么？ _____ ______ △ A E C ∽△A′E′C′ 课堂练习 : 填空：（ 1 ）两个三角形的对应边的比为 3:4 ，则这两个三角形的对应角平分线的比为 _____ ，对应边上的高的比为 ____ ，对应边上的中线的比为 ____ (2) 相似三角形对应角平分线比为 0.2, 则相似比为 _______, 对应中线的比等于 ______; 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 . 3、在 Δ ABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD= ∠ B，且AC=2AD.则 Δ ACD ∽ Δ ______.它们的相似比K =_______, A B C E D S B C R E D A 例1,如图， AD 是△ABC的高AD=h，点R在AC边上,SR⊥AD垂足为 E,当SR= BC时，求DE的长。如果SR= BC 呢？解： ∵SR⊥AD， BC⊥AD ∴ 即 ∴ ∴SR//BC ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C Δ ASR∽ Δ ABC 当SR= BC时，当SR= BC时， 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线, 求BD的长？小试牛刀 2 、△ ABC∽△A ′ B′C′ ， AD 和 A′D′ 是它们的对应角平分线，已知 AD ＝ 8cm ， A ′ D ′ ＝ 3cm ，求△ ABC 和△ A′B′C′ 对应高的比 . 你会应用吗？ 3、△ ABC∽△A ′ B′C′ ， BD 和 B′D′ 是它们的对应中线，已知， B′D′=4cm ，求 BD 的长 . 解：∵ △ ABC∽△A ′ B′C′ ，　　　 BD 和 B′D′ 是它们的对应中线　　　 ∴ （相似三角形对应中线的比都等于相似比） ∴ BD=6 ∴ 4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片 XY 宽 35mm ，焦距是 50mm ，能拍摄 5m 外的景物有多宽？拓广应用空间：　 35mm 50mm 5m X Y A B L 相似三角形的周长有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的周长比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的周长比＝________________. 2:1 2:1 3:1 3:1 从上面可以看出当相似比＝ k 时，周长比＝ ______ k 相似三角形的面积有什么关系呢？ 2:1 归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝____________，（2）与（1）的面积比＝____________; （3）与（1）的相似比＝____________，（3）与（1）的面积比＝____________. 4:1 3:1 9:1 从上面可以看出当相似比＝ k 时，面积比= ______ . k 2 4×4 正方形网格看一看： Δ ABC与 Δ A’B’C’有什么关系？为什么？相似 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A ’ C’ B’ 算一算： Δ ABC与 Δ A’B’C’的相似比是多少？ Δ ABC与 Δ A’B’C’的周长比是多少? 面积比是多少？想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ √2 2 √2 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。 2 4 100 100 10000 1 9 1 3 1 3 2 ．．．．．．．．． D B C 例2：如图将 Δ ABC沿BC方向平移得到△DEF。△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半已知BC=2，求△ABC平移的距离。 A E F G △GEC∽△ ABC 解：根据题意，EG//AB ∠GEC=∠B,∠EGC=∠A ∴ ∴ ∴ 即△ABC平移的距离为2- B A C D E 如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, Δ ABC的周长为80m，面积为100m 2 ,求 Δ ADE的周长和面积 . 30m 18m 1 、在△ ABC 中， DEBC ， E 、 D 分别在 AC 、 AB 上， EC=2AE ，则 S △ADE ： S △ABC 的比为 ______ 练习 2 、如图，在△ ABC 中， DEFGBC ， AD=DF=FB ，则Ｓ △ ADE : Ｓ四边形 DFGE : Ｓ四边形 FBCG =____ A B C D E S △ADE ： S 四边形 DBCE 的比为 ______ 1/9 1/8 1、把一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的_______倍；如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_____倍。课堂练习 10000 10 2、已知△ ABC∽ △ A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。（1）若△ ABC 的周长为24 cm，则△ A′B′C′ 的周长为 cm；（2）若△ ABC 的面积为32 cm 2 ，则△ A′B′C′ 的面积为 cm 2 。 18 18 课堂练习 3、已知，在△ A B C 中， DE||BC, DE:BC=3:5 则：(1) AD:DB= . (2)△ ADE 的面积:梯形 DECB 的面积 = . (3)△ ABC 的面积为25，则 △ADE 的面积= . 3:2 9:16 9 4、如图，已知 DE∥BC，BD=3AD，S △ ABC =48，求：△ ADE 的面积。课堂练习解：因为 DE∥BC 所以 ∠ ADE=∠ABC, ∠ AED= ∠ ACB 所以△ A DE ∽△ABC 又因为 BD=3AD 可得相似比 k=AD:AB=1:2 所以 S △ ADE =1/4 S △ ABC = 12 小结相似三角形的性质对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的平方（你学到了什么呢？）第四章图形的相似 4.8 图形的位似观察下列图形的特点 A B C D P 特征 : (1) 是相似图形 (2) 每组对应点所在的直线都经过同一个点如果两个多边形是每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心。实际上， K 就是这两个相似多边形的相似比。基本概念 : 下列图形中，每个图中的四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D ′ 都是相似图形 . 分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？图中每组中的两个多边形也是位似多边形。应用位似图形概念作图例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似，且相似比为2. 解：1、画射线OA,OB,OC. 2、在射线OA，OB,OC上取点 D,E,F使OD=2OA,OE=2OB, OF=2OC 3.顺次连接D、E、F 则△DEF与△ABC位似，相似比为2 用橡皮筋放大图形的方法放大图形,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大,使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2吗? 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？（ 1 ）五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ ；（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ 做一做如图，请以坐标原点 O 为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大 3 倍 . 分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心 O 和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的 3 倍，就得到所求作图形的各个顶点练一练　　 1 ．如图，已知△ ABC 和点 O. 以 O 为位似中心，求作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边长缩小到原来的一半 . 今天你学会了什么？位似图形的定义，位似图形的性质 . 小结查看更多

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似

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