资料简介
巧求体积
对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理
的方法加以求解。现结合实例说明如下：
1.公式法
公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。
例 1.圆锥的母线长为 1,侧面展开图的圆心角为 240 ,该圆锥的体积是多少?
解:设圆锥的底面半径为 r,圆锥母线长为 1，又圆锥侧面展开图的圆心角为 240 ，
3
2,2180
1240 rr 。
所以圆锥的高
3
5
3
21
2
h ,
81
54
3
5
3
2
3
1
3
1 2
2
hrV圆锥 .
变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且
侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．
解：如右图所示，在三棱台 ABCA′B′C′中，O′，O 分别为上、下底面的中心，D，D′分别是 BC，B′C′
的中心，则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高，
所以 S 侧＝3×1
2
×(20＋30)×DD′＝75DD′.又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上
＋S 下＝ 3
4
×(202＋302)＝325 3(cm2)．由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，
所以 DD′＝13
3 3(cm)．又∵O′D′＝ 3
6
×20＝10 3
3 (cm)，OD＝ 3
6
×30＝5 3(cm)，
∴棱台的高 h＝O′O＝ D′D2－OD－O′D′2＝
13 3
3 2－ 5 3－10 3
3 2
＝4 3(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝h
3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)
＝4 3
3
×(325 3＋ 3
4
×20×30)＝1 900(cm3)．
2.作差法
作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。
例 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BD 是它的对角线，弧 BD 的圆心是 A，半径为 AB，将正方形 ABCD
以 AB 边为轴旋转一周，求图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积。
分析：图中 I 旋转而成的几何体是圆锥，II 部分旋转而成的几何体是一个不规则几何体，它的体积无法直接
求得，但 I 和 II 旋转而成的几何体是一个半球，所以可用半球体积减圆锥体积求 II 部分旋转而成的几何体
的体积；III 部分旋转而成的几何体也不规则，也可通过上述方法求得。
解：图中 I 和 II 以 AB 边为轴旋转而成的几何体是一个半球，正方形 ABCD（即 I、II、III）以 AB 为轴旋转
而成的几何体是一个圆柱。设图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积分别为 1V 、 2V 、 3V ，则
3 3 3
2 3
1 2
1 1 4, ,3 3 2 3 3 3
a a aV a a V a 2
3V a a
3
31 4 .2 3 3
aa 故图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积均为
3
3
a 。
变式. 如图(单位：cm)，求下图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S 半球＝8π，S 圆台侧＝35π，
S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为 68π cm2.
由 V 圆台＝1
3
×[π×22＋ π×22×π×52＋π×52]×4＝52π，V 半球＝4
3π×23×1
2
＝16
3 π，
所以，所求几何体的体积为 V 圆台－V 半球＝52π－16
3 π＝140
3 π(cm3)．
3.割补法
割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的
体积。
例 3.已知三棱锥 ABCD 的表面积为 S,其内有半径为 r 的内切球 O（球 O 与三棱锥 ABCD 的每个面都相切，
即球心 O 到三棱锥 ABCD 每个面的距离都为 r），求三棱锥 ABCD 的体积。
解：连接 AO、BO、CO、DO，则三棱锥 ABCD 被分割成为四个小三棱锥:OABC:、OABD、
:OACD、:OBCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为 O,高为 r,底面分别为⊿ABC、⊿ABD、⊿ACD、⊿BCD.
故有 A BCD O ABC O ABD O ACD O BCDV V V V V 1 1
3 3ABC ABDS r S r
1 1
3 3ACD BCDS r S r 1 1
3 3ABC ABD ACD BCDS S S S r Sr 。
点评：在此例中，若将三棱锥 ABCD 改为其他棱锥或棱柱、棱台，只要存在内切球，那么就有与本例类
似的结论。
变式.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，⊿ADE、⊿BCF 均为正三角形，EF
∥AB, 2EF ,则该多面体的体积为（ ）
A. 2
3
B. 3
3
C. 4
3
D. 3
2
分析：该几何体不是规则的几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体。
解：如图，过 A、B 分别作 AG、BH 垂直于 EF，垂足分别为 G、H，连接 DG、CH,可证得 DG⊥EF,CH⊥EF,
多面体 ABCDEF 分为三部分，多面体 ABCDEF 的体积 ABCDEF ADG BCHV V
E ADG F BCHV V . 1 3, 1,2 2HF BF BH . 作 HM 垂 直 BC 于 M ， 则 M 为 BC 的 中 点 ， 则
2
2HM , 1 2 .2 4BCHS BC HM
1 2
3 24F BCH BCHV S HF .
2
24E ADG F BCHV V , 2 ,4ADG BCH BCHV S GH
2
3ABCDEFV .答案为 A。
4．等积变换法
等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原
几何体的体积。
例 4.如图正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 a，过顶点 B、D、 1A 截下一个三棱锥。
⑴求此三棱锥的体积；
⑵以 1BDA 为底面时，求此三棱锥的高。
D1 C1
B1A1
D
C
BA
分析：计算三棱锥 1A A BD 的体积，若以 A 为顶点，⊿ 1A BD 为底面，则高不好求。若以 1A 为顶点，⊿ ABD
为底面，则好求。
解:⑴以⊿ABD 为底面, 1AA 就是高,所以 32
6
1
2
1
3
1 aaaV .
⑵若以⊿BD 1A 为底面,设高为 h,则 hahahSV BDA
22
6
324
3
3
1
3
1
1
，
32
6
1
6
3 aha ，解得 ah 3
3 .
点评：经常有等体积法求点到面的距离，它类似于等面积法求点到线的距离。
变式.如右图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF
的体积为________．
解析：1
6 1 1
21 1 11 13 2 6D EDF EDDV V 三棱锥 三棱锥F .
求体积的方法灵活多样，在学习过程中，我们应该注意多归纳整理！
小试牛刀
1.圆台上、下底面面积分别是 、 4 ，侧面积是 6 ，这个圆台的体积是（ ）
A. 2 3
3
B. 2 3 C. 7 3
6
D. 7 3
3
1. D. ∵圆台上、下底面面积分别是 、 4 ，∴上、下底面半径分别是 1/和 2.
1 2 6 , 2l l 。 222 2 1 3h ， 2 21 7 3
3 3V R Rr r h 。
2．如图所示，已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1 ⊥ 底 面
ABC，则三棱锥 B1－ABC1 的体积为( )．
A. 3
12 B. 3
4 C. 6
12 D. 6
4
2. A 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积， 三 棱 锥 A －
B1BC1 的高为 3
2
，底面积为1
2
，故其体积为1
3
×1
2
× 3
2
＝ 3
12
3.直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，各侧棱和底面的边长均为 a ，点 D 是 1CC 上任
意一点，
连接 1 1, , ,A B BD A D AD ，则三棱锥 1A A BD 的体积为（ ）
A 3
6
1 a B 3
12
3 a C 3
6
3 a D 3
12
1 a
3.B 1 1
2 21 1 3 3
3 3 2 2 12A A BD D A BA
a a aV V Sh
4.若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为______.
4. 2
3
可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为 1 的正方形)等高(高为 2
2
)的正四棱锥，其体积为
V＝2×1
3
×1×1× 2
2
＝ 2
3
.
5.如图，在四边形 ABCD 中， 90DAB ， 135ADC ， 5AB ， 2 2CD ， 2AD ， 5BC ，
求四边形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.
5..解：由已知易得 ,2 ECDE 台下底台侧锥侧表面积 SSSS
2π 2 2 2 π (2 5) 5 π 5 (4 2 60)π .
1 1 148π4 (4π 10π 25π) 4π 23 3 3V V V 体 锥台 .
6．如图所示，有一块扇形铁皮 OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环 ABCD，作圆台形容
器的侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积．
6.解：
(1) 设圆台上、下底面半径分别为 r、R，AD＝x，则 OD＝72－x，由题意得
60 72 122 = ,180 3672 3
RR
xx R
，即 AD 应取 36.
⑵ 2 = = 36, 63 3r OD r cm .
圆台的高 2 22 236 12 6 6 35h x R r 。
2 2 2 2 21 1 6 35 12 12 6 6 504 353 3V h R Rr r cm 。
7.一直三棱柱高为 6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，将该棱柱削成圆柱，求削去部分体
积的最小值．
7．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分
体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R，圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，
AC＝5，∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2R＝5，∴R＝1.∴V 圆柱＝πR2·h
＝6π.而三棱柱的体积为 V 三棱柱＝1
2
×3×4×6＝36，∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm3)，即削去
部分的体积的最小值为
6(6－π) cm3.
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