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帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题
立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下：
一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长
例 1.长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积
为( )
A. 7
2
π B.56π C.14π D.64π
分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。
解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c，则
ab 2
bc 3
ac 6
，得
a 2
b 1 ,
c 3
令球的半径为 R，则 20 2 2 3 2
1
7=45 2 2 1 3 14, = 2B AB R R 。
2 2=4 =4 14S R R 球 。
变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是 12π，那么这个正方体的体积是
( )
A. 3 B．4 3 C．8 D．24
解析： C 设球的半径为 R，则 4πR2＝12π，从而 R＝ 3，所以正方体的体对角线为 2 3，故正方体的
棱长为 2，体积为 23＝8，故选 C.
二、有些三棱锥可以补体为长方体
1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球
例 2．已知三棱锥 PABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝ 5，AB＝BC＝1，则三棱锥 PABC 的
外接球的表面积为( )
A．12π B．6π
C．24π D.4 6π
3
解析：答案为 B
如图，∵PB⊥平面 ABC，∴PB⊥AB，∵AB＝1，PA＝ 5，∴PB＝2，
又 AB⊥BC，把三棱锥 PABC 补形为长方体，则长方体对角线长为 22＋12＋12＝ 6，
则三棱锥 PABC 外接球的半径为 6
2
，
∴三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4π×
6
2
2
＝6π.故选 B.
变式．球面上有 , , ,A B C D 四个点，若 , ,AB AC AD 两两垂直，且 4AB AC AD ，则该球的表面积
为（ ）
A． 80
3
B． 32 C． 42 D． 48
解析：D 由题意可知，该球是一个棱长为 4 的正方体的外接球，
设球的半径为 R ，由题意可得： 2 2 2 22 4 4 4R ,
据此可得： 2 12R ，外接球的表面积为： 24 4 12 48S R .
2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球
例 3．在三棱锥 S ABC 中， 41SA BC ， 5SB AC ， 34SC AB ，则三棱锥 S ABC 外接球的
表面积为（ ）
A． 25π B．100 C． 50π D．50 2π
解析：答案为 C。对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），
设长方体的长、宽、高分别是 a ， b ， c ，则有
2 2
2 2
2 2
41
25
34
a b
b c
a c
，
三个式子相加整理可得 2 2 2 50a b c ，所以长方体的对角线长为 5 2 ，
所以其外接球的半径 5 2
2R ，所以其外接球的表面积 24π 50πS R ，故选 C．
变式.在三棱锥 A BCD 中， 2, 3, 4AB CD AD BC AC BD ,则三棱锥 A BCD 外接球的表
面积为____________.
解 析 ： 补 形 为 长 方 体 ， 三 个 长 度 为 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 长 ， 设 长 方 体 的 长 宽 高 分 辨 为 a,b,c, 则
2 2 2 2 2 29, 4, 16a b b c c a 。 2 2 22 9 4 16 29a b c ，
2 2 2 29
2a b c ， 2 294 2R , 29
2S .
三、正棱锥的外接球
例 4．在正四棱锥 P ABCD 中，已知 60PBC ，若 P 、 A 、 B 、 C 、 D 都在球 O 的表面上,则球 O 的
表面积是四边形 ABCD 面积的（ ）
A．2 倍 B． π 倍 C． 2π 倍 D． 2π 倍
解析：答案为 D。设正四棱锥的底面 ABCD 的边长为 a ，则四边形 ABCD 的面积为 2a ，
从 P 向 ABCD 作 PO 平面 ABCD ，则垂足 O 为底面 ABCD 的中心，因为 60PBC ，
所以侧面都是边长为 a 的等边三角形， PB a ， 2
2OB a ，则 2 2 2
2PO PB OB a ，
所以 2
2OA OB OC OD OP R a ，所以球的表面积 2 24π 2πS R a ，
所以
2
2
2π 2π
ABCD
S a
S a
，所以选 D．
变式．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )
A．81
4 π B．16π C．9π D．27
4 π
解析：A 设正四棱锥 P－ABCD，外接球心 O 在 PE 上，半径为 R，AE＝1
2AC＝
2，OE＝PE－PO＝4－R，OA2＝AE2＋OE2，∴R2＝2＋(4－R)2， ∴ R ＝ 9
4
， S ＝
4πR2＝81
4 π，故选 A.
四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球
例 5.体积为 3的三棱锥 P－ABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥平面 ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球
O 的体积的最小值为( )
A.7 7
3 π B.28 7
3 π
C.19 19
3 π D.76 19
3 π
解析：答案为 B
设 AB＝c，BC＝a，AC＝b，由题可得 3＝1
3×S
△
ABC×2，解得 S
△
ABC＝3 3
2 .因为∠ABC＝120°，S
△
ABC＝3 3
2
＝1
2acsin
120°，所以 ac＝6，由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac＝18，当且仅当 a
＝c 时取等号，此时 bmin＝3 2.设
△
ABC 外接圆的半径为 r，则 b
sin 120°
＝2r(b 最小，则外接圆半径最小)，故
3 2
3
2
＝2rmin，所以 rmin＝ 6.
如图，设 O1 为
△
ABC 外接圆的圆心，D 为 PA 的中点，R 为球的半径，连接 O1A，O1O，OA，OD，PO，易
得 OO1＝1，R2＝r2＋OO21＝r2＋1，当 rmin＝ 6时，R2min＝6＋1＝7，Rmin＝ 7，故球 O 体积的最小值为4
3πR3min
＝4
3π×( 7)3＝28 7π
3 .
变式。已知 90ABC ，PA 平面 ABC，若 1PA AB BC ，则四面体 PABC 的外接球（顶点都在
球面上）的体积为（）
A． B． 3 C． 2 D． 3
2
解析：D 取 PC 的中点 O，连接 OA，OB，由题意得 PA BC ，
又因为 ,AC BC PC AC A ，所以 BC ⊥ 平面 PAC ，所以 BC PB ，在 1, 2Rt PBC OB PC ，同
理 1
2OA PC ，所以 1
2OA OB OC PC ，因此 P，A，B，C 四点在以 O 为球心的球面上，在 Rt ABC
中， 2 2 2.AC AB BC 在 Rt PAC 中， 2 2 3PC PA AC ，球 O 的半径 1 3
2 2R PC ，
所以球的体积为
3
4 3 3
3 2 2
，故选：D.
五、侧面与底面垂直的三棱锥的外接球
例 6.三棱锥 A BCD 的一条长为 a ，其余棱长均为 1，当三棱锥 A BCD 的体积最大时，它的外接球
的表面积为( )
A. 5
3
B. 5
4
C. 5
6
D. 5
8
解析：A 不妨设 aBC 。底面积不变，高最大时体积最大，所以，面 ACD 与面 ABD 垂直时体积最大，
由于四面体的一条棱长为 a，其余棱长均为 1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径
2 2
2 3 1 3 2 51 12 3 2 3 12R
。经过这个四面体所有顶点的球的表面积：
2 5 54 4 12 3S R .故选 A。
变式. 4.(2019·广州模拟)三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，
则三棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为( )
A.23π B.23
4 π C.64π D.64
3 π
解析：答案为 D
如图，设 O′为正
△
PAC 的中心，D 为 Rt
△
ABC 斜边的中点，H 为 AC 中点.由平面 PAC⊥平面 ABC.则 O′H⊥
平面 ABC.作 O′O∥HD，OD∥O′H，则交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接 OP，又 O′P＝2
3PH＝2
3× 3
2 ×2＝
2 3
3
，OO′＝DH＝1
2AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝4
3
＋4＝16
3 .
故几何体外接球的表面积 S＝4πR2＝64
3 π.
六、有两个侧面为有公共斜边的直角三角形的三棱锥
例 7.在矩形 ABCD 中， 4, 3AB BC ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D ,则四面体
ABCD 的外接球的体积为（ ）
A. 125
12
B. 125
9
C. 125
6
D. 125
3
解析： 52 5, 2R AC R , 34 4 125 125
3 3 8 6V R .
变式. 在矩形 ABCD 中， 2, 3AB BC ,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC，所得三棱锥 A BCD 的
外接球的表面积为_______.
解析：BD 的中点是球心 O, 22 13, 4 13R BD S R .
七、三棱锥的内切球问题
例 8．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD⊥面 ABCD，且 PD＝1，若在这个四棱
锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．
解析：答案为(14－6 5)π
四棱锥 PABCD 的体积为 V＝1
3PD·S 正方形 ABCD＝1
3×1×22＝4
3
，如图所示，
易证 PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC，所以，四棱锥 PABCD 的表面积为
S＝2×1
2×2×1＋2×1
2×2× 5＋22＝6＋2 5，所以，四棱锥 PABCD 的内切球的半径为
R＝3V
S
＝ 4
6＋2 5
＝3－ 5
2
，因此，此球的最大表面积为 4πR2＝4π×
3－ 5
2 2＝(14－6 5)π.
变式．已知球在底面半径为 1､高为 2 2 的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.
解析： 2
3
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点 M 为 BC 边上
的中点，由题设 2BC ， 2 2AM ，求得 3AB AC ，设内切圆的圆心为 O ，内切圆半径为 r 故
1 2 2 2 2 22S △ABC ，
则 1 1 1
2 2 2ABC AOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r △ △ △ △
1 (3 3 2) 2 22 r ，解得： 2
2r = ，其体积： 34 2
3 3V r .故答案为： 2
3
.
小试牛刀
1.已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于( )
A．2 2 B.2 2
3
C.4 2
3 D.4 3
3
1.D. 由 V 球＝4
3
πR3＝32
3
π，∴R＝2.设正方体的棱长为 a，则 3a2＝(2R)2＝16.
∴a2＝16
3
，∴a＝4 3
3 .
2．若长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3，4，5．则长方体外接球的表面积为（ ）
A． 40π B． 35π C． 50π D． 60π
2．C 设球的半径为 R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，
则 2 2 2 22 3 4 5 50R （ ） ，∴ 5 2
2R ．∴ 24π 50πS R 球 ，故选 C．
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A． 4π
3 B． 2π
3 C． 3π
2 D． π
6
3．A 体积最大的球即正方体的内切球，因此 2 2r ， 1r ，体积为 4π
3
，故选 A．
4. 若一个正四面体的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
4.D 设正四面体棱长为 ，则正四面体表面积为 ，其内切球半径为正四面体
高的 ，即 ，因此内切球表面积为 ，则 故选 D
5.已知菱形 ABCD 边长为 2， 060A ，将 ABD 沿对角线 BD 翻折形成四面体 ABCD ，当四面体
ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．
5. 20
3
当平面 ABD 平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最 大时，设 ABD 外心为 2O ，
CBD 外心为 1O ，过 1 2,O O ，分别作平面面CBD 与平面 ABD 的垂线交于 O ，则O 即是外接球的球心，
2 2
2 2 3 2 3 5
3 3 3R OC
，外接球表面积 2 204 3R ，故答案为 20
3
.
6．已知三棱锥 P ABC 中， 1PA ， 3PB ， 2 2AB ， 5CA CB ，面 PAB 面 ABC ，则此
三棱锥的外接球的表面积为（）
A．14
3
B． 28
3
C．11 D．12
6.B 如图， 1PA ， 3PB ， 2 2AB ， 2 2 2PA AB PB ，
2PAB ，
所以 ABP△ 的外接圆的圆心为斜边 PB 的中点 N , 5CA CB ， ABC 为等腰三角形.取 AB 的中
点 D ，连接 CD ， DN ， CD AB ， 2AD BD ,
2 2 3CD BC BD ,又面 PAB 面 ABC ，面 PAB 面 ABC AB ，
CD 面 ABC ， CD 面 PAB ，过点 N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上.
设 ABC 的外接圆的圆心为 1O ，,则 1O 点在 CD 上，连接 1OO ,
由球的性质则， 1OO 平面 ABC ，则 1O OND 为矩形.
在 ABC 中， 5 8 5 10cos 52 5 2 2
CAB
,则 15sin 5CAB
所以 ABC 的外接圆的半径 1
5 5 32 sin 315
5
BCO A CAB
所以 1
5 3
6O A ，则 2 2
1 1
25 1212 2 3
O D O A AD 则 1
1
2 3
ON O D
所以球的半径为 2 2 1 9 21
12 4 3OP ON NP
所以三棱锥的外接球的表面积为
2
21 21 284 43 9 3
故选：B
7.设正三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O 的球面上， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， EF DE ，
且 1EF ，则球O 的表面积为__________．
7. 12 ∵E,F 分别是 AB,BC 的中点，∴EF∥AC,又 EF⊥DE,∴AC⊥DE,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO.∵三棱
锥 A BCD 为正三棱锥，∴ , ,AO BD CO BD BD AOC 平面 ,又 AC AOC 平面 , AC BD ,
又 DE BD D , , , .AC BD AC AB AC AD 平面A 同理可知：正三棱锥的三条侧棱两两互相垂
直。∵ 1EF ，则 = = =2.AC AB AD 侧棱长均为 2，将正三棱锥恢复为棱长为 2 的正方体，其外接球为同
一球，正方体的体对角线长为外接球的直径，因此 2 3 33R ,球 O 的表面积为 34 =12R 。
8．在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，且 PA 平面 ABC ，若 3PA ，
4AC ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为______.
8. 25 把三棱锥放在以 , ,PA AB BC 的长度为棱长的长方体中，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长
方体的体对角线就是外接球的直径，
∴ 2 2 2 2 22 9 16 5R PA AB BC PA AC
则三棱锥 P−ABC 外接球的表面积 S= 24 25R 故答案为：25π.
9．三棱锥 PABC 的四个顶点均在同一个球面上，其中 PA⊥平面 ABC，
△
ABC 是正三角形，PA＝2BC＝4，
则该球的表面积为________．
9.64π
3
球心应位于过正三角形 ABC 的中心且垂直于平面 ABC 的直线上，又 PA⊥平面 ABC，PA＝4，所以
球心 O 到平面 ABC 的距离为 2，所以球的半径 r＝ 22＋
2 3
3
2
＝4 3
3
，所以球的表面积为 S＝4πr2＝64π
3 .
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