资料简介
第一章 勾股定理
1
探索勾股定理
课时
1
认识勾股定理
目
录
CONTENTS
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
7
布置作业
学习目标
1
.
经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探索方法及内在联系
.
（重点）
新课导入
相传
2500
年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
新课讲解
知识点
1
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的
直角边称为股，斜边称为弦
.
图
1
称为“弦图”，最早是由
三国时期的数学家赵爽在为
《
周髀算经
》
作法时给出的
.
弦
股
勾
图
1
新课讲解
定义：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用
a
，
b
和
c
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.
数学表达式：
在
Rt△
ABC
中，
∠
C
＝
90°
，
AB
＝
c
，
AC
＝
b
，
BC
＝
a
，则
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.
定义
新课讲解
例
1
解：由题意易知，
AC
2
＋
BC
2
＝
AB
2
，
所以
AC
2
＝
AB
2
－
BC
2
＝
10
2
－
8
2
＝
36.
所以
AC
＝
6 cm.
典例分析
在
Rt△
ABC
中，
∠
C
＝
90°
，
AB
＝
10 cm
，
BC
＝
8 cm
，求
AC
的长．
课堂小结
勾股定理
直角三角形三边关系
数学表达式
a
2
＋
b
2
＝
c
2
C
当堂小练
1.
若一个直角三角形的两直角边的长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，则下列关于
a
，
b
，
c
的关系式中不正确的是
(
)
A
．
b
2
＝
c
2
－
a
2
B
．
a
2
＝
c
2
－
b
2
C
．
b
2
＝
a
2
－
c
2
D
．
c
2
＝
a
2
＋
b
2
当堂小练
2.
如图，在边长为
1
个单位长度的小正方形组成的网格中，点
A
，
B
都是格点，则线段
AB
的长度为
(
)
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
25
A
拓展与延伸
1.
勾股定理的适用条件：
直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2
．
由勾股定理的基本关系式：
a
2
＋
b
2
＝
c
2
可得到一些
变形关系式：
c
2
＝
a
2
＋
b
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
＝
(
a
－
b
)
2
＋
2
ab
；
a
2
＝
c
2
－
b
2
＝
(
c
＋
b
)(
c
－
b
)
等．
第一章 勾股定理
1
探索勾股定理
课时
2
验证并应用
勾股定理
目
录
CONTENTS
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
7
布置作业
学习目标
1
.
掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题
.
（重点）
新课导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了
勾股定理
.
在下图中，分别以直角三角形的三条边为边
长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正
确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流
.
新课讲解
知识点
1
勾股定理的验证
做一做
为了计算图
1
中大正方形的面积，小明对这个大正方形
适当割补后得到图
2
、图
3.
图
1
图
2
图
3
新课讲解
1.
将所有三角形和正方形的面积用
a,b
,
c
的关系式表示出来；
2.
图
2
、图
3
中正方形
ABCD
的面积分别是多少？你们有哪
些表示方式？与同伴进行交流
.
3.
你能分别利用图
2
、图
3
验证勾股定理吗？
议一议
常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种
方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，
以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
新课讲解
结论
2
．用拼图法验证勾股定理的思路：
(1)
图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空
隙，面积不会改变；
(2)
根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)
利用等式性质验证结论成立，即拼出图形
→
写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→
推导结论．
新课讲解
新课讲解
例
1
典例分析
如
图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是
a
，
b
，斜边长为
c
的全等的直角三角形和一个边长为
c
的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形．
(1)
画出拼成的这个图形的示意图；
(2)
说明勾股定理的正确性．
新课讲解
分析：可以以边长为
c
的正方形为基础，一在形外补拼
(
不
重叠
)
成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
解：方法一
(
补拼法
)
：
(1)
如图
.
(2)
因为大正方形的面积可以表示为
(
a
＋
b
)
2
，
也可以表示为
c
2
＋
4×
ab
，
所以
(
a
＋
b
)
2
＝
c
2
＋
4×
ab
，
a
2
＋
b
2
＋
2
ab
＝
c
2
＋
2
ab
.
新课讲解
所以
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，
即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方．
方法二
(
叠合法
)
：
(1)
如图
.
(2)
因为大正方形的面积可以表示为
c
2
，
也可以表示为
ab
×4
＋
(
b
－
a
)
2
，
所以
c
2
＝
ab
×4
＋
(
b
－
a
)
2
，
c
2
＝
2
ab
＋
b
2
－
2
ab
＋
a
2
.
所以
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
新课讲解
知识点
2
勾股定理的应用
勾股定理的应用：
（
1
）已知直角三角形的两边长，求其第三边长
（
2
）已知直角三角形的一边，确定其另两边长之间的关系
（
3
）证明含有平方关系的几何关系
（
4
）解决生产、生活中的实际问题
新课讲解
例
2
典例分析
我方侦察员小王在距离东西向公路
400m
处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰
.
他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距
400m
，
10s
后，汽车与他相距
500m,
你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图，其中点
A
表示小王所在位置，点
C
、点
B
表示两个时刻敌方汽车的位置
.
由于小王距离公路
400m
，因此∠
C
是直角，这样就可以由勾
股定理来解决这个问题了
.
解：由勾股定理，可以得到
AB
2
=BC
2
+AC
2
，
也就是
500
2
=
BC
2
+400
2
,
所以
BC
=300.
敌方汽车
10s
行驶了
300m
，
那么它
1h
行驶的距离为
300×6×60=108000
（
m
）
,
即它行驶的速度为
108km/h.
新课讲解
课堂小结
勾股定理
验证
应用
当堂小练
1.
用四个边长均为
a
，
b
，
c
的直角三角板，拼成如
图所示的图形，则下列结论中正确的是
(
)
A
．
c
2
＝
a
2
＋
b
2
B
．
c
2
＝
a
2
＋
2
ab
＋
b
2
C
．
c
2
＝
a
2
－
2
ab
＋
b
2
D
．
c
2
＝
(
a
＋
b
)
2
A
当堂小练
2.
两棵树之间的距离为
8 m
，两棵树的高度分别是
8 m
，
2 m
，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理求解．
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为
AB
＝
8 m
，
CD
＝
2 m
，
两棵树之间的距离
BD
＝
8 m
，
过点
C
作
CE
⊥
AB
，垂足为
E
，连接
AC
.
则
BE
＝
CD
＝
2 m
，
EC
＝
BD
＝
8 m
，
AE
＝
AB
－
BE
＝
8
－
2
＝
6(m)
．
在
Rt△
ACE
中，由勾股定理，得
AC
2
＝
AE
2
＋
EC
2
，
即
AC
2
＝
6
2
＋
8
2
＝
100
，所以
AC
＝
10 m.
答：这只小鸟至少要飞
10 m
．
当堂小练
拓展与延伸
用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出
面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合
图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
它一般都经过以下几个步骤：拼出图形
→
写出图
形面积的表达式
→
找出相等关系
→
恒等变形
→
导出勾
股定理．
第一章 勾股定理
2
一定是直角三角形吗
目
录
CONTENTS
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
7
布置作业
学习目标
1
.
掌握直角三角形的判别条件，并哪个那个进行简单
运算.
（重点）
2
.
掌握勾股定理的概念，探索常用勾股数的规律.
（重点）
新课导入
问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就
是
直角三角形呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和
等
于斜边的平方
新课讲解
知识点
1
直角三角形的判定
合作探究
下面有三组数分别是一个三角形的三边长
a
,
b
,
c
:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足
a
2
+
b
2
=
c
2
吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
① 5,12,13满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形.
新课讲解
新课讲解
讨论
如果三角形的三边长
a,b,c
满足
a
2
+b
2
=c
2
,那么这个三角形是直角三角形.
结论
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
新课讲解
例
1
典例分析
一个零件的形状如图（
a
）所示，按规定这个零件中∠
A
和∠
DBC
都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（
b
）所示，这个零件合格吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
13
(
a
)
(
b
)
新课讲解
解：在△
ABD
中，
AB
2
+
AD
2
=9+16=25=
BD
2
，
所以
△
ABD
是直角三角形，∠
A
是直角。
在△
BCD
中，
BD
2
+
BC
2
=25+144=169=
CD
2
，所以△
BCD
是直角三角形，∠
DBC
是直角。因此这个零件符合要求。
新课讲解
讨论
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
的
三个
正整数
,称为
勾股数
.
结论
如果三角形的三边长
a
,
b
,
c
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,那么这个三角形就是
直角三角形
吗？
知识点
2
勾股数
2.
如图，在正方形
ABCD
中，
AB
=4，
AE
=2，
DF
=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。
4
1
2
2
4
3
解:△
ABE
，△
DEF
，△
FCB
均为直角三角形
由勾股定理知
BE
2
=2
2
+4
2
=20，
EF
2
=2
2
+1
2
=5，
BF
2
=3
2
+4
2
=25
∴
BE
2
+
EF
2
=
BF
2
∴ △
BEF
是直角三角形
新课讲解
例
典例分析
课堂小结
一直是直角三角形吗
直角三角想的判定
勾股数
当堂小练
1.
一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形
AB
=240海里,
BC
=70海里,AC=250海里;
在△ABC中
AC
2
-
AB
2
=250
2
-240
2
=4900=70
2
=
BC
2
即
AB
2
+
BC
2
=
AC
2
∴△
ABC
是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的
。
A
B
C
北
2.
如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
①
②
③
④
⑤
⑥
解：
④⑤是直角三角形
①②③⑥不是直角三角形
当堂小练
拓展与延伸
同学们还能找出哪些勾股数呢？
第一章 勾股定理
3
勾股定理的应用
目
录
CONTENTS
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
7
布置作业
1
学习目标
学习目标
1
.
利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离.
（重点）
2
.
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
（难点）
新课导入
两点之间
,
线段最短．
从
二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
新课讲解
知识点
1
勾股定理
合作探究
问题：
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
蚂蚁
A→B
的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
新课讲解
A
B
A’
B
A
A’
r
O
h
怎样计算
AB
？
侧面展开图
在
Rt
△AA'B
中，利用勾股定理可得
:
其中
A
A'
是
圆柱体的高
,
A'
B
是底面圆周长的一半
(
πr
)
．
新课讲解
若
已知圆柱体高为
12 cm
，底面半径为
3 cm
，
π
取
3
，则
:
B
A
A’
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
A’
B
新课讲解
新课讲解
知识点
2
应用勾股定理及其逆定理解决实际问题
李
叔叔想要检测雕塑底座正面的
AD
边和
BC
边是否分别垂直于底边
AB
，但他随身只带了卷尺，
（
1
）你能替他想办法完成任务吗？
所以
AD
和
AB
垂直．
（
2
）李叔叔量得
AD
长是
30 cm
，
AB
长是
40 cm
，
BD
长是
50 cm
，
AD
边垂直于
AB
边吗？为什么？
解：
AD
²+
AB
²=900+1600=2500
BD
²=2500
所以
AD
²+
AB
²=
BD
²
所以三角形
ABD
是直角三角形
新课讲解
（
3
）小明随身只有一个长度为
20 cm
的刻度尺，他能有办法检验
AD
边是否垂直于
AB
边吗？
BC
边与
AB
边呢？
新课讲解
新课讲解
例
1
典例分析
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，
某日早晨
8
：
00
甲先出发，他以
6 km/h
的速度向正东行走
，
1
小时后乙出发，他以
5 km/h
的速度向
正走
．上午
10
：
00
，甲、乙两人相距多远？
新课讲解
分析：
如图已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点．则：
AB
=2×6=12
(km
)
AC
=1×5=5(
km
)
在
Rt△ABC
中
AB²+AC²
=144+25=169
∴
BC
=13(km)
课堂小结
勾股定理应用
确定立体图形上的最短路线
利用勾股定理及其逆定理
解决实际问题
1.
如图，台阶
A
处的蚂蚁要爬到
B
处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
解
:
AB
2
=15
2
+20
2
+=625=25
2
∴
AB
=25
答：沿
AB
走最近，最近距离为
25
．
当堂小练
2.
有一个高为
1.5 m
，半径是
1 m
的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为
0.5 m
，问这根铁棒有多长？
你能尝试画出示意图吗
?
当堂小练
解
:
设伸入油桶中的长度为
x
m,
则最长时
:
x
2=1.5
2
+2
2
x
=2.5
∴
最长是
2.5+0.5=3(m)
最短是
1.5+0.5=2(m)
．
答
:
这根铁棒的长应在
2
～
3m
之间．
当堂小练
在我国古代数学著作
《
九章算术
》
中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为
10
尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面
1
尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
拓展与延伸
设水池的水深
AC
为
x
尺，则这根芦苇长为
AD=AB=
（
x
+1
）尺，
在直角三角形
ABC
中，
BC=5
尺
由勾股定理得
:BC
2
+AC
2
=AB
2
即
5
2
+
x
2
=(
x
+1)
2
25+
x
2
=
x
2
+2
x
+1
，
2
x
=24
，
∴
x
=
12
，
x
+1=13
．
答：水池的水深
12
尺，这根芦苇长
13
尺．
解：
拓展与延伸
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