资料简介
ZJ版九年级上
第4章 相似三角形
4．1 比例线段
第1课时 成比例线段
夯实基础
B
夯实基础
D
夯实基础
3．【中考·雅安】若a：b＝3：4，且a＋b＝14，则2a－b
的值是( )
A．4 B．2 C．20 D．14
A
夯实基础
夯实基础
夯实基础
3
夯实基础
7．在比例尺为1∶ 5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离
为25 cm，则甲、乙两地间的实际距离是( )
A．1 250 km B．125 km
C．12.5 km D．1.25 km
D
夯实基础
8．某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度
是630 mm，则图纸的比例尺是( )
A．1∶ 20 B．1∶ 30 C．1∶ 40 D．1∶ 50
B
夯实基础
D
夯实基础
10．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝
3AB，则线段CA与线段CB的比为( )
A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2
A
夯实基础
11．下列长度的各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的
是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
B
夯实基础
D
夯实基础
B
夯实基础
14．如图，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，
OB，OP，当其中一条线段的长度是其他两
条线段长度的比例中项时，P点的坐标为
______________________．
夯实基础
15．已知线段a＝3，b＝5，c＝7，则a，b，c的第四比例
项x＝________.
整合方法
整合方法
整合方法
整合方法
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
解：因为△ABC的周长为90，所以a＋b＋
c＝90，即5k＋4k＋6k＝90.解得k＝6，
所以a＝30，b＝24，c＝36.
探究培优
解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b＋c≠0.
探究培优
探究培优
19．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，试猜想
线段AB，AC，BC，CD是否对应成比例？如果对应成
比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比
例，请说明理由．
探究培优
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第4章 相似三角形
4．1 比例线段
第2课时 黄金分割
夯实基础
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列
各式成立的是( )
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
C
夯实基础
C
夯实基础
C
夯实基础
4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近
0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为
160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达
到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大
约为( )
A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm
D
夯实基础
夯实基础
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
夯实基础
【答案】D
整合方法
整合方法
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x.
整合方法
7．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，
连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF
为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求MA，DM的长；
整合方法
整合方法
(2)求证：AM2＝AD·DM；
整合方法
(3)根据(2)的结论你能找出一个黄金分割点吗？
解：能．图中的点M为线段AD的黄金分割点．
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第4章 相似三角形
4．2 由平行线截得的比例线段
夯实基础
B
夯实基础
2．【中考·青海】如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三
条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知
AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为( )
A．3.6 B．4.8
C．5 D．5.2
B
夯实基础
夯实基础
4．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点
A，B，C和点D，E，F，如果DE∶EF＝3∶5，
AB∶DE＝5∶4，当AC＝24时，BC＝________，
EF＝________．
15
12
夯实基础
5．【中考·内江】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，
DB＝3，CE＝2，则AC的长为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C
夯实基础
B
6．如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，
AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( )
A．FG·DE＝6
B．DB·GE＝6
C．FG∶DE＝2∶3
D．CE∶DB＝3∶2
夯实基础
7．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，
连结AE并延长交DC于点F，则EF∶AE等于( )
A．1∶4 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶2
B
夯实基础
8．【中考·凉山州】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：
DC＝1：2，O是BD的中点，连结AO并延长交BC于E，
则BE：EC＝( )
A．1：2 B．1：3
C．1：4 D．2：3
夯实基础
夯实基础
【答案】B
夯实基础
夯实基础
【点拨】由DE与BC平行，得比例式求出AE的长，再由
DF与CE平行，得比例式求出EF的长．
夯实基础
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，以下结论正确的是(
)
A．AE∶AC＝AD∶BD
B．AE∶AC＝BD∶AB
C．AE∶ CE＝AD∶ BD
D．AC∶ CE＝AD∶ BD
夯实基础
错误答案：B或D或A
诊断：运用平行线分线段成比例的基本事实时，往往会
因为没有找准对应关系而导致错选其他答案．解题时一
定要注意．
正确答案：C
整合方法
11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，
CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm，EC＝
10 cm，FA－FC＝3 cm，求FC的长．
整合方法
整合方法
12．如图，E为▱ABCD的边CD的延长线上的一点，连结
BE，交AC于O，交AD于F.
求证：BO2＝OF·OE.
整合方法
探究培优
证明：如图，过点D作DE∥BN，交
AC于点E，∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC.又DE∥BN，∴CE＝NE.
探究培优
探究培优
探究培优
证明：如图，过点C作CE∥DA，交BA的延长
线于点E.∴∠1＝∠E，∠2＝∠3.
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第4章 相似三角形
4．3 相似三角形
夯实基础
1．下列命题中，是真命题的为( )
A．锐角三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．等腰三角形都相似
D．等边三角形都相似
D
夯实基础
2．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，
则∠C等于( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
C
夯实基础
∠ACB
∠B
夯实基础
4．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则
EF的长是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
夯实基础
5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则( )
A．∠A是∠A′的2倍
B．∠A′是∠A的2倍
C．AB是A′B′的2倍
D．A′B′是AB的2倍
C
夯实基础
6．如图是一个边长为1的正方形组成的网格，△ABC与
△A1B1C1都是格点三角形(顶点在网格格点处)，并且
△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的相似比是
____________．
夯实基础
7．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝110°，则
∠C′等于( )
A．40° B．110° C．70° D．30°
D
夯实基础
D
夯实基础
C
9．【中考·重庆】要制作两个形状相同的三角形框架，其
中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另
一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为(
)
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
夯实基础
10．【中考·重庆】如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，
DO＝3，CD＝2，则AB的长是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C
夯实基础
夯实基础
【答案】C
夯实基础
夯实基础
【点拨】本题易因不能准确找出相似三角形的对应边，从
而不能准确写出对应线段所成的比例式而致错．
【答案】A
整合方法
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，
△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
整合方法
14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长
线上一点，E为BC延长线上一点，∠BAC＝40°，若
△ABD∽△EAD，求∠DAE的度数．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°.
∵△ABD∽△EAD，
∴∠DAE＝∠DBA＝180°－70°＝110°.
探究培优
15．如图①，在▱ABCD中，O是对角线AC上一动点，连结
DO并延长交AB所在直线于点E，得到△DOC与
△EOA相似．
探究培优
(1)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA的相似比为2?
探究培优
(2)当O点运动到何处时，△DOC与△EOA全等？
解：当点O运动到AC的中点时，
△DOC≌△EOA.
探究培优
(3)当O点运动到何处时，点E与点B重合？此时△DOC与
△EOA的相似比是多少？此时O点继续向C点运动，
DO的延长线与BC交于点F，如图②，且有△DFC与
△EFB相似，当点F是BC的中点时，
求△DOC与△EOA的相似比．
探究培优
探究培优
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且
点P不与点A重合，E为AC上一点，点E不与点C重合，
若△AEP∽△ABC，且AB＝10，AC＝8，设AP的长为
x，PE的长为y，求y与x之间的函数表达式(无需写出x
的取值范围)．
探究培优
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第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定
※第1课时 用平行线判定
三角形相似
夯实基础
A
夯实基础
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中的相似三角形有( )
A．0对
B．3对
C．2对
D．1对
B
夯实基础
3．如图，在△ABC中，EF∥BC，DG∥AB，EF和DG相
交于点H，则图中与△ABC相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
C
夯实基础
4．如图，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD
分别交于点E，F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，
则图中的相似三角形有( )
A．4对 B．5对 C．3对 D．2对
B
夯实基础
5．【中考·邵阳】如图，点E是▱ABCD的边BC的延长线上
一点，连结AE，交CD于点F，连结BF.写出图中任意
一对相似三角形：___________________________．△ECF∽△EBA(答案不唯一)
夯实基础
B
6．【中考·贺州】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，
AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，
则BC等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
夯实基础
夯实基础
【答案】C
夯实基础
8．【中考·达州】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，
AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连结DF并延长，交
AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(
)
A．2 B．3
C．4 D．5
B
夯实基础
夯实基础
【点拨】根据相似三角形的判定，可得△ABE∽△DCE，
△DEF∽△DAB，根据相似三角形的性质，可得答案．解
答相似三角形问题时，要善于从复杂的图形中抽象出基本
图形—— 型或 型，然后利用相似三角形的性质求解．
【答案】C
夯实基础
10．【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，
EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若
EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
夯实基础
夯实基础
∵EG＝EF，∴DH＝CD.
设DH＝x，则CD＝x.
【答案】B
整合方法
11．如图，在▱ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，
连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F.
(1)证明：△AMD∽△EMB；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE.
∴∠MBE＝∠MDA，∠DAM＝∠MEB.
∴△AMD∽△EMB.
整合方法
整合方法
证明：∵四边形ABCD是平行四边
形，∴OA＝OC，AB∥CD.
∴∠OAE＝∠OCF.
12．【中考·雅安】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的
延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证：OE＝OF；
整合方法
整合方法
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
探究培优
13．【中考·绵阳】如图，已知△ABC的顶点坐标分别为
A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M，N同时从A点
出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单
位长度的速度移动．当一个动点到达终点C时，另一
个动点也随之停止运动，
移动的时间记为t秒．连
结MN.
探究培优
(1)求直线BC的表达式；
【点拨】利用待定系数法即可解决问题；
探究培优
探究培优
(2)移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在
BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
解：∵将△AMN沿直线MN翻折，点A恰
好落在BC边上点D处，如图①所示，
∴AM＝DM，AN＝DN.
探究培优
探究培优
(3)当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面
积为S，求S关于时间t的函数表达式．
【点拨】利用分类讨论思想将△ABC在直线MN右侧部
分分成△AMN或四边形ABNM两种情况讨论．本题注
意方程思想的应用．
探究培优
探究培优
探究培优
ZJ版九年级上
第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定
第2课时 用角的关系判定
三角形相似
夯实基础
1．如图，已知三个三角形，相似的是( )
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①和②和③
A
夯实基础
D
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
则图中的相似三角形共有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
夯实基础
3．【中考·赤峰】如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上
的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，
则AE的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
夯实基础
4．P是△ABC一边上的一点(P不与A，B，C重合)，过点P
的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相
似 ， 我 们 称 这 条 直 线 为 过 点 P 的 △ A B C 的 “ 相 似
线”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P
为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有(
)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
夯实基础
【点拨】如图，当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当
PE∥AB时，△EPC∽△BAC；当PF⊥AB时，
△APF∽△ABC，故过点P的△ABC的“相似
线”最多有3条．故选C.
【答案】C
夯实基础
B
夯实基础
B
6．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，
DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
夯实基础
夯实基础
【答案】C
夯实基础
夯实基础
【点拨】过点F作FG⊥AB于点G.
∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠CFA＝90°.∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∠FAD＋∠AED＝90°.
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD.
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF.∴CE＝CF.
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG.
夯实基础
【答案】A
夯实基础
夯实基础
【点拨】如图，设EM交CD于点G.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12－5＝7.
∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，
∴∠AMB＋∠CMG＝90°.
∵∠AMB＋∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG.
夯实基础
【答案】B
夯实基础
10．【中考·东营】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等
边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连
结BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH·PC.其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③
C．①②④ D．①③④
夯实基础
【点拨】∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°.
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
易得BE＝2AE；故①正确；
夯实基础
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°.
∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，易得∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
夯实基础
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，
∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似；故③错误；
夯实基础
【答案】C
夯实基础
11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，
且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC
相似，则AF＝________．
夯实基础
错误答案：2
诊断：根据题意，知△AEF与△ABC相似，由于本题没
有说明对应关系，故采用分类讨论思想．有两种可能：
(1)△AEF∽△ABC，(2)△AEF∽△ACB.
正确答案：2或4.5
整合方法
12．【中考·咸宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝
36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三
角形；
解：△ADE≌△BDE，
△ABC∽△BDC.
整合方法
证明△ADE≌△BDE.证明如下：
∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.
(2)选择(1)中一对三角形加以证明．
又∵∠AED＝∠BED＝90°，ED＝ED，
∴△ADE≌△BDE(AAS)．
整合方法
证明△ABC∽△BDC.证明如下：
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
整合方法
13．【中考·凉山州】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB
平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连结CM
交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC.
整合方法
整合方法
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
解：∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠BDC.
又∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠MBD.∴BM＝MD.
又∵∠ABD＝90°，∴∠MAB＋∠ADB＝90°，
∠MBA＋∠MBD＝90°，∴∠MAB＝∠MBA.
∴MD＝BM＝AM＝4.
整合方法
探究培优
14．【中考·福建】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝10，AC＝8.线段AD由AB绕点A按逆时针方向旋
转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且
直线EF经过点D.
(1)求∠BDF的大小；
探究培优
解：由旋转知，AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°.
由平移知DF∥AB，
∴∠BDF＝∠ABD，∴∠BDF＝45°.
探究培优
(2)求CG的长．
解：由平移知EG∥AC，EG＝AC，
∴四边形ACGE是平行四边形．
又∵∠C＝90°，∴四边形ACGE是矩形，
∴∠EAC＝90°，AE＝CG.
探究培优
又∵∠DAB＝90°，∴∠EAB＋∠EAD＝
∠CAB＋∠EAB，∴∠EAD＝∠CAB.
由(1)知DF∥AB，∴∠EDA＋∠DAB＝180°，
∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠C，
探究培优
15．【中考·枣庄】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D
落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，
连结DG.
(1)求证：四边形EFDG是菱形；
探究培优
证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG.由折叠的性质可知：GD＝GE，
DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.
∴GD＝GE＝DF＝EF.
∴四边形EFDG是菱形．
探究培优
(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；
探究培优
探究培优
解：如图②，过点G作GH⊥DC，垂足为H.
易得GH＝CE.
探究培优
探究培优
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第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定
第3课时 用边角关系判定
三角形相似
夯实基础
C
夯实基础
C
2．【中考·河北】如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝
4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴
影三角形与原三角形不相似的是( )
夯实基础
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶
OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
B
夯实基础
夯实基础
【点拨】根据两角对应相等的两个三角形相似，可知A，
B正确；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相
似，可知C正确，而D选项给出的不是对应边，因此D是错
误的，故选D.
【答案】D
夯实基础
B
夯实基础
4 cm
夯实基础
7．【中考·黄冈】如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，
△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，
GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连结AI，交FG
于点Q，则QI＝________．
夯实基础
8．【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E
使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC
于M，连结AM，AF，H为AD的中点，连结FH分别与AB，
AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；
②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4.其中正确
的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
夯实基础
【点拨】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝EB＝2，∠FGB＝90°.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°.
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝GF.
又∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确．
夯实基础
夯实基础
又∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA.∴∠AHN＝∠AMG.
∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG.
∴∠AHK＝∠HAK.∴AK＝HK.
∴AK＝HK＝NK.∴HN＝2NK.
∵FN＝HN，∴FN＝2NK，故③正确．
夯实基础
易知四边形ADMG是矩形．∴DM＝AG＝2.
【答案】C
夯实基础
9．已知△ABC和△A′B′C′，∠A＝50°，∠A′＝50°，AB＝
8，BC＝15，A′B′＝16，B′C′＝30，请问这两个三角形是
否相似？并说明你的理由．
夯实基础
整合方法
10．【中考·上海】如图，在正方形ABCD中，P是BC上一
点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F.
(1)求证：EF＝AE－BE；
证明：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，
整合方法
∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°.
∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
整合方法
整合方法
又∵∠BEF＝∠AFD＝90°，
∴△BEF∽△DFA，∴∠4＝∠3.
整合方法
∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠1.
∵∠1＋∠BPA＝90°，∠5＋∠BPA＝90°，
∴∠5＝∠1，∴∠4＝∠5.
即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，
∴EF＝EP.
整合方法
整合方法
整合方法
(2)求∠ABD的度数．
整合方法
设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝
∠BDC＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.
探究培优
12．【中考·上海】如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且
AB＝AC，D是AO延长线上一点，连结BD并延长交
⊙O于点E，连结CD并延长交⊙O于点F.
(1)求证：BD＝CD；
证 明 ： 如 图 ，
连结BC，OB，
OC，
探究培优
∵AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上．
∵OB＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂
直平分BC，∴BD＝CD.
探究培优
(2)如果AB2＝AO·AD，求证：四边形ABDC是菱形．
探究培优
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.
∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
探究培优
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，点B(8，
0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度
的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上
以每秒2个单位长度的速度向点A
移动，设点P，Q移动的时间为t s.
探究培优
(1)求直线AB对应的函数表达式；
探究培优
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
解：由题意得AO＝6，BO＝8，可得AB＝10，
所以AP＝t，AQ＝10－2t.
探究培优
ZJ版九年级上
第4章 相似三角形
4．4 两个三角形相似的判定
第4课时 用三边关系判定
三角形相似
夯实基础
夯实基础
【答案】B
夯实基础
C
2．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，
△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪
一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
夯实基础
3．一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似
的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(
)
A．19 B．17 C．24 D．21
C
夯实基础
D
夯实基础
5．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm，30 cm，
36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长
为27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一
边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，
则截法有( )
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
夯实基础
夯实基础
【答案】B
夯实基础
6．【中考·雅安】如图，每个小正方形的边长均为1，则
下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(
)B
夯实基础
7．如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格
纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，
乙，丙，丁四点中的( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
C
夯实基础
8．如图，在正方形网格中有6个三角形：①△ABC；
②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；
⑥△EFK.②～⑥中与①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
B
夯实基础
9．【中考·东营】如果一个直角三角形的两条边长分别是
6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，
4及x，那么x的值( )
A．只有1个 B．可以有2个
C．可以有3个 D．有无数个
夯实基础
【答案】B
整合方法
10．如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，
OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
整合方法
整合方法
11．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝
3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形ABCD的边长为a.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC＝CD＝a.
整合方法
探究培优
12．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是相同的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说明你的理由；
探究培优
探究培优
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF，
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
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13．【中考·菏泽】如图，在边长为1的小正方形组成的网
格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，
P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下
列各题：
探究培优
(1)求证：△ABC为直角三角形；
探究培优
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
探究培优
解：如图，连结P2P5，P2P4，P4P5，
则△P2P4P5符合要求．
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，
P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明．
探究培优
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