资料简介
第一章 有理数
1.1 正数和负数
第1课时 正数和负数的认识
冀教版七年级数学上册
1 课堂讲解 u相反意义的量
u正数和负数
u0的意义
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
佳佳每天都看天气预报，以便注意穿衣和是否
拿雨具，有一天佳佳突然想到了一个问题：怎么区
分零上3℃和零下3℃呢?在滚动的屏幕上，他看到夏
天武汉气温高达42℃，屏幕上显示的是“＋42℃”，
会想到夏天的武汉的确像火炉，而到了冬季他看到
哈尔滨的气温显示的是“－32℃”，他明白了冬季
哈尔滨的气温是零下32℃，就会想到北方冬天的严
寒!这是怎么回事呢?
1 相反意义的量
知1－导
知1－导
数是根据人们的实际需要而产生的，随着社会的
发展，小学学过的数已不能满足实际的需要，比如一
些具有相反意义的量：盈利8 000元和亏损3 000元，零
上6℃和零下2℃等，它们不但意义相反，而且表示一
定的数量，怎样表示它们呢?我们把一种意义上的量规
定为正的，把与它意义相反的量规定为负的．
正负仅是为了区分具有相反意义的量，哪种意义
为正是可以任意选择的，但习惯把“盈利、买进、收
入、上升、零上温度”等规定为正的；而把“亏损、
卖出、支出、下降、零下温度”等规定为负的．
知1－导
1.生活中到处都存在相反意义的量.
2.在相反意义的量中，我们把其中一个意义的量规定为正，
那么另一个量就是负.
要点精析：(1)相反意义的量是成对出现的，它表示的是意
义相反的两个量. (2)与一个量成相反意义的量不止一个．
(3)相反意义的量的两要素：①意义相反；②两个同类量，
具有数量且带有单位．(4)相反意义的量的正负性是相对的，
没有硬性规定且是可以互换的．
(1)气球上升20米记作＋20米，那么下降8米记作
__________；
(2)上证指数上涨5点记作＋5点，那么－8点的实
际意义是__________.
知1－讲
例1
导引：掌握具有相反意义的量的表示方法，并能据
此得出其表示的实际意义是解此类题的突破口．
－8米
下跌8点
知1－讲
( 1 )用带“＋”“－”的数可以很直观地表示生活中
具有相反意义的量；
( 2)相反意义的量中的两个量，哪个量为正没有硬性规
定．
用带“＋”或“－”的数表示下列具有相反意义的量：
(1)如果将开进汽车站汽车28辆记作＋28辆，那么从该
汽车站开出汽车24辆，可记作 辆.
(2)如果把公司第一季度亏损2万元记作－2万元，那么
第二季度盈利2. 5万元，可记作 万元.
(3)如果规定高于海平面为正，那么：珠穆朗玛峰高于
海平面 8 844.43 m，可记作 m；吐鲁番
盆地最低点低于海平面154. 31 m，可记作 m.
(4)如果规定收人为正，那么：小亮家今年收入34 200
元，可记作 元;支出27 450元，可记作
元.
知1－练
1
－24
＋2.5
＋8 844.43
－154. 31
＋34 200
－27 450
2 下列选项中，不是具有相反意义的量的是( )
A．前进5 m和后退5 m
B．节约3 t和浪费10 t
C．身高增加2 cm和体重减少2 kg
D．超过5 g和不足2 g
3 【中考·广州】中国人很早就开始使用负数，中
国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在
世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100
元记作＋100元，那么－80元表示( )
A．支出20元 B．收入20元
C．支出80元 D．收入80元
知1－练
C
C
知2－导
－3，－800，－50，－24，－2，－154.31，－27 450
等这样形式的数，它们都是在已学过的数(0除外)的前
面添上“－”得到的，这样的数叫做负数；＋1.8，＋1
200，＋30，＋28，＋2.5，＋8 844.43，＋34 200等这
样的数，都是在已学过的数(0除外)的前面添上“＋”
得到的，这样的数叫做正数．
2 正数和负数
知2－导
1)正数的实质就是大于0的任何数，它可以含“＋”，
也可以不含“＋”；
(2)负数就是在正数前面加上“－”；
(3)判断正数、负数的方法：判断一个数是正数还是负
数，首先要确定它不为0；其次看它的“＋”“－”
的呈现形式：若不含“＋”“－”，或只含“＋”，
或含“－”的个数为偶数，则均为正数，否则为负数.
例2 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
＋0.005，－100， ，0.333…，－4，5，0.
知2－讲
导引：直接根据定义判断即可.
解: 正数：＋0.005， ，0.333…，5；
负数：－100， ，－4.
2 5
3 4
，
2
3
5
4
知2－讲
负数前面的“－”号不能省略．否则就变成
了正数，如－12不能写成12.
知2－练
1 下列各数中，负数有哪些？
－3，0，＋5，－3 ，－80%，＋ ，
2 013，－8.
1
2
1
3
解：负数有－3，－3 ，－80%，－8.1
2
知2－练
2 【中考·天水】四个数－3，0，1，π中的负数
是( )
A．－3 B．0 C．1 D．π
3 【中考·深圳】下列各数中，最小的正数是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
A
C
3 0的意义
知3－讲
0具有如下意义：
1. 0既不是正数，也不是负数.
2. 0是正数和负数的分界．
3. 0既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的
基准数
知3－讲
下列说法中，正确的是( )
A．0是正数不是负数
B．0既不是正数，也不是负数
C．0既是正数，也是负数
D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定
是正数
例3 B
1 在－3，－5，－1，0这四个数中，与其余三个数
不同的是( )
A．－3 B．－5 C．－1 D．0
2 下列关于“0”的叙述中，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；
②0比任何负数都大；
③0只表示没有；
④0常用来表示某种量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知3－练
D
C
重要知
识点 知识点解析 特别注意的问题
正、负
数的概
念
小学学过的除0以外的数
都为正数，在正数前加
“﹣”号的数为负数
0既不是负数，也不
是正数，它是正、
负数的分界
用正、
负数表
示具有
相反意
义的量
研究问题时规定一个量为
正，则与其具有相反意义
的量为负．一般把具有向
上趋势的量规定为正，把
具有向下趋势的量规定为
负
用正、负数表示具
有相反意义的量时，
基准不一定为0，同
时，用正数、负数
表示时要注意单位
1．注意0的特殊性，0既不是正数，也不是负数，
是正数、负数的分界点．
2．对有理数的分类要注意做到不重复不遗漏.
3．关于实际问题转化为数学问题，要注明标注和
基准，不一定基准都是0.
第一章 有理数
1.1 正数和负数
第2课时 有理数
1 课堂讲解 u有理数及相关概念
u有理数的分类
u数的集合
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
如图所示，小林家住黄河边的
某城市，黄河大堤高出此城区20米，
另有城里铁塔高约58米，是此城市
的一大景观．小林和好朋友芳芳、
徐伟出去玩．小林站在黄河大堤上，
芳芳站在地面上放风筝，顽皮的徐伟则爬上铁塔顶．
小林说“以大堤为基准，记为0米，则芳芳所在的位
置高为－20米，徐伟所在的位置高为＋58米．”
徐伟说：“以铁塔顶为基准，记为0米，则芳芳所在
的位置高为－58米，小林所在的位置高为－38米．”
芳芳说：“徐伟的位置比我高58米．”
他们说的数有一个统一的名称吗？
1 有理数及相关概念
知1－讲
正数中的“＋”可以省略不写，如＋1.8可以写成1.8，
＋1 200可以写成1 200, 等等.
引入负数以后，我们学过的数可以分为：
正整数(如1，2， 3，…)；
正分数(如 ，…)；
0；
负整数(如－1，－2，－3，…)；
负分数(如 ，…).
1 1 1,1 ,32 3 2
1 22 3, , 84 7 4
知1－讲
正整数、0和负整数统称为整数，正分
数和负分数统称为分数.
整数和分数统称为有理数.
在－3.5， ，0， ，0.161 616…中，有理数共
有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
知1－讲
例1
导引：判断有理数要紧扣其定义，也就是看一个数
是不是整数或分数.
B
23
7
π
2
知1－讲
对于分数的识别有两个误区：( 1 )不是所有的小数都能
化成分数；( 2 )有些数形似分数，但不是分数．
下列说法正确的有( )
A．0是最小的整数
B．非负整数就是指0、正整数和所有分数
C．正整数和负整数统称为整数
D．整数和分数统称为有理数
知1－练
1 D
导引：A选项中，负整数比0小，故A错误；B选
项中的非负整数是指0和正整数，不包括分数，
故B错误；C选项中漏掉了0，故C错误．D选项
正确，故选D.
2 【中考·丽水】在数0，2，－3，－1.2中，属于负
整数的是( )
A．0 B．2
C．－3 D．－1.2
3 － 不属于( )
A．负数 B．分数
C．负分数 D．整数
知1－练
1
2
C
D
知2－导
(1)按定义分类：
2 有理数的分类
有理数
整数
分数
正整数
负整数
负分数
正分数
0 自然数
知2－导
有理数
正有理数
负有理数
正整数
正分数
0
负分数
负整数
(2)按性质分类：
例2 [易错题] 把下列各数分别填入相应的大括号里：
－2, 0, －0.314 , 25% ,11， ,－4 ，0.3，2 .
非负有理数：{ …}；
整数：{ …}；
自然数：{ …}；
分数：{ …}；
非正整数：{ …}．
知2－讲
导引：要严格按照各类数的概念进行分类，非负有理数
包含正有理数和0，非正整数包含负整数和0.
3
5
22
7
1
3
.
22
7
0，25%，11， ，0.3，2 ，3
5
.
－2，0，11，
0，11，
22
7
－0.314 ，25%， ,－4 ，0.3，2 ，3
5
.1
3－2，0，
知2－讲
(1)我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、
负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分
为三类：正有理数、0、负有理数进行讨论.
(2)通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正
数，正整数和0统称为非负整数(也叫做自然数)，负
整数和0统称为非正整数．
(3)在对有理数进行分类时，要严格按照同一分类标准，
做 到不重复、不遗漏．
知2－练
1 把下列各数分别填入相应的大括号内．
5，－3， ，－0.373 737…，3.14，0，9 ，－ .
正数：{ 5， ，3.14， ，…}；
负分数：{ …}；
非负整数：{ 5 ， 0， …}；
3
4
2
5
6
7
6
7
－3，－0.373 737… ， ，
3
4
29 5
知2－练
2 在有理数中，不存在( )
A．既是整数，又是负数的数
B．既不是正数，也不是负数的数
C．既是正数，又是负数的数
D．既是分数，又是负数的数
3 下列说法中，错误的是( )
A．负整数和负分数统称为负有理数
B．正整数、负整数和0统称为整数
C．正有理数和负有理数统称为有理数
D．0是整数，但不是分数
C
C
3 数的集合
知3－讲
例3 已知A，B，C三个数集，并且每一个数集中所
包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数
填在如图所示圆圈的相应位置.
A={－2，－4，－8，6.7﹜，B={－4，－5，1，
2，6} ，C={－1，－4，－8，2，5}.
知3－讲
分析：对数集A中的每一个数应逐个分析．如－2即
不属于B，也不属于C，所以应写在圆A内，
但不在圆B和圆C中，－4同是属于三个数集．
应写在三个数集的公共区域内；－8属于数集
A和数集C，应写在圆A和C的公共区域内，但
不在圆B内，其它数的写法以此类推．
解：如图所示：
本题考查数集的表示方法，注意渗透元素与
集合，集合与集合的关系知识.
知3－讲
1 下列选项中，所填的数正确的是( )
A．正数集合：{2，1，5， ，…﹜
B．非负数集合：{0，－1，－2.5，…﹜
C．分数集合：{－2.5，5， ，…﹜
D．整数集合：{3 ，－5，…﹜
2 所有的正整数和负整数合在一起构成( )
A．整数集合 B．有理数集合
C．自然数集合 D．以上说法都不对
知3－练
1
2
1
3
1
2
A
D
知3－练
3 把下列各数分别填入相应的大括号内．
－100，1， ，6，0 ， ，－2.25，
－ 10%， ，－ 18, 2019 ，－ 0.01 .
正数：{1， 6， ， ， 2019， …}；
负分数：{ ，－2.25， －10%，－ 0.01 ，…}；
非负整数：{6，0，2019 ，…}；
13 4
+28 3
13 4
+
3
100
28 3
3
100
1.几种常用整数和分数名词的含义：
(1)正整数：既是正数，又是整数的数；
(2)负整数：既是负数，又是整数的数；
(3)正分数：既是正数，又是分数的数；
(4)负分数：既是负数，又是分数的数；
(5)非负整数：正整数和0；
(6)非正整数：0和负整数
2. 有理数的判别技巧：
(1)一个有理数不是整数就是分数
(2)有限小数与无限循环小数可以化成分数，所以是有
理数；无限不循环小数，比如π，0.131 131 113…不能
化成分数，所以不是有理数.
第一章 有理数
1.2 数 轴
1 课堂讲解 u数轴
u数轴上的点与有理数的对应关系
u数轴上两点之间的距离
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的站
点如图所示，相邻两站点之间的距离均为2 km.
1 数 轴
知1－导
1.如果你在实验学校站点处，怎样说明其他站点的位
置呢？
2.以实验学校为参照点，并用0表示该点，规定实验学
校以东的位置用正数表示，实验学校以西的位置用
负数表示，以1 km为单位长度.请你在图中用有理数
标出所有站点的位置.
知1－导
3. 在实验学校东3 km处是华龙超市，实验学校西1 km
处是东方商场，请你在图中标出它们的位置及其对
应的有理数.
知1－导
画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原
点，用这个点表示0，规定这条直线上的一个方向(一般
取从左到右的方向)为正方向，用箭头表示，相反的方向
为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图
所示的图形.
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做
数轴.
如下图，是数轴的是（ ）
知1－讲
例1
A中没有正方向，
B中原点左侧标数顺序错误，
C中单位长度不统一．
导引：
D
知1－讲
识别数轴，要紧扣数轴的定义，围绕数轴的原点、
正方向、单位长度三要素进行判断，三者缺一不可．
下图所画数轴正确的是( )
知1－练
1
2 画一条以50为单位长度的数轴．
D
解：如图.
3 下列各图中，所画数轴正确的是( )
A B
C D
知1－练
D
2 数轴上的点与有理数的对应关系
知2－导
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车
站东3 m和7.5 m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西
3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图
表示这一情境.(如图所示)
观察上图，你能想象到什么？
知2－导
所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有
理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原
点左边的点表示，零用原点表示．所有的有理数都
可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表
示有理数，还表示其它数，例如π．
1.数轴的两个最基本的应用：
一是知点读数，二是知数画点，
即：数 点(形)，它是最直观的数形结合体．
2.数轴上的点与有理数的关系：
数轴上的每一个点都表示一个数，所有的有理数都可
以用数轴上的点来表示，但数轴上还有一部分点表示的
不是有理数，因此数轴上的点与有理数之间不是一一对
应的关系，比如π这样的数也能用数轴上的点来表示．
知2－导
知数画点
知点读数
例2 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示哪
个有理数？
知2－讲
导引：考虑两个方面：(1)点的位置：原点表示0，原
点右边的点表示正数，原点左边的点表示负
数；(2)点到原点的距离是几个单位长度．
解：点A表示1 ，点B表示－ ，点C表示－2 ，
点D表示0.
1
2
1
2
1
2
知2－讲
数轴上任何一个点都能找到一个数和它对应，即
知点读数，读数时要明确两点：点所在的区域的位
置(原点的左右两侧)决定正负；到原点的距离决定
符号后面的数．
知2－练
1 若a＝－3 ，则有理数a在数轴上对应的点的位
置是( )
1
3
B
知2－练
2 如图，分别用数轴上的点A，B，C，D表示数，
正确的是( )
A．点D表示－2.5
B．点C表示－1.25
C．点B表示1.5
D．点A表示1.25
C
知2－练
3 a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法中，
正确的是( )
A．a，b，c都表示正数
B．a，b，c都表示负数
C．a，b表示正数，c表示负数
D．a，b表示负数，c表示正数
C
例3 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点.
－2，－2 ，－ ，3， .
知2－讲
导引：画出数轴后，先要区分清楚各个点的区域位置；
再看它到原点有几个单位长度；最后标出点
的位置．
解：如图.
1
2
1
2
1
2
知2－讲
对于给定的任一有理数，我们总可以在数轴上找到
一个点和它对应，即知数画点；
在画点时要注意：
(1)标实心圆点；
(2)数要写在对应点的正上方．
知2－练
1 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点．
－100，－50，0，200，50，325.
解：如图.
知2－练
2 在数轴上表示－2，0，6.3， 的点中，在原点
右边的点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
1
5
C
3 数轴上两点间的距离
知3－导
如图，在数轴上分别标出了表示4和－4，2.5和
－2. 5的两对点.观察并回答：
(1)每对点在原点的同侧还是异侧？
(2)每对点与原点的距离具有什么关系？
容易看出：表示4和－4的点位于原点两侧，并
且到原点的距离相等，都是4个单位长度.表示2. 5和
－2. 5的点，也具有上述特点.
数轴上的点的距离是一个非负数.
知3－导
知3－讲
例4 如下图，数轴上有三个点A，B，C.
请回答:
(1)三点A，B，C中，任意两点之间的距离是多少个单
位长度？
(2)将点C沿数轴向左移动8个单位长度，此时点A，B，
C中任意两点之间的距离是多少个单位长度？
知3－讲
解：(1)A，B两点之间的距离是5个单位长度；B，C
两点之间的距离是2个单位长度；A，C两点之
间的距离是7个单位长度．
(2)如下图，将点C沿数轴向左移动8个单位长度，
得点C′.此时，A，B两点之间的距离是5个单位
长度；B，C′两点之间的距离是6个单位长度；
A，C′两点之间的距离是1个单位长度．
在数轴上求两个点之间的距离，只需要数一数两
个点之间相隔多少个单位长度即可．注意：距离不可
能是负数．
知3－讲
1 已知在数轴上有A，B两点，点A，B之间的距
离为1，点A与原点的距离为3，那么点B表示
的数是__________________．
知3－练
2，4或－2，－4
知3－练
2 【中考·永州】在数轴上表示数－1和2 014的两点
分别为A和B，则A，B两点之间的距离为( )
A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016
3 【中考·资阳】如图，已知数轴上的点A，B，C，
D分别表示数－2，1，2，3，则表示3－2 的点P
应落在线段( )
A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上
2
3
C
B
重要知识
点 知识点解析 特别注意的问题
数轴的画
法
在一条直线上，适当
选取原点，规定正方
向，标出单位长度，
即可成为一数轴
三个要素的确定要
根据实际需要选取，
且同一数轴单位长
度要一致
有理数与
数轴上点
的关系
正数在原点的右边，
负数在原点的左边
有理数都能用数轴
上的点表示，但数
轴上的点不一定都
表示有理数
1.数轴上的点不一定表示有理数，例如π也可以用
数轴上的点表示.
2.通过建模，将实际问题转化为数轴的应用问题，
并通过数轴的直观性求数轴上点对应的数及数轴
上两点之间的距离，从而解决实际问题中的各种
变化问题.
第一章 有理数
1.3 绝对值与相反数
第1课时 绝对值与相反数
的认识
1 课堂讲解 u绝对值的定义
u相反数的定义
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
“千里难寻是朋友，朋友多了路好走，以心相见，心
诚则灵，让我们彼此是朋友.”象我们人类一样，在数学世
界里也有很多很多成双成对关系特殊的好朋友.你也许感到
好奇：“它们是谁呢？它们是怎样一种特殊的朋友呢？如
果你想弄清这个问题，就请你跟我一块儿去看看吧！”
请同学们在数轴上画出下列各组数的点，并观察每一
组数中的两个数有什么相同点和不同点? 在数轴上表示每一
组数的两个点有怎样的位置关系？
(1)＋1和－1 (2)＋5和－5 (3)＋2.5和－2.5
1 绝对值的定义
知1－导
画一条数轴，在数轴上标出表示4，－2， 0的
点，并写出这些点到原点的距离.
知1－导
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做
这个数的绝对值. 如数a的绝对值可记作|a|，读作a
的绝对值．
在数轴上标出表示下列各数的点，并写出它们的
绝对值．
2．5，6，－4，－1.5，0.
知1－讲
例1
解：如下图.
2.5的绝对值是2.5，6的绝对值是6，－4的绝对值是4，
－1.5的绝对值是1.5，0的绝对值是0，即|2.5|＝2.5，|6|＝6，
|－4|＝4，|－1.5|＝1.5，|0|＝0.
-6 -5 -1-2-3-4 0 1 2 3 4 5 6 7
知1－讲
本题运用了定义法，首先要在数轴上表示出各
数，然后观察各点到原点的距离，即可得到各数的
绝对值．
在数轴上标出表示下列各数的点，并写出它们的
绝对值．
2.5，6，－4，－1.5，0.
知1－练
1
解：如图.
|2.5|＝2.5，|6|＝6，|－4|＝4，
|－1.5|＝1.5，|0|＝0.
2 【中考·连云港】数轴上表示－2的点与原点的距
离是________．
3 【中考·泉州】－3的绝对值是( )
A．3 B．－3
C．－ D.
知1－练
1
3
1
3
2
A
知2－导
(1)相反数的几何定义：在数轴上表示两个数的点，如果分别位
于原点两侧，并且到原点的距离相等，那么这两个数互为相反
数．如图所示，4与－4互为相反数， 互为相反数．
在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并
且到原点的距离相等，也就是说，它们相对原点的位置只有方
向不同．
(2)相反数的代数定义：符号不同、绝对值相等的两个数，我们
称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
0的相反数是0．
2 相反数的定义
1 11 15 5
与
知2－导
像3和－3，5和－5， 等这样符号不同、
绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个
数的相反数，这两个数互为相反数. 0的相反数规
定为0.
3 3
5 5
和
例2 下列说法正确的是( )
A．－2是相反数
B．－ 与－2互为相反数
C．－3与＋2互为相反数
D．－ 与0.5互为相反数
知2－讲
导引：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两
个方面去看：符号(＋，－)和符号后面的数(相同)．
1
2
1
2
D
知2－讲
( 1 )相反数不能单独存在，前提是“互为”．
( 2 )判断两个数是否互为相反数，要从两个方面看，
一是符号不能相同；二是符号后面的数一定要相
同．
知2－练
1 下列说法正确的是( )
A．因为相反数是成对出现的，所以0没有
相反数
B．符号不同的两个数互为相反数
C．正数与负数互为相反数
D．只有0的相反数是它本身,
D
知2－练
2 【中考·广东】－2的相反数是( )
A．2 B．－2 C. D．－
3 【中考·广元】一个数的相反数是3，这个数
是( )
A. B．－ C．3 D．－3
1
2
1
2
1
3
1
3
A
D
1.相反数的意义：
代数意义：(1)成对出现；(2)只有符号不同，即a的相
反数是－a，特殊的：0的相反数是0.
几何意义：数轴上原点两旁且到原点距离相等的两个
点所表示的数互为相反数．
2.多重符号化简的方法规律：
方法一：把所有的正号去掉；负号的个数是偶数时结
果为正，是奇数时结果为负，即“奇负偶正”.
方法二：采用两个同号得正，异号得负，分成化简.
第一章 有理数
1.3 绝对值与相反数
第2课时 相反数与绝对值
的性质
1 课堂讲解 u相反数的性质
u绝对值的性质
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
在一节体育课中，老师组织了一次游戏.如图所示，
四位同学站在圆上，比赛谁最先到达圆的中心. (A，
B，C，D表示四位同学所在的位置)
请你想一想：1.四位同学到达中心的距离相等吗？
2.他们的方向会影响距离的长度吗？
1 相反数的性质
知1－导
1.在知识竞赛抢答中，加20分用20表示，那么20的相
反数表示的实际意义是什么？
2.举出三对互为相反数所代表实际意义的例子.
表示一个数的相反数时，可以在这个数的前面
添加一个“－”.因此，有理数a的相反数可以表示
为－a.
例如，－4的相反数可以表示为－(－4).
因为－4的相反数是4，所以－(－4)=4.
相反数的性质：若a、b互为相反数，则a＋b
＝0(a＝－b，b＝－a)；反过来，若a＋b＝0，则a、
b互为相反数．
即：a、b互为相反数 a＋b＝0.
知1－讲
性质
判定
化简下列各数:
(1)－(－3)；(2)－(＋5)；
(3)＋ ；(4)－[＋(－1)]；
(5)－(－a)；
(6)－{－[－…－(－1 )…]}.
(2n－1)个负号，n为正整数
知1－讲
例1
12 3
知1－讲
导引：(1)－(－3)表示－3的相反数；
(2)－(＋5)表示＋5的相反数；
(3)＋ 表示 本身；
(4)－[＋(－1)]表示＋(－1)的相反数，即－1的相
反数；
(5)－(－a)表示－a的相反数；
(6)2n－1为奇数，所以结果为负．
12 3
12 3
(1)－(－3) =3
(2)－(＋5) = －5
(3)＋ =
(4)－[＋(－1)] =1
(5)－(－a) = a
(6)－{－[－…－(－1 )…]} = －1
(2n－1)个负号，n为正整数
知1－讲
解：
12 3
12 3
知1－讲
(1)一般地，在一个数的前面添上一个“－”，表示这个
数的相反数，在一个数的前面添上“＋”，表示这个
数本身．利用这一规律，可将带有多重符号的数中
的符号及括号，像剥茧抽丝一样，一层一层地剥去，
进行化简．
(2)化简一个带有多重符号的数，与它前面的“＋”的个
数无关，与“－”的个数有关，当“－”的个数为奇数
时，这个数为负，当“－”的个数为偶数时，这个
数为正，即我们可以按照“奇负偶正”的原则直接写
出结果．
有下列各数：＋(＋2)，＋(－2)，－(－2)，
－(＋2)，－[－(－2)]，＋[－(＋2)]，
＋[－(－2)]，其中负数有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
知1－练
1
C
2 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定
是( )
A．正数 B．正数或零
C．负数 D．负数或零
3 一个数的相反数等于它本身，这样的数一共
有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知1－练
B
A
知2－导
1.一个正数的绝对值与这个数有什么关系？ 一个负数
的绝对值与这个数有什么关系？ 0的绝对值呢？
2.请你用“从学校出发向东走和向西走”为背景， 说
明3，－5，－6.5 (单位：km)的绝对值所对应的实际
意义.
2 绝对值的性质
知2－导
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝
对值是它的相反数，0的绝对值是0.
知2－讲
绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，
即|a|≥0.
要点精析：(1)任何数都有绝对值，且只有一个；
(2)任何数的绝对值不可能是负数；
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等；而绝对值相
等的两个数相等或互为相反数；
(4)求一个数的绝对值时，要“先判后去”，即先判断
这个数是正数、0还是负数，再由绝对值的定义
去掉这个数的绝对值符号．
例2 求下列各数的绝对值：
，0， ， ，－4.5，－7.
知2－讲
解：
3
2
15
4
15 15 ,4 4
0 0,
|－4.5|＝4.5，
| － 7|＝7.
13 2
3 3 ,2 2
1 13 3 ,2 2
知2－讲
求一个数的绝对值的方法：去掉绝对值符号时，
必须按照 “先判后去”的原则，先判断这个数是
正数、0或负数，再根据绝对值的意义去掉绝对值
符号，总之要确保其结果为非负数且只有一个．
知2－练
1 如果|a|＝5，b是相反数为－4的数，求在数轴
上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．
解：由|a|＝5，得a＝5或a＝－5，由b是相反数为
－4的数，得b＝4，当a＝5，b＝4时，在数
轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离
为1；当a＝－5，b＝4时，在数轴上表示数a
的点与表示数b的点之间的距离为9.
知2－练
2 如果 ＋|b－1|＝0，那么a＋b＝( )
A．－ B. C. D．1
3 写出下列各式的值，并回答问题．
(1)|15|＝______，|2.5|＝________， ＝________；
(2)|－15|＝_____，|－2.5|＝_____， ＝________；
(3)由以上可以看出：
当a是正数时，|a|________0；
当a是负数时，|a|________0；
当a为任意有理数时，|a|________0.
1
2
1
2
3
2
1
2a
2
3
2
3
C
15 2.5
15 2.5
2
3
2
3
＞
＞
≥
理解绝对值的意义要从代数与几何两个方面入手，
其实质是任何数的绝对值都是非负数，即：
(1)正数、负数的绝对值是正数；
(2)0的绝对值是0，0是绝对值最小的数；
(3)若一个数的绝对值是正数，则这样的数有两个，它
们互为相反数.
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
绝对值的性
质
正数的绝对值为
其本身；负数的
绝对值为其相反
数；0的绝对值
还是0
1.0的绝对值可以看做等于它
本身或它的相反数.
2.绝对值相等的两个数可能
相等，也可能互为相反数
解题方法小
结
1.绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相
反数，绝对值等于0的数只有一个是0.
2.绝对值是距离，所以是非负数.
第一章 有理数
1.4 有理数的大小
1 课堂讲解 u用数轴比较有理数的大小
u用绝对值比较有理数的大小
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
我们已经会比较两个正数的大小及正数与0的
大小，那么，在有理数范围内，怎样比较两个数
的大小呢？
1 用数轴比较有理数的大小
知1－导
1.某地某一天中4个不同时刻的气温分别
是－3°C，－5 °C，4 °C，0 °C.
(1)请你按照由低到高的顺序把不同时刻的
气温排列出来.
(2)4个不同时刻的气温在温度计上对应的位置有什么规律？
2.把有理数－3，－5，4，0表示在数轴(如图)上.这些数的
大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系？
知1－导
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左
边的数大.
正数大于0，0大于负数，正数大于负数.
将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”
连接起来：－2，0，1，－0.5， ， .
知1－讲
例1
解：将这些数在数轴上表示出来，如下图所示.
所以－2＜ ＜－0.5＜0＜1＜ .
3
2
12 2
-1-2 0 1 2 3
-2 -0.5 10
3
2
12 2
3
2
12 2
知1－讲
利用数轴比较几个数的大小要把握两个关键：
一是在数轴上标出表示这些数的点的位置；二是确
定它们之间的左右关系．
在数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，
c，d，已知点A在点B的右边，点C在点B的左
边，点D在点B，C之间，则下列式子成立的
是( )
A．a＜b＜c＜d
B．b＜c＜d＜a
C．c＜d＜b＜a
D．c＜d＜a＜b
知1－练
1
C
2 【中考·丽水】在数－3，2，0，3中，大小在－1和2
之间的数是( )
A．－3 B．2 C．0 D．3
3 【中考·广东】如图所示，a与b的大小关系是( )
A．ab
C．a＝b D．b＝2a
知1－练
C
A
2 用绝对值比较有理数的大小
知2－导
1.在数轴上表示－2，－3，并用“＜”把这两个数连
接起来.
2.求－2，－3的绝对值，并用“＞”把这两个数的绝
对值连接起来.
问题：请以“规定高于海平面为正，低于海平面为负”
为背景，谈谈你对下列结论的理解：
(1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数.
(2)两个负数，绝对值大的反而小.
知2－讲
两个负数，绝对值大的反而小.
例2 比较下列各组中两个数的大小：
知2－讲
(1) ；(2) ；
(3) ; (4) .
5 6
6 7
和 22 3.137
和
5 和0 1 1
5 6
和
解： (1) ， ，6 5 35= =5 6 42
因为 6 6 35= =7 7 42
35 36 5 6 .42 42 6 7
且 ＜ ，所以- ＞
知2－讲
(2)
(3)
22 22= 3.14 3.13 =3.137 7
因为 ≈ ， ，
223.14 3.13 3.13.7
且 ＞ ，所以- ＜
5 = 5 5 0因为 ，且 ＜ ，
5 0.所以 ＜
1 1 1 1= =5 5 6 6
， ，因为正数大于负数，
1 1 1 1 .5 6 5 6
所以 ＞ ，即 ＞
(4)
知2－讲
通过本题我们了解到利用绝对值可以比较两个
负数的大小．
比较两个负 数大小的步骤：简记为“一求、二
比、三判断”.
第一步：分别求出两个负数的绝对值；
第二步：比较两个绝对值的大小；
第三步：根据“两个负数，绝对值大的反而小”
进行判断．
知2－练
1 比较大小：
1 12 2 .2 3
与
解：－ ＝－2 ，－ ＝－2 ，
因为2 ＞2 ， 所以－2 ＜－2 ，即
－ ＜－ .
1+2 2
1
2
12 3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1+2 2
12 3
知2－练
2 用“＜”号将－0.3，－
0，－34%连接起来．
· 1 10.333 , ,3 2
解：因为 所以正数中 ＜ ，
即 因为－ ＝－0.333，所以
负数中－34%
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