资料简介
2021 年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》
1．如图，反比例函数 y1＝ 和一次函数 y2＝mx+n 相交于点 A（1，3），B（﹣3，a），
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）连接 OA，试问在 x 轴上是否存在点 P，使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形，若存
在，直接写出满足题意的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）∵点 A（1，3）在反比例函数 y1＝ 的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为 y1＝ ，
∵点 B（﹣3，a）在反比例函数 y1＝ 的图象上，
∴﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
∵点 A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数 y2＝mx+n 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 y2＝x +2；
（2）如图，∵△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形，
∴①当 OA＝OP 时，
∵A（1，3），
∴OA＝ ，
∵OP＝ ，
∵点 P 在 x 轴上，
∴P（﹣ ，0）或（ ，0），
②当 OA＝AP 时，则点 A 是线段 OP 的垂直平分线上，
∵A（1，3），
∴P（2，0），
即：在 x 轴上存在点 P，使得△OAP 为以 OA 为腰的等腰三角形，此时，点 P 的坐标为（﹣
，0）或（2，0）或（ ，0）．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象 G 经过点 A（3，2），直线 l：y＝
kx﹣1（k≠0）与 y 轴交于点 B，与图象 G 交于点 C．
（1）求 m 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 在点 A，C 之间的部分与线段 BA，BC
围成的区域（不含边界）为 W．
①当直线 l 过点（2，0）时，直接写出区域 W 内的整点个数；
② 若区域 W 内的整点不少于 4 个，结合函数图象，求 k 的取值范围．
解：（1）把 A（3，2）代入 y＝ 得 m＝3×2＝6，
（2）①当直线 l 过点（2，0）时，直线解析式为 y＝ x﹣1，
解方程 ＝ x﹣1 得 x1＝1﹣ （舍去），x2＝1+ ，则 C（1+ ， ），
而 B（0，﹣1），
如图 1 所示，区域 W 内的整点有（3，1）一个；
②如图 2，直线 l 在 AB 的下方时，直线 l：y＝kx﹣1 过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得 k
＝ ，
当直线在 OA 的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得 k＝5，
观察图象可知：当 k≤ 或 k≥5 时，区域 W 内的整点不少于 4 个．
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（6，0），B（4，
3），C（0，3）．动点 P 从点 O 出发，以每秒 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动；
动点 Q 从点 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿边 BC 向终点 C 运动，设运动的时
间为 t 秒，PQ2＝y．
（ 1 ） 直 接 写 出 y 关 于 t 的 函 数 解 析 式 及 t 的 取 值 范 围 ：
；
（2）当 PQ＝ 时，求 t 的值；
（3）连接 OB 交 PQ 于点 D，若双曲线 y＝ 经过点 D，问 k 的值是否变化？若不
变化，请求出 k 的值；若变化，请说明理由．
解：（1）过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，如图 1 所示．
当运动时间为 t 秒时（0≤t≤4）时，点 P 的坐标为（ t，0），点 Q 的坐标为（4﹣t，3），
∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣ t|＝|4﹣ t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣ t|2＝ t2﹣20t+25，
∴y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围： ；
故答案为： ．
（2）当 时，
整理，得 5t2﹣16t+12＝0，
解得：t1＝2， ．
（3）经过点 D 的双曲线 的 k 值不变．
连接 OB，交 PQ 于点 D，过点 D 作 DF⊥OA 于点 F，如图 2 所示．
∵OC＝3，BC＝4，
∴ ．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴ ，
∴OD＝3．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在 Rt△OBC 中， ， ，
∴ ， ，
∴点 D 的坐标为 ，
∴经过点 D 的双曲线 的 k 值为 ．
4．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A（﹣3，m+8），B（n，
﹣6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）若 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当 x1＜x2 时，y1＞y2，
指出点 P、Q 各位于哪个象限？
解：（1）将 A（﹣3，m+8）代入反比例函数 y＝ 得﹣3（m+8）＝m，解得 m＝﹣6，
∴点 A 的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为 y＝﹣ ，
将点 B（n，﹣6）代入 y＝﹣ 得﹣6n＝﹣6，解得 n＝1，
∴点 B 的坐标为（1，﹣6），
将点 A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入 y＝kx+b 得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 y＝﹣2x﹣4；
（2）设 AB 与 x 轴相交于点 C，如图，
当﹣2x﹣4＝0，解得 x＝﹣2，则点 C 的坐标为（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝ ×2×2+ ×2×6，
＝2+6，
＝8；
（3）∵当 x1＜x2 时，y1＞y2，
∴点 P 和点 Q 不在同一象限，
∴P 在第二象限，Q 在第四象限．
5．如图，平面直角坐标系中，一次函数 y＝x﹣1 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，与
反比例函数 y＝ 的图象交于点 C，D，CE⊥x 轴于点 E， ＝ ．
（1）求反比例函数的表达式与点 D 的坐标；
（2）以 CE 为边作▱ ECMN，点 M 在一次函数 y＝x﹣1 的图象上，设点 M 的横坐标为 a，当
边 MN 与反比例函数 y＝ 的图象有公共点时，求 a 的取值范围．
解：（1）由题意 A（1，0），B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠CAE＝45°
∵AE＝3OA，
∴AE＝3，
∵EC⊥x 轴，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴EC＝AE＝3，
∴C（4，3），
∵反比例函数 y＝ 经过点 C（4，3），
∴k＝12，
由 ，解得 或 ，
∴D（﹣3，﹣4）．
（2）如图，设 M（a，a﹣1）．
当点 N 在反比例函数的图象上时，N（a， ），
∵四边形 ECMN 是平行四边形，
∴MN＝EC＝3，
∴|a﹣1﹣ |＝3，
解得 a＝6 或﹣2 或﹣1± （舍弃），
∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），
观察图象可知：当边 MN 与反比例函数 y＝ 的图象有公共点时 4＜a≤6 或﹣3≤a≤﹣2．
6．如图，一次函数 y＝kx+2 的图象与 y 轴交于点 A，正方形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴上，点 D
在直线 y＝kx+2 上，且 AO＝OB，反比例函数 y＝ （x＞0）经过点 C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点 P 是 x 轴上一动点，当△PCD 的周长最小时，求出 P 点的坐标；
（3）在（2）的 条件下，以点 C、D、P 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点 M 的
坐标．
解：（1）设一次函数 y＝kx+2 的图象与 x 轴交于点 E，连接 BD，如图 1 所示．
当 x＝0 时，y＝kx+2＝2，
∴OA＝2．
∵四边形 ABCD 为正方形，OA＝OB，
∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴OE＝2，点 E 的坐标为（﹣2，0）．
将 E（﹣2，0）代入 y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，
∴一次函数的解析式为 y＝x+2．
∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，
∴BD∥OA．
∵OE＝OB＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴点 D 的坐标为（2，4）．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴点 C 的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．
∵反比例函数 y＝ （x＞0）经过点 C，
∴n＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为 y＝ ．
（2）作点 D 关于 x 轴的对称点 D′，连接 CD′交 x 轴于点 P，此时△PCD 的周长取最小
值，如图 2 所示．
∵点 D 的坐标为（2，4），
∴点 D′的坐标为（2，﹣4）．
设直线 CD′的解析式为 y＝ax+b（a≠0），
将 C（4，2），D′（2，﹣4）代入 y＝ax+b，得： ，
解得： ，
∴直线 CD′的解析式为 y＝3x﹣10．
当 y＝0 时，3x﹣10＝0，解得：x＝ ，
∴当△PCD 的周长最小时，P 点的坐标为（ ，0）．
（3）设点 M 的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图 3 所示．
①当 DP 为对角线时， ，
解得： ，
∴点 M1 的坐标为（ ，2）；
②当 CD 为对角线时， ，
解得： ，
∴点 M2 的坐标为（ ，6）；
③当 CP 为对角线时， ，
解得： ，
∴点 M3 的坐标为（ ，﹣2）．
综上所述：以点 C、 D、P 为顶点作平行四边形，第四个顶点 M 的坐标为（ ，2），（ ，
6）或（ ，﹣2）．
7．如图在平面直角坐标系中，一次函数 y＝﹣2x﹣4 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于
点 A（1，n），B（m，2）
（1）求反比例函数关系式及 m 的值；
（2）若 x 轴正半轴上有一点 M 满足△MAB 的面积为 16，求点 M 的坐标；
（3）根据函数图象直接写出关于 x 的不等式在 ＜﹣2x﹣4 的解集
解：（1）∵一次函数 y＝﹣2x﹣4 的图象过点 A（1，n），B（m，2）
∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4
∴n＝﹣6 ，m＝﹣3，
∴A（1，﹣6）
把 A（1，﹣6）代入 y＝ 得，k＝﹣6，
∴反比例函数关系式为 y＝﹣ ；
（2）设直线 AB 与 x 轴交于 N 点，则 N（﹣2，0），
设 M（m，0），m＞0，
∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB 的面积为 16，
∴ |m+2|×（2+6）＝16，
解得 m＝2 或﹣6（不合题意舍去），
∴M（2，0）；
（3）由图象可知：不等式在 ＜﹣2x﹣4 的解集是 x＜﹣3 或 0＜x＜1．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，5）与点 C 关于原点 O 对称，分别过点 A、C 作 y
轴的平行线，与反比例函数 的图象交于点 B、D，连结 AD、BC，AD 与 x
轴交于点 E（﹣2，0）．
（1）求直线 AD 对应的函数关系式；
（2）求 k 的值；
（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．
解：（1）设直线 AD 对应的函数关系式为 y＝ax+b．
∵直线 AD 过点 A（3，5），E（﹣2，0），
∴ 解得
∴直线 AD 的解析式为 y＝x+2．
（2）∵点 A（3，5）关于原点 O 的对称点为点 C，
∴点 C 的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y 轴，
∴设点 D 的坐标为（﹣3，a），
∴a＝﹣3+2＝﹣1，
∴点 D 的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 D，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；
（3）如图：
∵点 A 和点 C 关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形 CDGF 的面积，
∴S 阴影＝4×3＝12．
9．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象分别与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限交于点 A（4，
3），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA＝OB．
（1）求函数 y＝kx+b 和 y＝ 的表达式；
（2）已知点 C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB＝MC，求此时点 M
的坐标．
解：（1）把点 A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，
∴y＝ ，
OA＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点 B 的坐标为（0，﹣5），
把 B（0，﹣5），A（4，3）代入 y＝kx+b 得：
∴y＝2x﹣5；
（2）作 MD⊥y 轴．
∵点 M 在一次函数 y＝2x﹣5 上，
∴设点 M 的坐标为（x，2x﹣5）．
∵MB＝MC，
∴CD＝BD，
∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2
∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5
解得：x＝
∴2x﹣5＝ ，
∴点 M 的坐标为（ ， ）．
10．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 在反比例函数 y＝ （k
≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点 P 在 x 轴的上方，且满足 S△PAO＝ S
矩形 OABC．
（1）若点 P 在这个反比例函数的图象上，求点 P 的坐标；
（2）连接 PO、PA，求 PO+PA 的最小值；
（3）若点 Q 是平面内一点，使得以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形，则请你直接写
出满足条件的所有点 Q 的坐标．
解：（1）由题意，可知：点 B 的坐标为（3，5）．
∵点 B 在反比例函数 y＝ （k≠0）的第一象限内的图象上，
∴k＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
∵S△PAO＝ S 矩形 OABC，
∴ ×3×yP＝ ×3×5，
∴yP＝3．
当 y＝3 时， ＝3，解得：x＝5，
∴当点 P 在这个反比例函数的图象上时，点 P 的坐标为（5，3）．
（2）由（1）可知：点 P 在直线 y＝3 上，作点 O 关于直线 y＝3 的对称点 O′，连接 AO
′交直线 y＝3 于点 P，此时 PO+PA 取得最小值，如图 1 所示．
∵点 O 的坐标为（0，0），
∴点 O′的坐标为（0，6）．
∵点 A 的坐标为（3，0），
∴AO′＝ ＝3 ，
∴PO+PA 的最小值为 3 ．
（3）∵AB∥y 轴，AB＝5，点 P 的纵坐标为 3，
∴AB 不能为对角线，只能为边．
设点 P 的坐标为（m，3），
分两种情况考虑，如图 2 所示：
①当点 Q 在点 P 的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，
解得：m1＝﹣1，m2＝7，
∴点 P1 的坐标为（﹣1，3），点 P2 的坐标为（7，3）．
又∵PQ＝5，且 PQ∥AB∥y 轴，
∴点 Q1 的坐标为（﹣1，8），点 Q2 的坐标为（7，8）；
②当点 Q 在点 P 的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，
解得：m3＝3﹣ ，m4＝3+ ，
同理，可得出：点 Q3 的坐标为（3﹣ ，﹣2），点 Q4 的坐标为（3+ ，﹣2）．
综上所述：当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形时，点 Q 的坐标为（﹣1，8），（7，8），
（3﹣ ，﹣2）或（3+ ，﹣2）．
11．如图，已知 C，D 是反比例函数 y＝ 图象在第一象限内的分支上的两点，直线 CD 分别
交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，设 C，D 的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且 x1＜x2，连接
OC、OD．
（1）若 x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；
（2）tan∠BOC＝ ，OC＝ ，求点 C 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线 CD 的解析式．
（1）证明：∵C，D 是反比例函数 y＝ 图象在第一象限内的分支上的两点，
∴y1＝ ，y2＝ ．
∵x1+y1＝x2+y2，即 x1+ ＝x2+ ，
∴x1﹣x2＝ ．
又∵x1＜x2，
∴ ＝1，
∴ ＝x2＝y1， ＝x1＝y2．
∴OC＝ ＝ ，OD＝ ＝ ，
∴OC＝OD．
（2）解：∵tan∠BOC＝ ，
∴ ＝ ．
又∵OC＝ ，
∴ + ＝10，
∴x1＝1，y1＝3 或 x1＝﹣1，y1＝﹣3．
∵点 C 在第一象限，
∴点 C 的坐标为（1，3）．
（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，
∴tan∠AOD＝ ，
∴ ＝ ．
∵点 C（1，3）在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴m＝1×3＝3，
∴x2•y2＝3，
∴x2＝3，y2＝1 或 x2＝﹣3，y2＝﹣1．
∵点 D 在第一象限，
∴点 D 的坐标为（3，1）．
设直线 CD 的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
将 C（1，3），D（3，1）代入 y＝kx+b，得： ，
解得： ，
∴直线 CD 的解析式为 y＝﹣x+4．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴、y 轴上，D 是对角线的交点，
若反比例函数 y＝ 的图象经过点 D，且与矩形 OABC 的两边 AB，BC 分别交于点 E，F．
（1）若 D 的坐标为（4，2）
①则 OA 的长是 8 ，AB 的长是 4 ；
②请判断 EF 是否与 AC 平行，井说明理由；
③在 x 轴上是否存在一点 P．使 PD+PE 的值最小，若存在，请求出点 P 的坐标及此时 PD+PE
的长；若不存在．请说明理由．
（2）若点 D 的坐标为（m，n），且 m＞0，n＞0，求 的值．
解：（1）①∵点 D 的坐标为（4，2），
∴点 B 的坐标为（8，4），
∴OA＝8，AB＝4．
故答案为：8；4．
②EF∥AC，理由如下：
∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 D（4，2），
∴k＝4×2＝8．
∵点 B 的坐标为（8，4），BC∥x 轴，AB∥y 轴，
∴点 F 的坐标为（2，4），点 E 的坐标为（8，1），
∴BF＝6，BE＝3，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
∵∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴∠BCA＝∠BFE，
∴EF∥AC．
③作点 E 关于 x 轴对称的点 E′，连接 DE′交 x 轴于点 P，此时 PD+PE 的值最小，如图所
示．
∵点 E 的坐标为（8，1），
∴点 E′的坐标为（8，﹣1），
∴DE′＝ ＝5．
设直线 DE′的解析式为 y＝ax+b（a≠0），
将 D（4，2），E′（8，﹣1）代入 y＝ax+b，得： ，
解得： ，
∴直线 DE′的解析式为 y＝﹣ x+5．
当 y＝0 时，﹣ x+5＝0，
解得：x＝ ，
∴当点 P 的坐标为（ ，0）时，PD+PE 的值最小，最小值为 5．
（2）∵点 D 的坐标为（m，n），
∴点 B 的坐标为（2m，2n）．
∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 D（m，n），
∴k＝mn，
∴点 F 的坐标为（ m，2n），点 E 的坐标为（2m， n），
∴BF＝ m，BE＝ n，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
又∵∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴ ＝ ＝ ．
13．如图，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝ （m≠0）的图象交于 A（﹣
3，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）结合图象直接写出不等式 ﹣kx﹣b＞0 的解．
解：（1）∵点 A（﹣3，1）在反比例函数 y＝ （m≠0）的图象上，
∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣ ，
∵点 B（1，n）也在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴n＝﹣ ＝﹣3，即 B（1，﹣3），
把点 A（﹣3，1），点 B（1，﹣3）代入一次函数 y＝kx+b 中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 y＝﹣x﹣2；
（2）如图所示，当 ＞kx+b 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜0 或 x＞1，
所以不等式 ﹣kx﹣b＞0 的解是：﹣3＜x＜0 或 x＞1．
14．如图，在 平面直角坐标系 xOy 内，函数 y＝ 的图象与反比例函数 y＝ （k≠0）图
象有公共点 A，点 A 的坐标为（8，a），AB⊥x 轴，垂足为点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 P 在线段 OB 上，若 AP＝BP+2，求线段 OP 的长；（3）点 D 为射线 OA 上一点，在
（2）的条件下，若 S△ODP＝S△ABO，求点 D 的坐标．
解：（1）∵函数 y＝ 的图象过点 A（8，a），
∴a＝ ×8＝4，
∴点 A 的坐标为（8，4），
∵反比例函数 y＝ （k≠0）图象过点 A（8，4），
∴4＝ ，得 k＝32，
∴反比例函数的解析式为 y＝ ；
（2）设 BP＝b，则 AP＝b+2，
∵点 A（8，4），AB⊥x 轴于点 B，
∴AB＝4，∠ABP＝90°，
∴b2+42＝（b+2）2，
解得，b＝3，
∴OP＝8﹣3＝5，
即线段 OP 的长是 5；
（3）设点 D 的坐标为（d， d），
∵点 A（8，4），点 B（8，0），点 P（5，0），S△ODP＝S△ABO，
∴ ，
解得，d＝ ，
∴ d＝ ，
∴点 D 的坐标为（ ， ）．
15．阅读理解：
如图（1），在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标是（1，2），点 B 的坐标是（3，4），
过点 A、点 B 作平行于 x 轴、y 轴的直线相交于点 C，得到 Rt△ABC，由勾股定理可得，
线段 AB＝ ＝ ．
得出结论：
（1）若 A 点的坐标为（x1，y1），B 点的坐标为（x2，y2）请你直接用 A、B 两点的坐标表
示 A、B 两点间的距离；
应用结论：
（2）若点 P 在 y 轴上运动，试求当 PA＝PB 时，点 P 的坐标．
（3）如图（2）若双曲线 L1：y＝ （x＞0）经过 A（1，2）点，将线段 OA 绕点 O 旋转，
使点 A 恰好落在双曲线 L2：y＝﹣ （x＞0）上的点 D 处，试求 A、D 两点间的距离．
解：（1）∵A 点的坐标为（x1，y1），B 点的坐标为（x2，y2），
∴根据两点间的距离公式得，AB＝ ；
（2）设点 P（0，a），
∵A 的坐标是（1，2），点 B 的坐标是（3，4），
∵PA＝ ，PB＝ ，
∵PA＝PB，
∴ ＝ ，
∴a＝5，
∴P（0，5）；
（3）∵双曲线 L1：y＝ （x＞0）经过 A（1，2）点，
∴OA＝ ，k＝1×2＝2，
∴双曲线 L1：y＝ （x＞0），双曲线 L2：y＝﹣ （x＞0），
设点 D 坐标为（m，﹣ ）（m＞0），
∴OD＝ ，
由旋转知，OA＝OD，
∴ ＝ ，
∴m＝±1 或 m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝1 或 m＝2，
∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．
∵A（1，2），
∴AD＝4 或 ．
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