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资料简介
重庆西南师大附中 2009—2010 学年度上期期末考试
初三数学试题
（时间：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的
括号中．
1． 27 的立方根是（ ）
A．3 B． 3 C．9 D． 9
2． 下列计算中，正确的是（ ）
A． 2 4 6x x x B． 2 3 5x y xy
C． 3 2 6( )x x D． 6 3 2x x x
3． 长度单位 1 纳米 910 米，目前发现一种新型病毒直径为 25100 纳米，用科学记数法表
示该病毒直径是（ ）
A． 625.1 10 米 B． 40.251 10 米
C． 52.51 10 米 D． 52.51 10 米
4． 如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置
的小正方体块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
1
2 3
俯视图
6． 把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大 到原来的 100 倍，那么边长扩大
到原来的（ ）
A．10 倍 B．100 倍 C．1000 倍 D．10000 倍
7． 已知抛物线 2 1y x x 与 x 轴的一个交点为 ( 0)m， ，则代数式 2 2008m m 的值为
（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
8． 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给
人一种美感．如图，某女士身高 165 cm；下半身长 x 与身高 l 的比值
是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
9． 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A～F 共 16
个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E + F = 1D，则用十六进制表示：A×E =（ ）
A．E0 B．10E C．EA D．8C
10． 如图，两个等腰 Rt△ABC、Rt△DEF 的斜边都为 4 2 cm，D、M 分别是
AB、AC 边上的中点，又 DE 与 AC（或 BC）交于点 P，当点 P 从 M 出发
以 1cm/s 的速度沿 MC 运动至 C 后又立即沿 CB 运动至 B 结束．若运动
时间为 t（单位：s），Rt△ABC 和 Rt△DEF 重叠部分的面积为 y（单位：
cm2），则 y 关于时间 t 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
x
l
（第 8 题图）
（第 10 题图）
A B
C D
E
（第 15 题图）
第 1 个 第 2 个 第 3 个
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每小题中，请将答案直接填在题
后的横线上．
11． 分解因式： 2 9xy x ．
12． 如图，AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D = ．
13． 某市出租车公司收费标准如图所示，如果小明乘此出租车最远能到达 13 千米处，那么
他最多只有 元钱．
（第 12 题图） （第 13 题图）
14． “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：
34，568，2469 等）．任取一个两位数，是“上升数”的概
率是 ．
15． 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第 10 个图案中有
__________________根火柴棒．
16． 一个商店以每 3 盘 16 元的价格购进一批录音带，又从另一个渠道以每 4 盘 21 元的价
格购进比前一批加倍的录音带，如果两种合在一起以每 3 盘 k 元的价格全部出售，可
得到投资 20%的收益，则 k 的值为_________________．
三、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤．
17． 计算： 2009 2 01( 1) ( ) ( 3 ) 1 2sin602
18． 解不等式组： 1 3( 1) 8
5 4 2( 1)
x x
x x
19． 解方程： 2 233 3
x
x x
20． 青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓 A、B、C 的距离相等．
(1) 若三所运动员公寓 A、B、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施
（用点 P 表示）的位置；
(2) 若∠BAC＝66 ，则∠BPC＝ ．
四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）解答时每小题必须给出必要的演
算过程或推理步骤．
A
B
C
21． 先化简，再求值
2
23 5( 2 )2 2
a a aa aa a
，其中 5 3a
22． 为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共 100
瓶，其中甲种 6 元/瓶，乙种 9 元/瓶．
(1) 如果购买这两种消毒液共用 780 元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
(2) 该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的 100 瓶），使乙种瓶数是甲种瓶
数的 2 倍，且所需费用不多于．．．1200 元（不包括 780 元），求甲种消毒液最多能再
购买多少瓶？
23． 已知：如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于 A、B 两点，过 A 作 AC x 轴
于点 C，已知 5OA ， 2OC AC ，且点 B 的纵坐标为 3 ．
(1) 求点 A 的坐标及该反比例函数的解析式；
(2) 求直线 AB 的解析式．
24． 如图，梯形 ABCD 中， //AB CD ， AD CD ， AC AB ， 30DAC ．点 E、F 是梯形
ABCD 外的两点，且 EAB FCB ， ABC FBE ， 30CEB ．
(1) 求证： BE BF ；
(2) 若 5CE ， 4BF ，求线段 AE 的长．
五、解答题：（本大题 2 个小题，第 25 小题 10 分，第 26 小题 12 分，共 22 分）解答时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25． 我市有一种可食用的野生菌，上市时，某经销公司按市场价格 30 元/千克收购了这种
野生菌 1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格 y（元）于存放天数 x
（天）之间的部分对应值如下表所示．
存放天数 x 天 2 4 6 8 10
市场价格 y 元 32 34 36 38 40
但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计 310 元，而且这类野生菌在冷库
中最多保存 110 天，同时平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售．
(1) 请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示 y 与 x
的变化规律，并直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；若存放 x 天后，将这批野生
菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为 P 元，试求出 P 与 x 之间的函数关系
式；
(2) 该公司将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润 w 元？并求出最大利润（利
润＝销售总额－收购成本－各种费用）
(3) 该公司以最大利润将这批野生菌一次性出售的当天，再次按市场价格收购这种野
生菌 1180 千克，存放冷库中一段时间后一次性出售，其他条件不变，若要使两次
的总盈利不低于 4.5 万元，请你确定此时市场的最低价格应为多少元？
（结果精确到个位，参考数据： 14 3.742 ， 1.4 1.183 ）
26． 如图，在平面直角坐标系中，直线 3 3y x 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛
物线 2 2 3 ( 0)3y ax x c a 经过 A、B、C 三点．
(1) 求过 A、B、C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标；
(2) 在抛物线上是否存在点 P，使 ABP△ 为直角三角形，若存在，直接写出 P 点坐标；
若不存在，请说明理由；
(3) 试探究在直线 AC 上是否存在一点 M ，使得 MBF△ 的周长最小，若存在，求出 M
点的坐标；若不存在，请说明理由．
（命题人：刘 亮 审题人：沈丽容）
西南师大附中 2009—2010 学年度上期期末考试
初三数学 试题参考答案
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）．
题号 1 2[来 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B A D C D C
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）．
A O x
y
B
F
C
11． ( 3)( 3)x y y 12．180 13．16 14． 2
5
15 ． 220
16．19
三、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）．
17．解：原式 1 4 1 |1 3 | ·········································································4 分
4 1 3 1 ·············································································· 5 分
4 3 ······················································································6 分
18．解： 1 3( 1) 8
5 4 2( 1)
x x
x x
①
②
由①得：1 3 3 8x x
3 8 4x x
2 12x
x < 6············································································ 3 分 由②得： 5 4 2 2x x 3 6x 2x ··············································································5 分 ∴ 原不等式组的解集为 2 6x ····························································6 分 19．解： 2 3( 3) 2x x 2 3 9 2x x 2 5x 5 2x ·················································································· 5 分 经检验： 5 2x 是原方程的解··································································· 6 分 20．(1) 作图略································································································ 4 分 (2) 132·····································································································6 分 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤． 21．解：原式 2 33 4 5( )2 2 2 a a a a a a a a ······························································· 2 分 2 33 9 2 2 a a a a a a ·········································································· 4 分 ( 3) 2 2 ( 3)( 3) a a a a a a a ································································· 6 分 1 3a ························································································· 8 分 当 5 3a 时，原式 1 1 5 55 3 3 5 ············································ 10 分 22．解：(1) 设甲、乙两种消毒液各购买 x 瓶、y 瓶．············································· 1 分 根据题意得： 100 6 9 780 x y x y 解得 40 60 x y ····································4 分 答：甲种消毒液购买 40 瓶，乙种消毒液购买 60 瓶．····························· 5 分 (2) 设甲种消毒液购买 a 瓶，则乙种消毒液购买 2a 瓶．·······························6 分 由题意得： 6 9 2 1200a a 解得： 50a ················································································· 9 分 答：甲种消毒液最多能买 50 瓶．····················································· 10 分 23．解：(1) ∵ AC⊥x 轴，OC = 2AC， 5OA ， ∴ 在 Rt△ACO 中，设 OC = a，AC = 2a，则 2 24 5a a ∴ 2 1a ，又 a > 0，则 a = 1．·······················································1 分
∴ 点 A 的坐标为（– 2，1）····························································2 分
设所求反比例函数的解析式为： ( 0)ky kx
········································3 分
∵ 点 A 在此反比例函数的图象上
∴ 1 2
k
∴ k = – 2 ················································································· 4 分
故所求反比例函数的解析式为： 2y x
···············································5 分
(2) 设直线 AB 的解析式为： y kx b ······················································ 6 分
∵ 点 B 在反比例函数 2y x
的图象上，点 B 的纵坐标为– 3，设 B（m，– 3）．
∴ 2 23 3mm
， ．
∴ 点 B 的坐标为（ 2
3
，– 3）．·························································7 分
由题意，得
1 2
23 3
a b
a b
··································································· 8 分
解得：
3
2
2
a
b
··············································································· 9 分
∴ 直线 AB 的解析式为： 3 22y x ················································ 10 分
24．(1) 证明：∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴ 90 30DAB DAC ，且
∴ 60BAC
∵ AB = AC，∴△ABC 为等边三角形
∴ AB = BC··················································································2 分
又∵∠ABC =∠FBE，∴ ∠ABE =∠CBF···············································3 分
在△ABE 和△CBF 中[
EAB FCB
AB CB
ABE CBF
∴ △ABE≌△CBF·········································································· 4 分
∴ BE = BF··················································································5 分
(2) 连接 EF
由(1)知△ABC 为等边三角形，∴ 60ABC [
又∵∠ABC =∠FBE，∴ 60FBE ····························································6 分
∵ BE = BF，△EBF 为等边三角形，
∴ 60BEF ，EF = BF········································································· 7 分
∵ 30CEB ，∴ 90CEF
∴ 在 Rt△CEF 中， 2 2 2 2 2CF CE EF CE BF ，
∵ CE = 5，BF = 4，∴ 41CF ····························································9 分
又由(1) △ABE≌△CBF 知，AE = CF．
∴ 41AE ······················································································· 10 分
五、解答题：（本大题 2 个小题，第 25 小题 10 分，第 26 小题 12 分，共 22 分）解答时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．解：(1) 30y x ···················································································· 1 分[
( 30)(1000 3 )P x x
23 910 30000x x ····································································· 3 分
(2) 310 1000 39w P x
23 910 30000 310 1000 30x x x
23 600x x
23( 100) 30000x ····································································5 分
∵ 0 110x ，∴ 当 x = 100 时，利润 w 最大，最大利润为 30000 元，
∴ 该公司将这批野生菌存放 100 天后出售可获得最大利润 30000 元．········6 分
(3) 由(2)可知，该公司以最大利润出售这批野生菌的当天，市场价格为 130 元，
设再次进货的野生菌存放 a 天，则利润·················································7 分
1 ( 130)(1180 3 ) 310 130 1180w a a a
23 480a a ··············································································· 8 分
∴两次的总利润为 2
2 3 480 30000w a a
由 23 480 30000 45000a a ，解得 80 10 14a ································9 分
∵ 3 0 ， ∴当80 10 14 80 10 14a 时，两次的总利润不低于 4.5 万
元，
又∵ 0 110 14 3.742x ， ，∴当 43a 时，此时市场价格最低，市场最低价
格应 173 元．·················································································10 分
26．解：(1) ∵ 直线 3 3y x 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．
∴ ( 1 0)A ， ， (0 3)C ， ·································································· 1 分
∵点 A，C 都在抛物线上，
2 30 3
3
a c
c
3
3
3
a
c
∴ 抛物线的解析式为 23 2 3 33 3y x x ········································ 3 分
∴ 顶点 4 3(1 )3F ， ········································································ 4 分
(2) 存在
1(0 3)P ， ······················································································ 6 分
2 (2 3)P ， ······················································································8 分
(3) 存在
理由：延长 BC 到点 B，使 B C BC ，连接 B F 交直线 AC 于点 M，则点 M 就是
所求的点．
过点 B 作 B H AB 于点 H．
∵点在抛物线 23 2 3 33 3y x x 上，
∴ B（3，0）
在 Rt BOC△ 中， 3tan 3OBC ，
∴ 30OBC ， 2 3BC ，在 Rt BB H△ 中， 1 2 32B H BB ，
3 6BH B H ，∴ OH = 3，∴ 'B (– 3， 2 3 )······························ 10 分
设直线 B F 的解析式为 y kx b ∴
2 3 3
4 3
3
k b
k b
解得
3
6
3 3
2
k
b
∴ 3 3 3
6 2y x
∴
3 3
3 3 3
6 2
y x
y x
解得
3
7
10 3
7
x
y
，
∴ 3 10 3
7 7M （ ， ）
∴在直线 AC 上存在点 M，使得 MBF△ 的周长最小，此时 3 10 3
7 7M （ ， ）．
································································································ 12 分
A O x
y
B
F
C
H
B M
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