资料简介
第二十一章二次根式 复习
（一） 基础过关
1、二次根式的概念：形如 a （ ）的式子叫做二次根式． 2)( a = （a≥0）．
练习 1:（1） 2)8( = （2） 2)9( = （3） 81 = （4） 100 =
2、 二次根式的非负性：（1） a ≥0 （2）被开方数 a≥0
练习 2：x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1） 3x ； （2） 52 x ； （3）
x
1 ； （4）
x1
5 ．
3、运算法则 a b× = ， ab = （a≥0，b≥0） ；
b
a ________（a≥0，b＞0）．
4、最简二次根式：满足（1） ，（2） 这两个条件的二次根式。
5、同类二次根式：化简后，根式部分相同的二次根式为同类二次根式
(二) 能力提升
1．以下二次根式：① 12 ；② 22 ；③ 2
3
；④ 27 中，与 3 是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．9. 2 3 和 3 2 的大小关系是（ ）
A. 2 3 3 2 B. 2 3 3 2 C. 2 3 3 2 D. 不能确定
3：化简： （1） 213
（2） 1.5 （3） 2
3
（4） 1
3 2-
4、计算（1）
a
ba 2 （2） 22 45 aa （3） )32)(32( nmnm
（三）综合拓展
5、 在实数范围内分解因式： 4 29 __________, 2 2 2 __________x x x
6. 若 24 2x x ，则 x 的取值范围是 。
7. 已知 3 2, 3 2x y ，则 3 3 _________x y xy
（一）基础过关
1、计算（1） ( 8 3) 6 （2） (4 2 3 6) 2 2 （3） ( 5 3)( 5 3)
(4) 3 2 2 5 2 5 3 2 (5) 2
4 3 3 2 (6) 3 2 2 5 2 5 3 2
（二） 能力提升
2、（1） 4 1 4( 80 1 ) ( 3 45)5 5 5
（2） 32 12 5 24
（3） 1 132 2 75 0.58 3
3、计算：（1） 1
0
2
1126.330tan6
（2） 1 0 21( ) ( 5 2) 18 ( 2) 23
（三）综合拓展
4．若最简二次根式 ba 3 与 ba b2 是同类二次根式，则 a＝______，b＝______．
5、当 x= 时， 2 1 1y x 最小，最小值为 。6. 2000 2001
3 2 3 2
7. 若 24 2x x ，则 x 的取值范围是 。
8、 当1 5x 时， 21 5x x
9. 若 3 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则 3x y =
10. 若 2 4 4 0x y y y ， xy = 。
（一）基础过关
1、（1） 10
4
145sin21218 ）（）（ （2） 0 29 3 618 ( 3 2) (1 2)2 3
2、先化简，再求值．(1) )6()3)(3( aaaa ，其中
2
15 a
（二） 能力提升
3. 已知： 1 1 10a a
， 2
2
1a a
= 。
4、实数 a、b 在数轴上的位置如图所示．化简 2 2 2( )a b a b ．
5、 2( 1) 5x x
（三）综合拓展
6. 把 1a a
的根号外的因式移到根号内等于
7、已知 2
1 1a a
a a
，则 a 的取值范围是（ ）
A． 0a ≤ B． 0a C． 0 1a ≤ D． 0a
8、若代数式 2 2(2 ) ( 4)a a = 2 ，则 a 的取值范围是
9. 已知： 3 2 3 2,
3 2 3 2
x y
，求
3 2
4 3 2 2 32
x xy
x y x y x y
的值。
第二十一章一元二次方程 解法与根 复习
（一）基础过关
1 下列关于 x 的方程，一元二次方程有
⑴ 35
2
2 x
；⑵ 062 xx ；（3） 5 xx ；（4） 02 x ；（5） 12)3(2 2 xxx
2、直接开平方法 ( )24 5 16x + = ； ww w.
3、 用配方法解：
（1） 0562 xx ； （2） 022
72 xx （3） 0293 2 xx ；
4、 用因式分解法解
（1） xx 45 2 ； （2） 025)32( 2 x ； （3） 22 2596 xxx
5、用公式法解
（1） 0132 2 xx ； （2） 0122 xx ； （3） 0252 xx
（二） 能力提升
6、已知关于 x 的方程 2 6 0x kx 的一个根为 3x ，则实数 k 的值为 ，另一个根为
7、若 0x 是二次方程 2 2( 2) 3 2 8 0m x x m m 的解，则 m ＝ ．
（三）综合拓展
8、若 a、b 是方程 22 3 11 0x x- - = 的两根，则 2 24 2 6 3 5a b a b- - + + =
9、是关于 x 的方程 2 2 0x mx n 的根，则 m+n 的值为 （ ）.
（A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2
第二十一章一元二次方程 根的判别式、根与系数关系式 复习
（一）基础过关
1、方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为 x1, x2，则 x1+ x2= x1 x2=
2、若方程 2 3 1 0x x 的两根为 1x 、 2x ，则则 x1+ x2= x1 x2=
3、如果方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个不等实根，则实数 a 的取值范围是___ ___．
（二） 能力提升
5、已知关于 x 的方程 01)12(22 xkxk ，当 k 取何值时
(1) 方程有两个不相等的实数根？
(2) 两个相等的实数根？
(3) 无实根？
(4) 有实根？
(5) 若方程有两个实数根 1x 、 2x ，问是否存在实数 k ，使方程
的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在
，请说明理由。
6、已知 1 2,x x 是方程 x2
－2x-1=0 的两个实数根，求
（1）x1+x2 和 x1x2 的值
（2） 1 22 1 2 1x x
（3） 2 2
1 2x x
（4）
21
11
xx
（5）x1
2 -3 x1 - x2
（三）综合拓展
7、关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x mx m 的两个实数根分别是 1 2x x、 ，且 2 2
1 2 7x x ，则 2
1 2( )x x 的
值是
8、已知 ， 是方程 x2＋２x-5＝0 的实数根，求 22 的值
第二十一章一元二次方程 应用题 复习
（一）基础过关
1 平面有若干个点，（任意三点不在同一条直线上），过任意两点画一条直线，若共可以画 36 条直线，求点数？
2、某班级一个小组新年互赠贺年卡 72 张，这个小组共有多少人？
3、某市房价 2010 年为约为 5000 元/米 2 ，2012 年的房价涨至约 6050 元/米 2 ，若每年的增长率相同，求
这个平均增长率。
4、一种药品经过两次降价，从原来每次 60 元降至现在的 48.6 元，则平均每次降价的百分率是多少？
5、振中的生物小组有一块长 32m，宽 20m 的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横
各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为 540 2m ，小道的宽应是多少？
（二） 能力提升
6、 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有 81 台电脑被感染.请你用学
过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的
电脑会不会超过 700 台？
5、已知：如图，在△ABC 中， 90 , 5cm, 7cmB AB BC .点 P 从点 A 开始沿
AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移
动.（1）如果 P , Q 分别从 A,B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于 4cm2？（2）
几秒后，PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于 7cm2?说明理
由.
（三）综合拓展
6、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了收费标准：如果人数不超过 25 人，人均旅游费
用为 1000 元. 如果人数超过 25 人，每增加 1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700 元.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工
去天水湾风景区旅游？
圆的性质及垂径定理
（二） 基础过关：
1．已知：AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB=8cm， OC=5cm， 则 DC 的长为（ ）
A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm
2．如图，⊙O 的直径为 12cm，弦 AB 垂直平分半径 OC，那么弦 AB 的长为（ ）
A、3 cm B、6cm C、6 cm D、12 cm
3．如图，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，
求 CD 的长．
（三） 能力提升
4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以 A 为圆心，12cm 为半径作圆，则点 C 与⊙A 的位置
关系是 ．
5．⊙O 的半径是 3cm，P 是⊙O 内一点，PO=1cm，则点 P 到⊙O 上各点的最小距离是 ．
6．如图，半圆的直径 10AB ，点 C 在半圆上， 6BC ．
（1）求弦 AC 的长；（2）若 P 为 AB 的中点， PE AB⊥ 交 AC 于点 E，求 PE 长．
（四） 综合拓展
7.如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD＝5．
（1）若 sin∠BAD 3
5
，求 CD 的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形 OAC（阴影
部分）的面积（结果保留 ）．
圆心角、圆周角
（一）基础过关
1、如图，ΔABC 是⊙O 的内接正三角形，若 P 是 上一点，则∠BPC=______；若 M 是 上一点，则∠
BMC=______．
P B
C
E
A
第 6 题图
2、在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是 上一点，则∠ACB 等于( )．
A．80° B．100° C．130° D．140°
3、已知：如图，A、B、C、D 在⊙O 上，AB=CD．
求证：∠AOC=∠DOB．
（二）能力提升
4．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
5．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD 是⊙O 的直径，BD 交 AC 于点 E，连结 DC，则
∠AEB 等于( ) A．70° B．90° C．110° D．120°
第 4 题图 第 5 题图
6．已知：如图，⊙O 的直径 AE=10cm，∠B=∠EAC．求 AC 的长．
（三）综合拓展
7.（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC 的度数．
圆中的位置关系
（一）基础过关
1、1．已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( )．
A．65° B．50° C．45° D．40°
2、若两个圆相切于 A 点，它们的半径分别为 10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为( )．
A．14cm B．6cm
C．14cm 或 6cm D．8cm
3、已知：Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以 C 点为圆心，作半径为 R 的圆，求：
(1)当 R 为何值时，⊙C 和直线 AB 相离?(2)当 R 为何值时，⊙C 和直线 AB 相切?
(3)当 R 为何值时，⊙C 和直线 AB 相交?
（二）能力提升
4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )．
A． 3:2:1 B． 3:2:1 C． 2:3:1 D．1∶2∶3
5、已知：如图，PA，PB 分别是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=35°，求∠P 的度数．
6、已知：如图，PA，PB，DC 分别切⊙O 于 A，B，E 点．
(1)若∠P=40°，求∠COD；
(2)若 PA=10cm，求△PCD 的周长．
（三）综合拓展
7、如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦， 4OC ， 60OAC ．
（1）求∠AOC 的度数；
（2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与⊙O 相切时，求 PO 的长；
（3）如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按 A 照逆时针的方向运动，当 MAO CAOS S△ △ 时，
求动点 M 所经过的弧长．
圆的有关计算
（一）基础过关
1．有一个长为 12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是
( )．
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
2．半径为 5cm 的圆中，若扇形面积为 2cm3
π25 ，则它的圆心角为______．若扇形面积为 15cm2，则它的圆
心角为______．
3．若半径为 6cm 的圆中，扇形面积为 9cm2，则它的弧长为______．
（二）能力提升
4．若把一个半径为 12cm，圆心角为 120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半
径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．
5．若圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 3cm，则它的侧面积为( )．
A．2cm2 B．3cm2 C．6cm2 D．12cm2
6．若圆锥的底面积为 16cm2，母线长为 12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．
A．240° B．120° C．180° D．90°
7．底面直径为 6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为 216°，则这个圆锥的高为( )．
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
8．若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．
A．120° B．1 80° C．240° D. 300°
9．如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，且 13AB ， 5BC ．
（1）求sin BAC 的值；
（2）如果OD AC ，垂足为 D ，求 AD 的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
第 9 题图
（三）综合拓展
10．如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4 的半径都为 1，其中⊙O1 与⊙O2 外切，⊙O2、⊙O3、⊙O4
两两外切，并且 O1、O2、O3 三点在同一直线上．
（1）请直接写出 O2O4 的长；
（2）若⊙O1沿图中箭头所示方向在⊙O2、的圆周上滚动，最后⊙O1滚动到⊙O4的位置上，试求
在上述滚动过程中圆心O1移动的距离．
11. .如图，某种雨伞的伞面可以看成由 12 块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角
形 OAB 的边 OA=OB=56cm.
（1）求∠AOB 的度数；
（2）求△OAB 的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）
圆小检测
同学们，经过一段时间的复习，该检验一下你们的实力了，请一定要注意步骤书写.
一、选择题
1．已知⊙O1 和⊙O2 相切，两圆的圆心距为 9cm，⊙O1 的半径为 4cm，则⊙O2 的半径为（ ）
A．5cm B.13cm C.9cm 或 13cm D.5cm 或 13cm
2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A B
C
D
O
A
B
C
P
O
A．与 x 轴相离、与 y 轴相切 B．与 x 轴、 y 轴都相离
C．与 x 轴相切、与 y 轴相离 D．与 x 轴、 y 轴都相切
3．圆锥的侧面积为 8πcm2, 侧面展开图圆心角为 45°,则该圆锥母线长为（ ）
A．64cm B．8cm 22 2cm cm4
Ｃ、 Ｄ、
4.如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么三角形的边长为（ ）
A．2 B． 32 C． 3 D．3
5、如图， PA PB， 分别是圆 O 的切线， A B， 为切点， AC 是圆 O 的直径， 35BAC ， P
的度数为（ ）
A．35 B． 45 C． 60 D． 70
二、填空题
6．如图， AB 是⊙O 的弦， OC AB 于点 C ，若 8cmAB ， 3cmOC ，则⊙O 的半径为
cm．
7．若 O 为△ABC 的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC= °．
8．圆 O1 和圆 O2 的半径分别为 3cm 和 5cm，且它们内切，则圆心距 1 2O O 等于
cm．
9．圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，它的侧面积是 ______．
10．已知⊙O 的半径是 3，圆心 O 到直线 l 的距离是 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ．
三、解答题
11． AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于 A ，OP 交⊙O 于C ，连 BC ．若 30P ，求 B 的度数．
12. 10.如图， AB 是圆 O 的一条弦， OD AB ，垂足为 C ，
交圆 O 于点 D ，点 E 在圆 0 上．
（1）若 52AOD ，求 DEB 的度数；
（2）若 3OC ， 5OA ，求 AB 的长．
www .
概率初步
（一）基础过关
1.下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A 水中捞月 B 拔苗助长 C 守株待兔 D 瓮中捉鳖
2. 一个袋中装有 6 个黑球 3 个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，
随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
O
第 5 题图
A
B C
OP
A C
B
O
第 6 题图
第 4 题图
第 12 题图
E
B
D
CA
O
1 1 1 2. . . .9 3 2 3A B C D
3.有两个不同形状的计算器（分别记为 A,B）和与之匹配的保护盖（分别记为 a,b）如图所示散乱地放在桌子
上。
（1）若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率。
（2）若从计算器 和保护盖中随机取两个，用树状图或列表法，求恰好匹配的概率。
（二）能力提升
4.今年“五·一”节，益阳市某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于 30 元的顾客均有一
次转动转盘的机会(如图，转盘被分为 8 个全等的小扇形)，当指针最终指向数字 8 时，该顾客获
一等奖；当指针最终指向 2 或 5 时，该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计，当天
发放一、二等奖奖品共 600 份，那么据此估计参与此次活动的顾客为______人次．
5.甲盒子中有编号为 1、2、3 的 3 个白色乒乓球，乙盒子中有编号为 4、5、6 的 3 个黄色乒乓球．现分别从
每个盒子中随机地取出 1 个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于 6 的概率为（ ）．ww w.
A．
9
4 B．
9
5 C．
3
2 D．
9
7
（三）综合拓展
6.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，每次将球搅拌
均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定
在 25%，那么可以推算出 a 大约是（ ）
(A)12 (B)9 (C)4 (D)3
7. 2010 年上海世博会某展览馆展厅东面有两个入口 A，B，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所
示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．
(1)她从进入到离开共有多少种可能的结果?(要求画出树状图)
(2)她从入口 A 进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少?
二次函数的图像和性质
（一）基础过关
1、若函数 433 1 xxmy m 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．3 或 3 Ｂ．3 Ｃ． 3 Ｄ．2 或 2
2、将二次函数 xxy 323 化为一般形式为 .
3、若二次函数 21 xmy 的图象的开口方向向上，则 m 的取值范围为 .
4、抛物线 222
1 xy -5 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是
（二）能力提升
1、把抛物线 2
2
1 xy 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此时
抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .
2．若二次函数 12
11 xay 与二次函数 32
22 xay 图象的形状完全相同，则 1a 与 2a 的关系为（ ）
A． 1a = 2a B． 1a = 2a C． 1a = 2a D．无法判断
3、二次函数 22 4 6y x x
⑴利用配方法将一般形式化为顶点式
⑵通过列表、描点画出该函数图象；
⑶此函数的开口方向 ；顶点坐标为 ，意义为 ；对称轴
为 .
⑷其图象是由 22xy 的图象经过怎样的图形变换得到的？www .
⑸若将此图象沿 y 轴向上平移 5 个单位长度，再沿 x 轴向左平移 2 个单位长度得到的新的二次函数解析式
为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .
（三） 综合拓展
已知抛物线 322 xxy
⑴求此抛物线与 x 轴的交点 A 、 B 两点的坐标，与 y 轴的交点 C 的坐标.
⑵求 ABC 的面积.
⑶在直角坐标系中画出该函数的图象
⑷根据图象回答问题：①当 0y 时， x 的取值范围？②当 0x 时， y 的取值范围？③当 ______x 时， y 随 x
的增大而增大；当 ______x 时， y 随 x 的增大而减小；
与二次函数系数相关代数式符号的判定
（一）基础过关
1．已知抛物线 cbxaxy 2 的图象如图，判断下列式子与 0 的关系.（填“ ”“ ”“ ”）
① 0____a ； ② 0_____b ； ③ 0____c ； ④ 0____cba ；
⑤ 0____cba ； ⑥ 0_____42 acb ； ⑦ 0____2 ba ； ⑧ 0____2 ba ；
2、已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 1 所示，则 a，b，c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
3、不论 x 为何值,函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于 0 的条件是( )
A.a>0,△>0; B.a>0, △
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