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资料简介
高二数学选修 2－1 质量检测试题（卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2
页。第Ⅱ卷 3 至 6 页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题
卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 顶点在原点，且过点 ( 4,4) 的抛物线的标准方程是
A. 2 4y x B. 2 4x y
C. 2 4y x 或 2 4x y D. 2 4y x 或 2 4x y
2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.
(1) (1,2,1)a , (1, 2,3)b ； (2) (8,4, 6)a , (4,2, 3)b ；
（3） (0,1, 1)a , (0, 3,3)b ； （4） ( 3,2,0)a , (4, 3,3)b
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3. 若平面 的法向量为 1 (3,2,1)n ，平面 的法向量为 2 (2,0, 1)n ，则平
面 与 夹角的余弦是
A. 70
14 B. 70
10 C. 70
14
D. － 70
10
4.“ 5 ,12k k Z ”是“ 1sin 2 2
”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. “直线 l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的（ ）
条件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
6.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 1 1A B 的中点，则 1A B 与 1D E 所成角
的余弦值为
A． 5
10
B． 10
10
C． 5
5
D． 10
5
7. 已知两定点 1(5,0)F ， 2 ( 5,0)F ，曲线上的点 P 到 1F 、 2F 的距离之差的绝
对值是 6，则该曲线的方程为
A.
2 2
19 16
x y B.
2 2
116 9
x y C.
2 2
125 36
x y D.
2 2
125 36
y x
8. 已知直线 l 过点 P(1,0,－1)，平行于向量 (2,1,1)a ，平面 过直线 l 与点
M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是
A. (1,－4,2) B. 1 1( , 1, )4 2
C. 1 1( ,1, )4 2
D. (0,－1,1)
9. 命题“若 a b ，则 a c b c ”的逆否命题是
A. 若 a c b c ，则 a b B. 若 a c b c ，则 a b
C. 若 a c b c ，则 a b D. 若 a c b c ，则 a b
10 . 已知椭圆
2 2
110 2
x y
m m
，若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ，则 m 等于
A. 4 . B.5. C. 7 . D.8 .
11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：
（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；
(2) “ a b ”是“ 2 2a b ”的充要条件；
(3) “ 3x ”是“ 2 2 3 0x x ”的必要不充分条件；
（4）“ A B B ”是“ A ”的必要不充分条件.
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
12。双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F 作
倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线
的离心率为
A． 6 B． 5 C． 3 D． 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上。
13．请你任意写出一个全称命题 ；其否命题为 .
14．已知向量 ( 0 , 1,1)a ， ( 4 , 1 , 0 )b ，| | 29a b 且
0 ，则 = ____________.
15． 已知点 M（1，－1，2），直线 AB 过原点 O, 且平行于向量（0，2，1），
则点 M 到直线 AB 的距离为__________.
16．已知点 P 到点 (3,0)F 的距离比它到直线 2x 的距离大 1，则点 P 满足
的方程为 .
17．命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 .
18. 已知椭圆 2 24 16x y ，直线 AB 过点 P（2，－1），且与椭圆交于 A、B
两点，若直线 AB 的斜率是 1
2
，则 AB 的值为 .
高二数学选修 2－1 质量检测试题（卷）2009.2
题号 二 三 总分 总分人
19 20 21 22
得分 复核人
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
13．全称命题是 ; 其否命
题是 .
14. _____. 15. . 16.
17.________________. 18. __________________.
三、解答题：本大题共4 小题，共60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. （本小题满分 15 分）请你用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构造三个命题，
并说出它们的真假，不必证明.
20. （本小题满分 15 分）已知椭圆的顶点与双曲线
2 2
14 12
y x 的焦点重合，
它们的离心率之和为13
5
，若椭圆的焦点在 x 轴上，求椭圆的方程.
N
M
A
B
D
C
O
21. （本小题满分 15 分）如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 是边长
为 1 的菱 形，
4ABC , OA ABCD 底面 ,
2OA , M 为OA 的中点， N 为 BC 的中点，以 A
为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解
答以下问题：
（Ⅰ）证明：直线 MN OCD平面‖ ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离.
22. （本小题满分 15 分）已知椭圆的焦点在 x 轴上，短轴长为 4，离心率为 5
5 .
(1)求椭圆的标准方程； （2）若直线 l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于 M、N
两点，且 16 59MN ，求直线 l 的方程.
数学选修 2－1 质量检测参考答案及评分标准 2009.2
一、选择题：本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1. C. （p75 练习题 1 改） 2. B（p38 练习题 3 改） 3. A（p45 练习
题 2 改）
4. B.（复习题一 A 组 4 题改） 5. C．（08 上海卷理 13） 6. B（08 四川
延考文 12）
7. A（p80，练习题 1（2）改） 8. D（复习题二 A 组 13 题改） 9. C（p5,练
习题 2 改）
10 . D（复习题三 A 组 2 题改） 11． A（复习题一 A 组 1 题改） 12。C．（08
陕西高考）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13．答案不唯一，正确写出全称命题得 3 分，正确写出其否命题得 2 分.
14． 3 （08 海南宁夏卷理 13）. 15． 8（选修 2－1，p50 练习题改）
16． 2 12y x （选修 2－1 p76， A 组 5 题改） 17．没有一个偶数是素
数
18. （p96， 复习题三 A 组 8 题改）
三、解答题：本大题共4 小题，共60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 答案不唯一，每正确写出一个命题得 3 分，正确说出命题的真假每个
得 2 分.
20. （选修 2－1，p96，复习题二，B 组 2 题改）
解：设所求椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，其离心率为 e ，焦距为 2 c ，双曲线
2 2
14 12
y x 的焦距为 2 1c ，离心率为 1e ，（2 分），则有：
2
1 4 12 16c ， 1c ＝4 （4 分）
∴ 1
1 22
ce （6 分）
∴ 13 325 5e ，即 3
5
c
a
① （8 分）
又 1b c ＝4 ② （10 分）
2 2 2a b c ③ （12 分）
由①、 ②、③可得 2 25a
∴ 所求椭圆方程为
2 2
125 16
x y （15 分）
21. （本小题满分 15 分）（08 安徽卷理 18）
解： 作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 , ,x y z 轴建立坐标
系
2 2 2 2 2(0,0,0), (1,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0,2), (0,0,1), (1 , ,0)2 2 2 4 4A B P D O M N
,（3 分）
(1) 2 2 2 2 2(1 , , 1), (0, , 2), ( , , 2)4 4 2 2 2MN OP OD
（5 分）
设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD
即
2 2 02
2 2 2 02 2
y z
x y z
取 2z ,解得 (0,4, 2)n （7 分）
2 2(1 , , 1) (0,4, 2) 04 4MN n ∵
MN OCD 平面‖ （9 分）
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 , 2 2(1,0,0), ( , , 1)2 2AB MD ∵
1cos ,2 3
AB MD
AB MD
∴ ∴ , AB 与 MD 所成角的大小为
3
（13 分）
(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为OB
在向量 (0,4, 2)n 上的投
影的绝对值,
由 (1,0, 2)OB
, 得 2
3
OB n
d n
.所以点 B 到平面 OCD 的距离
为 2
3
（15 分）
22. （p87，例 3 改） 解：（1）设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
， （2 分）
由已知有： 52 4, 5
cb e a
(4 分)， 2 2 2a b c ，（6 分）
解得： 2 25, 2, 1, 1a b c c
∴ 所求椭圆标准方程为
2 2
15 4
x y ①（8 分）
（2）设 l 的斜率为 k ，M、N 的坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，
∵椭圆的左焦点为 ( 1,0) ，∴l 的方程为 ( 1)y k x ②（10 分）
①、②联立可得
2 2 2( 1) 15 4
x k x （11 分）
∴ 2 2 2 2(4 5 ) 10 5 20 0k x k x k
∴
2 2
1 2 1 22 2
10 5 20,4 5 4 5
k kx x x xk k
（13 分）
又 ∵ 2 2
1 2 1 2
16( ) ( ) 59MN x x y y
即 2 2
1 2
16( ) (1 ) 59x x k
∴ 2 2
1 2 1 2
1280( ) 4 (1 ) 81x x x x k
∴
2 2
2 2
2 2
10 4(5 20) 1280( ) (1 )4 5 4 5 81
k k kk k
∴ 4 2 2 2 2 21280100 4(5 20)(4 5 ) (1 ) (4 5 )81k k k k k
∴ 2 2 2 21280320(1 ) (4 5 )81k k
∴ 2 221 (4 5 )9k k ∴ 2 1, 1k k
∴l 的方程为 1y x 或 1y x （15 分）
命题人： 吴晓英 检测人：张新会
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