天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 七年级下册 / 第9章 多边形 / 华师版七年级下册数学第九章多边形PPT教学课件
资料简介
9.1 三角形
9.1.1 认识三角形
第1课时 三角形的有关概念
第九章 多边形 教学课件
情境引入
学习目标
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类。
2.掌握三角形的三边关系。（难点）
导入新课
问题引入
埃及金字塔
水
分
子
结
构
示
意
图
飞机机翼
问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什
么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例。
讲授新课
三角形的概念一
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫
做三角形.
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
A
B C
有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
示为________.
△ABC
c，a，b
边c 边b
边a 顶点C
角 角
角
顶点A
顶点B
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合 不符合 不符合
①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.
u三角形应满足以下两个条件：
要点提醒
u表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还
可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等.
u基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.
u特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,
顶点C所对的边记作c.
找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B C
D
E
5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD.
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对
应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.
问题3： 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与 △ABC有和
联系呢？
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内
角.
D
三角形的分类二
问题1：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
由图可发现，在三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形， 有
一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?
(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样
的三角形?
(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
三边都不相等的三角形.
问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？
等边三角形 等腰三角形 不等边三角形
（
顶角
（
底角
（底角
u按是否有边相等分
三角形
不等边三
角形
等腰
三角形
底和腰不相等的等
腰三角形
等边三角形
u按内角大小分
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
腰
底边
当堂练习
1.三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成
的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
2.判断：
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
√
×
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） ×
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） ×
√
3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ．
A
B FEDC
AC
课堂小结
三角形
定义及其基本
要素
顶点、角、边
分 类
按角分类
按边分类分类
不重不漏
9.1 三角形
9.1.1 认识三角形
第2课时 三角形中的重要线段
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
导入新课
复习回顾
1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？
只能画一条.
2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积。
讲授新课
三角形的高一
问题1 什么是三角形的高？
问题2 怎样画三角形的高？
u定义
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂
线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A
B CD
垂直符
号
垂足
想一想 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B CD
E
F
A
B CD
A
B CD
E
F
u画图发现
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
O
(E,F)
O
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的
交点有什么规律？
三角形的中线二
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A C B
AC=BC= AB
1
2
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三
角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B C
u定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中
线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD= BC
1
2
D
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察
它们中线的交点有什么规律？
u画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B C
A
B C
A
B CD
EF
D D
EF EFO O O
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断
△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B CD E
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们
面积相等.
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
三角形的角平分线三
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
BO
答： ∠AOC= ∠BOC
问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD
是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？
B CD
A
( (答：三角形的三条角平分线交于三角形内一点.
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？
答：相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.
典例精析
例1 如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，
∠CAB=90 °,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
A
B CD E解：（1）
1 1 ,
2 2
6 8 10 ,
ABCS AB AC BC AD
AD
即AD=4.8.
2
1 1 ,
2 2
1 1 5 4.8 12(cm )
2 2
ABC
ABE
S AB AC BC AD
S BE AD
（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB
=8-6
=2(cm)
重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的
差.
A
B CD E
例2 如图，在△ABC中，请作图
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高
A
B CD
E
F
答：如图，CF是一条角平分线；BE是
AC边上的中线；AD是边BC上的高.
画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
注意
当堂练习
D
2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.
A
D
B C
解： ∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD .
∵BC-AC=5cm,
∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm,
又∵ △DBC的周长为25cm，
∴ △ADC的周长=25-5=20(cm).
3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高，
∠A的平分线.
A
B C
D
AD为中线（BD=DC）
E
AE为高（AE⊥BC）
))
AF 为∠A的平分线
（∠BAF=∠CAF）
F
能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它
们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,
为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很
伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?
A
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）
课堂小结
三角形重要线
段
高 钝角三角形两短边上的高的画法
中 线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，
这两个三角形的周长差等于原三角形其余两
边的差
角 平 分 线
9.1 三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、
难点）
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.重点、
难点）
学习目标
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，
你能发现什么？
导入新课
折叠三角形纸板，可以把它的三个
角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处
拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观察与思考
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
如图，将△ABC的边BC所在的直线
平移，使其经过点A，得到直线B'C' .
所以 B'C'∥BC.
则 ，∠ ∠B A B = B ∠ ∠C AC = C.
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
又 1 8 0∠ ∠ ∠B A B + B A C + C A C = ，
B C
讲授新课
三角形的内角和一
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一
个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，
求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这
是一个重要的数学思想.
典例精析
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分
线，求∠ADB的度数.
A B
C
D
解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.1
2
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求
出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
A
B C
直角三角形的两个锐角互余．
u应用格式：
在直角△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的内角性质二
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形
ABC 可以写成Rt△ABC
例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为
什么？
A B
C D
E解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关
系？
我觉得可以利用“三角形
的内角和等于180°”的结论.
三角形的外角的性质三
因为∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是∠ACD =∠A +∠B.
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD-∠B，
所以∠C=100°-30°=70°.
做一做
问题2 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(2
1
3
你还有其他解法
吗？
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(2
1
3
要点归纳
三角形的外角和等于360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(2
1
3
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
典例精析
例4 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E
C
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D(
(
(
51 °
20 ° 30 °
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1 2
)
3
)
4
A
B
C
D(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E )
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
A
B
C
D
(
(
(
1
32
(
u重要发现：
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
当堂练习
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC的度数为________. 34°
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
40°
A
B
70°
80°180 40 ,
2
B 所以 CD
课堂小结
三角形的内角
三 角 形 的
内 角 和 定 理
证 明
了解添加辅助线的方法
及 其 目 的
内 容 三 角 形 内 角 和 等 于 1 8 0 °
直角三角形的两锐角
互 余
课堂小结
三角形的外
角
定 义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角
形另一边的延长线
性 质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和
三角形的外角
和 三角形的外角和等于360 °
9.1 三角形
9.1.3 三角形的三边关系
1.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能
初步运用;（重点、难点）
2.了解三角形的稳定性及应用.
学习目标
导入新课
观察与思考
小明
我要到学校怎么走呀？
哪一条路最近呀？
为什么？邮局
学校
商店
小明家
讲授新课
三角形的三边关系一
A B
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，
你能说出根据吗？
解：路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到： ABBCAC
BCABAC
ACBCAB
合作探究
三角形任意两边的和大于第三边
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？
三角形的三边关系定理
ABBCAC
BCABAC
ACBCAB
AC AB BC
AB BC AC
BC AC AB
两点之间，线段最短.
例1 已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两
边的长？
解：若底边长为4cm，设腰长为x cm，
则2x+4=18，解得x=7.
若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则
2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4
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