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天天资源网 / 初中数学 / 三轮冲刺 / 2021年中考数学压轴题训练--一次函数与反比例函数综合题(附解析)

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一次函数与反比例函数综合题 【例 1】.如图,直线l:y=ax+b 交x 轴于点A(3,0),交 y 轴于点B(0,-3),交反比例函数 y  k x 于第一 象限的点 P,点 P 的横坐标为 4. (1)求反比例函数 y  k x 的解析式; (2)过点 P 作直线 l 的垂线 l1,交反比例函数 y k x 的图象于点 C,求△OPC 的面积. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵y=ax+b 交x 轴于点A(3,0),交 y 轴于点 B(0,-3), ∴3a+b=0,b=-3, 解得:a=1, 即 l1 的解析式为:y=x-3, 当 x=4 时,y=1,即 P(4,1), 将 P 点坐标代入 y k x 得:k=4, 即反比函数的解析式为:y 4 x ; (2)设直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E,D, ∵OA=OB=3, ∴∠OAB=∠OBA=45°, ∵l⊥l1, ∴∠DPB=90°, ∴∠ODP=45°, 设直线 l1 的解析式为:y=-x+b, 将点 P(4,1)代入得:b=5, 联立:y=-x+5,y 4 x ,解得: x=1,y=4 或 x=4,y=1, 即 C(1,4), ∴S△OPC=S△ODE-S△OCD-S△OPE = 1 2 ×5×5- 1 2 ×5×1- 1 2 ×5×1 = 15 2 . 【变式 1-1】.如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,A,C 分别在坐标轴上, 点 B 的坐标为(4,2),直线 y=– 1 2 x+3 交 AB,BC 于点 M,N,反比例函数 ky x  的图象经过点 M,N. (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 在 x 轴上,且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等,求点 P 的坐标. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵B(4,2),四边形 OABC 为矩形, ∴OA=BC=2, 在 y=– 1 2 x+3 中,y=2 时,x=2, 即 M(2,2), 将 M(2,2)代入 ky x  得:k=4, ∴反比例函数的解析式为: 4y x  . (2)在 4y x  中,当 x=4 时,y=1, 即 CN=1, ∵S 四边形 BMON=S 矩形 OABC-S△AOM-S△CON =4×2- 1 2 ×2×2- 1 2 ×4×1 =4, ∴S△OPM=4, 即 1 2 ·OP·OA=4, ∵OA=2, ∴OP=4, ∴点 P 的坐标为(4,0)或(-4,0). 【例 2】.已知:如图,一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数 y  m x (x>0)的图象交于点 P,PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B,一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于点 C,D,且 S△DBP=27, 1 2 OC CA  . (1)求点 D 的坐标; (2)求一次函数与反比例函数的解析式; (3)根据图象写出 x 取何值时,一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数 y  m x 的值. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交, ∴令 x=0,解得 y=3, ∴D 的坐标为(0,3); (2)∵OD⊥OA,AP⊥OA,∠DCO=∠ACP,∠DOC=∠CAP=90°, ∴Rt△COD∽Rt△CAP, ∴ 1 2 OD OC AP AC   ,OD=3, ∴AP=OB=6, ∴DB=OD+OB=9, ∵S△DBP=27, 即 2 DP BP =27, ∴BP=6, ∴P(6,-6), 把 P 坐标代入 y=kx+3,得到 k= 3 2  , 则一次函数的解析式为:y= 3 2  x+3; 把 P 坐标代入反比例函数解析式得:m=-36, 则反比例解析式为:y=− 36 x ; (3)联立 y=− 36 x ,y= 3 2  x+3 得: x=-4,y=9 或 x=6,y=-6, 即直线与双曲线两个交点坐标为(-4,9),(6,-6), ∴当 x>6 或-4<x<0 时,一次函数的值小于反比例函数的值. 【变式 2-1】.如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABDC 的顶点 D,C 在反比例函数 y= k x 上(k>0,x >0),横坐标分别为 1 2 和 2,对角线 BC∥x 轴,菱形 ABDC 的面积为 9. (1)求 k 的值及直线 CD 的解析式; (2)连接 OD,OC,求△OCD 的面积. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)连接 AD, ∵菱形 ABDC 的顶点 D,C 在反比例函数 y= k x 上,横坐标分别为 1 2 和 2, ∴D( 1 2 ,2k),C(2, 2 k ), ∵BC∥x 轴,∴B(-1, 2 k ),A( 1 2 ,-k), ∴BC=3,AD=3k, ∵S 菱形 ABCD=9, ∴ 1 2 ×3×3k=9,解得:k=2, ∴D( 1 2 ,4),C(2, 1), 设直线 CD 的解析式为 y=mx+n, ∴ 1 2 m+n=4,2m+n=1, 解得:m=-2,n=5, 即直线 CD 的解析式为 y=-2x+5. (2)设直线 y=-2x+5 交 x 轴、y 轴于点 F,E, 则 F( 5 2 ,0),E(0,5), ∴S△OCD=S△EOF-S△OED-S△OCF = 1 2 ×5× 5 2 - 1 2 ×5× 1 2 - 1 2 ×1× 5 2 = 15 4 , 即△OCD 的面积为: 15 4 . 【例 3】.如图,在矩形 OABC 中,OA=3,OC=2,点 F 是 AB 上的一个动点(F 不与 A,B 重合),过点 F 的反比例函数 y= k x 的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F 为 AB 的中点时,求该函数的解析式; (2)当 k 为何值时,△EFA 的面积最大,最大面积是多少? 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵矩形 OABC 中,OA=3,OC=2, ∴B(3,2), ∵F 为 AB 的中点, ∴F(3,1), ∵点 F 在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴k=3, 即函数的解析式为 y= 3 x ; (2)E,F 两点坐标为:E( 2 k ,2),F(3, 3 k ), ∴S△EFA= 1 2 AF•BE = 1 2 × 3 k (3﹣ 2 k ), =  21 3312 4k   , ∴当 k=3 时,S△EFA 有最大值,最大值 3 4 . 【变式 3-1】.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= m x 的图象交于 A,B 两点,与 x 轴交于 点 C(﹣2,0),点 A 的纵坐标为 6,AC=3CB. (1)求反比例函数的解析式; (2)请直接写出不等式组 m x <kx+b<4 的解集; (3)点 P(x,y)是直线 y=k+b 上的一个动点,且满足(2)中的不等式组,过点 P 作 PQ⊥y 轴交 y 轴于点 Q,若△BPQ 的面积记为 S,求 S 的最大值. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)过点 A 作 AD⊥x 轴于 D,过 B 作 BE⊥x 轴于 E, 则∠ADC=∠BEC=90°, ∵∠ACD=∠BCE, ∴△ACD∽△BCE, ∴ AD AC CD BE BC CE   ,即 6 23 CE BE CE   , 解得:BE=2,CE=1, ∴A(1,6), ∴反比例函数解析式为 y= 6 x ; (2)将 A(1,6),C(﹣2,0)代入 y=kx+b, 得: 6 2 0 k b k b      ,解得: 2 4 k b    , 即直线解析式为:y=2x+4, 由 B(﹣3,﹣2),得不等式组 6 x <2x+4<4 的解集为:﹣3<x<0; (3)设 P(m,2m+4)(﹣3<m<0), 则 PQ=﹣m,△BPQ 中 PQ 边上的高为 2m+4﹣(﹣2)=2m+6, ∴S= 1 2 •(﹣m)(2m+6) =﹣m2﹣3m =﹣(m+ 3 2 )2+ 9 4 , ∴当 m=﹣ 3 2 时,S 取得最大值,最大值为 9 4 . 1..如图所示,在平面直角坐标系中,直线 l1:y= 1 2  x 与反比例函数 y= k x 的图象交于 A、B 两点,点 A 在点 B 左侧,已知 A 点的纵坐标为 2. (1)求反比例函数的解析式; (2)根据图象直接写出 1 2  x> k x 的解集; (3)将直线 y= 1 2  x 沿 y 轴向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y= k x 在第二象限内交于点 C,如果△ABC 的面积为 30,求平移后的直线 l2 的函数表达式. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)在 y= 1 2  x 中,y=2 时,x=-4, 即 A(-4,2), ∵反比例函数 y= k x 的图象过点 A, ∴k=-8, 即反比例函数的解析式为:y= 8 x  ; (2)联立 y= 8 x  ,y= 1 2  x,解得: x=-4,y=2(点 A);或 x=4,y=-2, 即 B(4,-2), ∴ 1 2  x> k x 的解集为:x0)的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F 为 AB 边的中点时,求该函数的解析式; (2)当 k 为何值时,△EFA 的面积为 2 3 ? 【答案】见解析. 【解析】解:(1)由题意知,AB=OC=2,BC=OA=3, ∵F 是 AB 中点, ∴F(3,1), 将 F(3,1)代入 y= k x 得:k=3, 即反比例函数的解析式为:y= 3 x . (2)由图象知,点 F 位于 B 点下方,B(3,2), ∴当 x=3 时,y 查看更多

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