资料简介
折叠与图形存在性
【例 1】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CD 是△ABC 的中线，E 是边 BC 上一动点，
将△BED 沿 ED 折叠，点 B 落在点 F 处，EF 交线段 CD 于 G，当△DFG 是直角三角形时，则 CE=
.
A
C B
D
E
F
G
【答案】1， 5 5
2
.
【解析】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB=2 5 ,
由折叠性质知∠F=∠B≠90°，分两种情况讨论，
（1）当∠FDG=90°时，
A
C B
D
E
F
G
∵D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，
∴CD=BD=AD= 5 ，
∴∠B=∠DCE=∠F，
∵∠DCE+∠GEC=∠F+∠FDG，
∴∠GEC=90°，
在 Rt△DFG 中，tan∠F= DG
DF
，
∴DG= 5
2
，
∴CG=CD－DG= 5
2
，
在 Rt△CEG 中，CE=CG·cos∠GCE= 5
2
× 4
2 5
=1；
（2）当∠FGD=90°时，
A
C B
D
E
F
G
由（1）知∠B=∠F=∠DCB，
由 BD=DF= 5 ，
∴DG=DF·sin∠F= 5 × 2
2 5
=1，
∴CG=CD－DG= 5 －1，
∴CE=CG÷cos∠DCB=（ 5 －1）÷ 4
2 5
= 5 5
2
，
故答案为：1， 5 5
2
.
【变式 1-1】如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=45°，AB=8，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PE⊥AB
交直线 AD 于 E，沿 PE 将∠A 折叠，点 A 的对称点为点 F，连接 EF、DF、CF，当△CDF 是直角三角形时，AP=
.
【答案】 2 2 或 4 2 2 .
【解析】解：①如图，当 DF⊥AB 时，△CDF 是直角三角形，
∵在菱形 ABCD 中，AB=8，
∴CD=AD=AB=8，
在 Rt△ADF 中，AD=8，∠DAN=45°，DF=AF=4 2 ，
∴AP=2 2 ；
②如图，当 CF⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，
在 Rt△CBF 中，∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=8，
∴BF=CF=4 2 ，
∴AF=AB+BF=8+4 2 ，
∴AP= 1
2
AF=4+2 2 ，
故答案为：4 或 4+2 2 ．
【例 2】如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，点 E 在边 BC 上，将△DEC 沿 DE 翻折后，点 C 落在点 C’处.
若△ABC’是等腰三角形，则 CE 的长为 .
A
B C
D
E
C'
【分析】根据△ABC’是等腰三角形，分①AB=AC’=2；②AC’=BC’，即 C’落在 AB 的垂直平分线上时；
③AB=BC’=2，三种情况讨论，逐一作出图形求解即可.
【答案】2 或 2 3
3
.
【解析】解：分三种情况讨论：
①AB=AC’=2，如图所示，
A
B C
D
E
C'
可得：四边形 CDC’E 是正方形，即 CE=2；
②AC’=BC’，即 C’落在 AB 的垂直平分线 MN 上时，如图所示，
A
B C
D
E
C'
MN
∴DM=1，C’D=2，
∴∠C’DM=30°，
即得：∠C’DC=60°，∠EDC=30°，
∴CE=CD·tan∠EDC
=2× 3
3
= 2 3
3
；
③AB=BC’=2，
此时作出 C’的运动轨迹，及以 B 为圆心，2 为半径的圆，发现二者不相交，如图所示，
A
B C
D
E
C'
C'运动轨迹
即此种情况不存在；
综上所述，答案为：2 或 2 3
3
.
【变式 2-1】如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC≤BC，将△ABC 沿 EF 折叠，使点 A 落在直角边 BC
上的 D 点，设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、F，如果折叠后△CDF 和△BDE 均为等腰三角形，那么∠B=
.
【答案】45°或 30°.
【解析】解：若△CDF 是等腰三角形，∵∠C=90°，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
由折叠性质知，∠A=∠FDE，∠B=∠EFD，
若△BDE 是等腰三角形，则：
（1）若 DE=BD，设∠B=∠DEB=x°，则∠A=∠FDE=90－x，
∵∠CDE=∠B+∠DEB，
∴45+90－x=x+x，解得：x=45，
即∠B=45°，
（2）若 DE=BE，
∠CDE=180°－∠BDE=180°－∠B，
∠CDE =45°+∠FDE=45°+∠A=45°+90°－∠B=135°－∠B，
∴不符合题意，
（3）若 BD=BE，设∠B=x，则∠BDE=∠BED=90°－ 1
2
x，
∠CDE =45°+∠A=135°－x，
∠CDE =∠B+∠DEB=90°+ 1
2
x，
∴135°－x=90°+ 1
2
x，解得：x=30，
即∠B=30°，
综上所述，∠B 的度数为：45°或 30°.
【例 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E 为斜边 AB 的中点，点 P 是射线 BC
上的一个动点，连接 AP、PE，将△AEP 沿着边 PE 折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP 的
重叠部分的面积恰好为△ABP 面积的四分之一，则此时 BP 的长为 ．
【答案】2 或 2 3 ．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E 为 AB 的中点，
∴AB＝4，AE＝ 1
2
AB＝2，BC＝2 3 ．
（1）若点 A’落在 BC 上方时，连接 A′B，
由折叠可得 S△A′EP＝S△AEP，A′E＝AE＝2，．
∵点 E 是 AB 的中点，
∴S△BEP＝S△AEP＝ 1
2
S△ABP．
由题可得：S△EFP＝ 1
4
S△ABP，
∴S△EFP＝ 1
2
S△BEP＝ 1
2
S△AEP＝ 1
2
S△A′EP，
∴EF＝BF，PF＝A′F．
∴四边形 A′EPB 是平行四边形，
∴BP＝A′E＝2；
②若点 A’落在直线 BC 下方时，连接 AA′，交 EP 与 H，
．
可得：GP＝BG，EG＝1．
∵BE＝AE，
∴EG＝ 1
2
AP＝1，
∴AP＝2
∴AP＝AC，
即此时点 P 与点 C 重合，
∴BP＝BC＝2 3 ．
故答案为：2 或 2 3 ．
【变式 3-1】（2019·安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 D 是边 AC 的中点，
点 E 在边 AB 上，将△ADE 沿 DE 翻折，使点 A 落在点 A′处，当线段 AE 的长为 时，A′E∥BC．
【答案】 1
2
或 9
2
．
【解析】解：分两种情况：
（1） 当 A'E∥BC 时，∠A'EG＝∠B，
由折叠可得，∠A＝∠A'，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠A'EG+∠A'＝90°，
∴∠A'GE＝90°，
∴△ABC∽△ADG，
∴ AG AD DG
AC AB BC
，
∵AD＝ 1
2
AC＝ 3
2
，
∴AG＝ 9
10
，DG＝ 6
5
，A'G＝ 3
10
，
设 AE＝A'E＝x，则 EG＝ 9
10
﹣x，
则 cos∠GEA’= 4
' 5
EG
A E
,
∴x= 1
2
，即 AE= 1
2
；
（2）当 A'E∥BC 时，∠AHE＝∠C＝90°，
A'H⊥CD，
设 AE＝y，
由△AHE∽△ACB，得： AH AE EH
AC AB BC
∴AH＝ 3
5
y，HE＝ 4
5
y，
由折叠可得，A'E＝AE＝y，AD＝A'D＝ 3
2
，
∴A'H＝ 1
5
y，DH＝ 3
5
y﹣ 3
2
，
sin∠DA’H= 4
' 5
DH
A D
,
可得：y= 9
2
，即 AE＝ 9
2
，
故答案为： 1
2
或 9
2
．
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点 D 是 BC 上一动点，连结 AD，将△ACD 沿 AD 折
叠，点 C 落在点 C′，连结 C′D 交 AB 于点 E，连结 BC′．当△BC′D 是直角三角形时，DE 的长为 ．
【答案】 3
2
或 3
4
．
【解析】解：（1）当点 E 与点 C′重合时，△BC′D 是直角三角形，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：BC=4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3，DC=DE，EB=2．
设 DC=ED=x，则 BD=4﹣x．
在 Rt△DBE 中，由勾股定理得：DE2+BE2=DB2，
即 x2+22=（4﹣x）2．
解得：x= 3
2
．
（2）当∠EDB=90 时，
由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．
可得：四边形 ACDC′为矩形．
∵AC=AC′，
∴四边形 ACDC′为正方形．
∴CD=AC=3．DB=BC﹣DC=1．
∵DE∥AC，
∴ 1
4
DE BD
AC BC
, 1
3 4
DE ．
解得：DE= 3
4
．
（3）∵点 D 在 BC 上运动，
∴∠DBC′＜90°，即∠DBC′不可能为直角．
故答案为： 3
2
或 3
4
．
2.（2019·洛阳三模）如图，已知 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=60°，AB=3，点 M，N 分别在线段 AC，
AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，若△DCM 为直角三角形时，
则 AM 的长为 ．
【答案】2 或 3 3 3 .
【解析】解：∵在△CDM 中，∠C=30°，
∴分两种情况讨论△CDM 为直角三角形的情况，
（1）当∠CMD=90°时，如图所示，
A B
C
D
M
N
设 AM=x，则 DM=x，CM= 3 x，
∴x+ 3 x=6，解得：x= 3 3 3 ；
（2）当∠CDM=90°时，如图所示，
A B
C
DM
N
设 AM=x，则 CM=2x，DM=x，
∴x+2x=6，解得 x=2，
综上所述，答案为： 3 3 3 或 2.
3.如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB=6，BC=8，E 是边 AD 上的点，以 CE 为折痕折叠纸片，使点 D 落
在点 F 处，连接 FC，当△AEF 为直角三角形时，DE 的长为_________．
【答案】3 或 6.
【解析】解：由题意知，∠EAF≠90°，
（1）当∠AEF=90°时，
如下图所示，
A
B C
DE
F
由折叠知，CD=CF=DE=EF=6，
即 DE=6；
（2）当∠AFE=90°时，如下图所示，
A
B C
DE
F
此时点 F 落在对角线 AC 上，
AC=10，CF=6，AF=4，
设 DE=x，则 EF=x，AE=8－x，
在 Rt△AEF 中，由勾股定理得：
x2+42=（8－x）2，解得：x=3，
故答案为：3 或 6.
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，BC= 3 +1，点 E、F 分别是 BC、AC 边上的动点，沿 E、
F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为 ．
【答案】 3 3
3
或 2.
【解析】解：∵∠B=30°，
∴分两种情况讨论：
①当∠BEC'=90°时，
BE= 3 C'E，
∵CE=C'E，BC= 3 +1，
∴BE= 3 ，C'E=1，
∴Rt△BEC'中，由勾股定理得：BC'=2；
②当∠BC'E=90°时，
BE=2C'E=2CE，BC= 3 +1，
∴BE= 2
3
×（ 3 +1），C'E= 1
3
（ 3 +1），
在 Rt△BEC’中，由勾股定理得：BC'= 3 3
3
；
综上所述，BC'的长为 3 3
3
或 2．
5.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，点 D 为斜边 AB 上一点，DE⊥AB 交 AC 于点 E，将△AED 沿 DE
翻折，点 A 的对应点为点 F．如果△EFC 是直角三角形，那么 AD 的长为 ．
【答案】 7
5
或 5．
【解析】解：在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝10，
按直角顶点位置分类讨论，
①若∠CFE＝90°，
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∴∠CFB+∠EFD＝∠B+∠A＝90°，
由翻折知：∠A＝∠EFD，AE＝EF，
∴∠CFB＝∠B，CF＝BC＝6，
在 Rt△CEF 中，有 CE2＝EF2+CF2，
即 CE2＝（8﹣CE）2+62，
∴CE＝ 25
4
，
∴AE＝ 7
4
，
由∠ADE＝∠ACB＝90°，
得△ADE∽△ACB，
∴ AE AD
AB AC
，
得：AD＝ 7
5
；
②当∠ECF＝90°时，点 F 与 B 重合，
∴AD＝ 1
2
AB＝5；
③当∠CEF＝90°时，
则 EF∥BC，∠AFE＝∠B，
∵∠A＝∠AFE，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC（与题设矛盾），这种情况不存在，
综上所述：如果△EFC 是直角三角形，AD 的长为 7
5
或 5．
故答案为： 7
5
或 5．
6.在 Rt△ABC 中，AC＝3，AB＝4，D 为斜边 BC 中点，E 为 AB 上一个动点，将△ABC 沿直线 DE 折叠，A、
C 的对应点分别为 A′、C′，EA′交 BC 于点 F，若△BEF 为直角三角形，则 BE 的长度为 ．
【答案】 1
2
或 5
4
．
【解析】解：∵∠B≠90°，
∴分两种情况讨论：
①当∠BEF＝90°时，
过 D 作 DM⊥AB 于 M，则∠EMD＝90°，DM∥AC，D 为 BC 中点，
可得：M 为 AB 的中点，
∴BM＝ 1
2
AB＝2，DM＝ 1
2
AC＝ 3
2
，
由折叠可得，∠MED＝ 1
2
∠AEF＝45°，
∴△DEM 是等腰直角三角形，
∴EM＝DM＝ 3
2
，
∴BE＝2﹣ 3
2
＝ 1
2
；
②当∠BFE＝90°时，连接 AD，A'D，
根据对称性可得：∠EAD＝∠EA'D，AD＝A'D
Rt△ABC 中，AC＝3，AB＝4，
由勾股定理得：BC＝5，
Rt△ABC 中，D 为 BC 的中点，
∴AD＝BD＝A'D＝ 1
2
BC＝ 5
2
，
∴∠B＝∠EAD＝∠FA'D，
设 BE＝x，则 BF＝BE·cosB＝ 4
5
x，
∴DF＝BD﹣BF＝ 5
2
﹣ 4
5
x，
由 sin∠FA'D＝sinB，得：
5 4 5 3
2 5 2 5x ，
解得：x＝ 5
4
，即 BE＝ 5
4
，
综上所述，BE 的长度为 1
2
或 5
4
．
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4 3 ，BC=4，点 D 是 AC 的中点，点 F 是边 AB 上一动点，沿
DF 所在直线把△ADF 翻折到△A′DF 的位置，若线段 A′D 交 AB 于点 E，且△BA′E 为直角三角形，则 BF 的
长为_________．
【答案】 28
5
或 6.
【解析】解：由分析知∠EBA’≠90°，分两种情况讨论：
（1）当∠BA’E=90°时，如图所示，
B
AC D
E F
A'
连接 BD，过 F 作 FH⊥AC 于 H，
B
AC D
E F
A'
H
可得：△BCD≌△BA’D，∠BDF=90°，
设 FH=x，则 AF=2x，AH= 3 x，DH=2 3 －x，BF=8－2x，
由勾股定理得：
BD2+DF2=BF2，DF2=DH2+FH2，
即 BD2+ DH2+FH2= BF2，
∴ 2 2228 2 3 8 2x x x ，
解得：x= 12
5
，
即 BF= 28
5
；
（2）当∠BEA’=90°时，如下图所示，
B
AC D
E F
A'
由折叠性质知，∠A=∠ADF=∠EDF=30°，
∵AD=2 3 ，
∴DE= 3 ，AE=3，
∴EF= 3
3
DE=1，
∴AF=2，
即 BF=6，
综上所述，BF 的值为 28
5
或 6.
8.如图，在 Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，点 P 为 AC 上一点，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D，将△PCD 沿 PD
折叠，得到△PED，连接 AE．若△APE 为直角三角形，则 PC＝ ．
【答案】 35
32
或 125
32
.
【解析】解：若∠APE=90°，则∠CPD=∠EPD=45°，可得∠C=45°，与题意不符，
∴∠APE≠90°，
在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
①当∠AEP＝90°时，
设 PC＝x，在 Rt△PDC 中，sinC＝ 3
5
，cosC＝ 4
5
，
所以 PD＝ 3
5
x，CD＝ 4
5
x，
由折叠知 DE＝CD＝ 4
5
x ，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣ 8
5
x，
∵∠B＝∠PDE，
∠BAE+∠AEB＝90°，∠PED+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PED=∠C，
tan∠BAE＝tan∠C,
即
84 35
3 4
x
，
解得：x= 35
32
，
即 PC= 35
32
；
②当∠EAP＝90°时，如下图，
A
B C
P
DE
设 PC=x，则 PE=x，PD＝ 3
5
x，CD＝ 4
5
x，CE= 8
5
x，BE= 8
5
x－4，
可证：∠AEB=∠C，
∴tan∠AEB= tan∠C，
∴ 3
4
BE
AB
,
即
8 4 35
3 4
x
，
解得：x= 125
32
即 PC= 125
32
，
综上所述，答案为： 35
32
或 125
32
.
9.如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E 为 AD 中点，点 P 为线段 AB 上一个动点，连接 EP，将△APE
沿 PE 折叠得到△FPE，连接 CE，CF，当△ECF 为直角三角形时，AP 的长为 ．
【答案】1 或 9
4
.
【解析】解：由图可知，∠ECF≠90°，所以分两种情况讨论：
（1）当∠CFE＝90°时，
由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点 P，F，C 在一条直线上，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE，
∴CF＝CD＝4，
设 AP＝FP＝x，则 BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在 Rt△BCP 中，BP2+BC2＝PC2，
即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得 x＝ 9
4
，即 AP＝ 9
4
；
（2）当∠CEF＝90°时，
过 F 作 FH⊥AB 于 H，作 FQ⊥AD 于 Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
∵∠FEQ+∠CED＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴ FQ QE EF
DE CD CE
,
∴ 3
3 4 5
FQ QE ，
∴FQ= 9
5
，QE= 12
5
，
∴AQ=HF=3－QE= 3
5
，AH=QE= 9
5
，
设 AP＝FP＝x，则 HP＝ 9
5
﹣x，
在 Rt△PFH 中，HP2+HF2＝PF2，
即（ 9
5
﹣x）2+（ 3
5
）2＝x2，
解得 x＝1，即 AP＝1．
综上所述，AP 的长为 1 或 9
4
．
10.如图，已知 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2 3 +4，点 M、N 分别在线段 AC、AB 上，将
△ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长
为 ．
【答案】 2 3 4
3
或 6 .
【解析】解：∵∠C=30°，即 C 不可能是直角顶点，
∴分两种情况讨论：
（1）当∠CDM＝90°时，
在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2 3 +4，
∴∠C＝30°，AB＝ 3 +2，
由折叠性质知，∠MDN＝∠A＝60°，
∴∠BDN＝30°，
∴BN＝ 1
2
DN＝ 1
2
AN，
∴BN＝ 1
3
AB＝ 3 2
3
，
∴AN＝2BN＝ 2 3 4
3
，
由∠DNB＝60°，得：∠ANM＝∠DNM＝60°，
∴△AMN 是等边三角形，
∴AN＝MN＝ 2 3 4
3
；
（2）当∠CMD＝90°时，
由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，
∴BD＝ 1
2
DN＝ 1
2
AN，BN＝ 3 BD，
∴AN＝2，BN＝ 3 ，BD=1，
∴CD=BC-BD= 3 AB－BD=2 3 +2，
∴DM=AM= 1
2
CD= 3 +1，
∴在 Rt△ANH 中，AH= 1
2
AN=1，NH= 3 ，
∴HM=AM-AH= 3 ，
在 Rt△HNM 中，由勾股定理得：MN= 6 ；
故答案为： 2 3 4
3
或 6 .
11.如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个
动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 ．
【答案】16 或 4 5 ．
【解析】解：分三种情况讨论，
（1）当 B′D＝B′C 时，
过 B′作 GH∥AD 交 AB、CD 于点 G、H，则∠B′GE＝90°，
可得：GH 是 CD、AB 的垂直平分线，
∴AG＝DH＝ 1
2
DC＝8，
由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13．
由翻折的性质，得 B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，
在 Rt△B’EG 中，由勾股定理得：B′G＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
在 Rt△DB’H 中，由勾股定理得：DB′＝4 5 ；
（2）当 DB′＝CD 时，则 DB′＝16．
（3）当 CB′＝CD 时，则 CB＝CB′，由翻折的性质，得 EB＝EB′，
∴EC 垂直平分 BB′，
∵EF 是线段 BB′的垂直平分线，
∴点 F 与点 C 重合，此种情况不存在；
故答案为：16 或 4 5 ．
12.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2 3 ，AC＝2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一动点，
沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F．若△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长
为 ．
【答案】3 或 14
5
.
【解析】解：∵∠C＝90°，BC＝2 3 ，AC＝2，
∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4，
∵点 D 是 BC 的中点，
∴DB＝DC＝ 3 ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设 AE＝x，则 BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
由题意知∠B’AF≠90°，分两种情况讨论：
（1）当∠AFB′＝90°时，
BF＝ 3
2
，EF＝ 3
2
﹣（4﹣x）＝x﹣ 5
2
，
在 Rt△B′EF 中，∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即 4﹣x＝2（x﹣ 5
2
），解得：x＝3，即 AE=3；
（2）当∠AB’F=90°时，过 E 作 EH⊥AB’于 H，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，∠HEB’=30°，
∴B′H＝ 1
2
B′E＝ 1
2
（4﹣x），EH＝ 3 B′H＝ 3
2
（4﹣x），
在 Rt△AEH 中，EH2+AH2＝AE2，
∴ 3
4
（4﹣x）2+[ 1
2
（4﹣x）+2]2＝x2，解得 x＝ 14
5
， AE= 14
5
．
故答案为 3 或 14
5
．
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