资料简介
平面向量问题的类型与解法
大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时
在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档
或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题
主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题
等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答
平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过
典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）
A - B - C + D +
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形
一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出
向量 关于向量 ， 的式子就可得出选项。 A
【详细解答】如图， ABC 中，AD 为 BC 边上的
中线， = - ， = - = - E
= + ， E 为 AD 的中点， B D C
= = + ， = - = - - = - ,
A 正确， 选 A。
2、如图，在正方形 ABCD 中，F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点， A D
连接 BF 交 AC 于点 E，若 =m +n （m，n R），则 m+n E F
的值是（ ）
A - B C - D B C
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③正方形
的定义与性质；④方程组的定义与解法。
【解题思路】运用正方形的性质和向量几何运算的基本方法，结合问题条件把 表示成
， 的式子，与已知式子比较得到关于 m，n 的方程组，求解方程组得出 m，n 的值
就可求出 m+n 的值，从而得出选项。
【详细解答】如图， F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点，ABCD 是正方形， =
∆ EB
3
4 AB 1
4 AC 1
4 AB 3
4 AC 3
4 AB 1
4 AC 1
4 AB 3
4 AC
EB AB AC
∆
BC AC AB ∴ AD AC DC AC 1
2
BC 1
2 AC 1
2 AB
∴ AE
1
2 AD 1
4 AC 1
4 AB ⇒ EB AB AE AB 1
4 AC 1
4 AB 3
4 AB 1
4 AC
⇒ ∴
BE AB AC ∈
1
5
1
5
2
5
2
5
BE
AB AC
∴ BC- ， = = ， = - = - - = - ，
A，E，C 三点共线， 存在实数 ，使 = ， = - = - -
=（1- ） - ， B，E，F 三点共线， 存在实数 t，使 =t ，
（1- ） - =t（ - ）， （1- -t） +（ t-1） =0， 1- -t=0，
且 t-1=0， = ，t= ， = - ， =m +n ， m=-1，n= ，
m+n=-1+ =- ， C 正确， 选 C。
3、如图，在 ABC 中，已知 =- ，P 为 AD 上一点，且满足 =m + ，
则实数 m 的值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③方程组
的定义与解法。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件把 表示成 ， 的式子，
与已知式子比较得到关于 m，t 的方程组，求解方程组得出 m，t 的值就可求出 m 的值，从
而得出选项。
【详细解答】如图， =- =- ， A
= - ， = - ， A，P， P
D 三点共线， 存在实数 t，使 =t ， B D C
- =t（ - ）， =（1-t） +t = （1-t） + t ， =m
+
， （1-t）= ，且 m=t， t=m= ， B 正确， 选 B。
4、已知 P 是 ABC 内一点， =2（ + ），记 PBC 的面积为 ， ABC 的面积
为 ，则 = ；
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形
面积计算的基本方法；④相似三角形的定义与性质；⑤三角形一边上中线的定义与性质。
AC AB FC 2
3 DC 2
3 AB ⇒ BF BC FC AC AB 2
3 AB AC 5
3 AB
∴ λ EC λ AC ⇒ BE BC EC AC AB
λ AC λ AC AB
∴ BE BF ⇒
λ AC AB AC 5
3 AB ∴ λ AC 5
3 AB ⇒ λ
5
3
∴ λ 2
5
3
5
⇒ BE 3
5 AC AB
BE AB AC ∴ 3
5
⇒ 3
5
2
5
⇒ ∴
∆ BD 1
2 CD CP CA 4
9 CB
2
3
1
3
5
9
1
2
CP CA CB
BD 1
2 CD 1
3 CB
∴ AD CD CA PD CD CP
∴ PD AD ⇒
CD CP CD CA ∴ CP CD CA 2
3 CB CA
CP CA
4
9 CB ∴ 2
3
4
9
⇒ 1
3
⇒ ∴
∆ . AB PB PC ∆ 1S ∆
2S 1
2
S
S【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件可知 + 是 ，得到
+ 是连接 AC，BC 中点所在线段的向量，从而推出点 P 是连接 AC，BC 中点所在线
段的中点，利用三角形一边上中线的性质和相似三角形的性质求出 就可得出选项。
【详细解答】如图，分别取 AC，BC 的中点 D，E， A
连接 DE，取 DE 的中点 P，连接 CP，延长 PE 到 F，
使 PE=EF，连接 BF，CF， E 是 BC 的中点， D
BE=CE， 四边形 BPCF 是平行四边形， B E P C
= + ， P 是 DE 的中点，PE=EF， F
= = ， 点 P 是满足条件的点， = ， CDE CAB， = ，
CP 是 CDE 边 DE 上的中线， = = = ，同理可得
= ， = = + = + = ， = 。
5、（1）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于 P，Q，若 =
，则当 ABC 与 APQ 的面积之比为 时，实数 的值为 ；
（2）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于 P，Q，若 =
，则 ABC 与 APQ 的面积之比为 。
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形
重心的定义与性质；④三角形面积计算的基本方法。
【解题思路】（1）根据三角形重心的性质，求出 ， ，由 P、G、Q 三点共线，求出
的值（用含 的式子表示），利用三角形面积计算的基本方法把 ， 表示出来，结
合 = 就可求出 的值；（2）设 =u，根据三角形重心的性质，求出 ，
，由 P、G、Q 三点共线求出 u 的值，利用三角形面积计算的基本方法把 ，
PB PC 1
2
. AB
PB PC
1
2
S
S
∴
⇒ ∴ PF
PB PC
∴ DE
PF 1
2
. AB ∴
CD
CA
1
2
∆ ∴ CDE
CAB
S
S
∆
∆
1
4
∆ ∴ CPES∆
1
2 CDES∆ ⇒ CPES∆
1
8 CABS∆
1
8 2S
BPES∆
1
8 2S 1S BPCS∆ BPES∆ CPES∆
1
8 2S 1
8 2S 1
4 2S ∴ 1
2
S
S
1
4
∆ AP
λ AB ∆ ∆ 20
9
λ
∆ AP 3
5
AB ∆ ∆
PQ PG AQ
AC
λ ABCS∆ APQS∆
ABC
APQ
S
S
∆
∆
20
9
λ AQ
AC
PQ
PG
ABCS∆ APQS∆表示出来，从而求出 的值。
【详细解答】（1）如图，连接 CG 并延长交边 AB 于点 D，连接 BG 并延长交边 AC 于点
E，
G 是 ABC 的重心， = + =- + ， A
= =- + ， = - =- D E
+ +（1- ） =( - ） + ，设 P G Q
=t， = + =- +t ，P、G、Q B C
三点共线， 存在实数 u，使 =u - +t
=u[( - ） + ]， （- + u- u） +(t- u) =0 - +u - u=0，
u= ， t- u=0，
t= ， = | || |sin A， = | || |sin A=
| || |sin A， = = ， 9（ ）=20 ， 20 -27 +9=0，
= 或 = ；（2）如图，连接 CG 并延长交边 AB 于点 D，连接 BG 并延长交边 AC
于点 E，设 =u， G 是 ABC 的重心， = + =- + ， =
=
- + ， = - =- + + =- + ， =
= + =- +t ， P、G、Q 三点共线， 存在实数 t，使 =t -
+t =t（- + ）， （- + t） +(u- t) =0 - + t=0，且 u-
t=0，
t= ，u= ， = | || |sin A， = | || |sin A=
| || |sin A， = = 。
ABC
APQ
S
S
∆
∆
∆ ∴ BE BA AE AB 1
2 AC
BG 2
3 BE 2
3 AB 1
3 AC ⇒ PG BG BP 2
3
AB 1
3 AC λ AB 1
3
λ AB 1
3 AC
AQ
AC
PQ PA AQ λ AB AC
∴ PQ PG ⇒ λ AB AC
1
3
λ AB 1
3 AC ∴ λ λ 1
3 AB 1
3 AC ⇒ λ λ 1
3
∴ 3
3 1
λ
λ −
1
3
3 1
λ
λ − ABCS∆
1
2 AB AC ∠ APQS∆
1
2 AP AQ ∠ 1
2
×
2
3 1
λ
λ −
AB AC ∠ ABC
APQ
S
S
∆
∆
2
3 1λ
λ
− 20
9
∴ 3 1λ − 2λ ⇒ 2λ λ
∴ λ 3
5
λ 3
4
AQ
AC
∆ ∴ BE BA AE AB 1
2 AC BG 2
3
BE
2
3 AB 1
3 AC ⇒ PG BG BP 2
3 AB 1
3 AC 2
5 AB 4
15 AB 1
3 AC PQ
PA AQ 3
5 AB AC
∴ PQ PG ⇒ 3
5 AB
AC 4
15 AB 1
3 AC ∴ 3
5
4
15 AB 1
3 AC ⇒ 3
5
4
15
1
3
∴ 9
4
3
4 ABCS∆
1
2 AB AC ∠ APQS∆
1
2 AP AQ ∠ 1
2
× 3
5
×
3
4 AB AC ∠ ∴ ABC
APQ
S
S
∆
∆
5
3
× 4
3
20
9『思考问题 1』
（1）【典例 1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算
的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的
始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，
选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题
时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必
要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问
题的目的。
〔练习 1〕解答下列问题：
1、已知 P 为 ABC 所在平面内一点， + + =0，| |=| |=| |=2，则 PBC
的面积等于（ ）
A 3 B 2 C D 4
2、设 D 为 ABC 所在平面内一点， =3 ，则（ ）（2015 全国高考新课标 I 卷）
A =- + B = -
C = + D = -
3、设 P 是 所在平面内一点， + =2 ，则（ ）
A + =0 B + =0 C + =0 D + + =0
4、已知点 O、N、P 在 所在的平面内，且| |=| |=| |， + + =0，
. = . = . ,则点 O、N、P 依次是 的（ ）
A 重心、外心、垂心 B 重心、外心、内心 C 外心、重心、垂心 D 外心、重心、内心
5、如图，在平行六面体 ABCD— 中，E 为 B 与 C 的交点，记 = ，
= ， = ，则 =（ ）
A + + B + + C + + D - -
6、已知正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 满足| |=1，若
=m +n ，其中 m，n R，则 的最大值为 ；
7、在 ABC 中，点 M、N 满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则 x=
，y= 。
∆ . AB PB PC PB PC . AB ∆
3 3 3 3
∆ BC CD
AD 1
3 AB 4
3 AC AD 1
3 AB 4
3 AC
AD 4
3 AB 1
3 AC AD 4
3 AB 1
3 AC
ABC∆ BC BA BP
PA PB PC PA PB PC PA PB PC
ABC∆ OA OB OC NA NB NC
PA PB PB PC PC PA ABC∆
1A 1B 1C 1D 1C 1B AB a AD
b
1AA c AE
a b 1
2 c a 1
2 b c a 1
2 b 1
2 c a 1
2 b 1
2 c
OP AP
. AB AD ∈ 2 1
2 2
m
n
+
+
∆ AM MC BN NC MN AB AC【典例 2】解答下列问题：
1、已知平面向量 =（1，2）， =（1，-1），则 2 + =（ ）
Ａ（3，0） Ｂ（2，1） Ｃ （-3，3） Ｄ （3，3）
【解析】
【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算就可得出选
项。
【详细解答】 平面向量 =（1，2）， =（1，-1）， 2 + =（2，4）+（1，-1）=
（3，3）， D 正确， 选 D。
2、已知向量 =（ ，1）， =（-3， ），则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A - B C -1 D 1
【解析】
【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法；③
向量数量积的定义与性质；④向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算求出两个向
量的数量积与向量 的模，利用向量数量积的性质求出向量 在向量 方向上的投影就可
得出选项。
【详细解答】 向量 =（ ，1）， =（-3， ）， . =-3 +1 =-3 +
=-2 ，| |= =2， . =| |.| |cos< ， >， | |cos< ， >= =
=- ， A 正确， 选 A。
3、已知平面向量 =（m+1，-2）， =（-3，3），若 // ，则实数 m 的值为（ ）
A 0 B -3 C 1 D -1
【解析】
【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③方程的定
义与解法。
【解题思路】运用平面向量平行的性质，结合问题条件得到关于实数 m 的方程，求解方程
求出实数 m 的值就可得出选项。
【详细解答】 平面向量 =（m+1，-2）， =（-3，3），且 // ， = ， m
=1， C 正确， 选 C。
4、已知向量 =（1，2）， =（2，-1）， =（1， ），若 //(2 + )，则 = 。
a b a b
a b ∴ a b
⇒ ∴
a 3 b 3 b a
3 3
a b a
a 3 b 3 ∴ a b × 3 × 3 3
3
3 a 3 1+ a b a b a b ∴ b a b .
| |
a b
a
2 3
2
−
3 ⇒ ∴
a b a b
a b a b ∴ 1
3
m +
−
2
3
− ⇒
⇒ ∴
a b c λ c a b λ【解析】
【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③平面向量
坐标运算的法则和基本方法；④方程的定义与解法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出(2 + )，根据
斜率平行的性质得到关于实数 的方程，求解方程就可求出实数 的值。
【详细解答】 =（1，2）， =（2，-1）， 2 + =（2，4）+（2，-1）=（4，3），
=（1， ），且 //(2 + )， = ， = 。
『思考问题 2』
（1）【典例 2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握
向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量
坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算
律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
〔练习 2〕解答下列问题：
1、已知点 A（2，-2），B（4，3），向量 =（2k-1，7），若 // ，则 k 的值为（ ）
A - B C - D
2、已知 ， 是两个不共线的向量， = + ， = + （ ， ∈R），那么 A，
B，C 三点共线的充要条件是（ ）
A + =2 B - =1 C =-1 D =1
3、若向量 =（x+3， -3x-4）与 相等，已知 A（1，2），B（8，2），则 x 的值为（ ）
A -1 B -1 或 4 C 4 D 1 或-4
4、已知向量 =（2，1）， =（3，4）， =（k，2），若(3 - )// ，则实数 k 的值为（ ）
A -8 B -6 C -1 D 6
5、在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 P 在曲线 ：y= (x 0)上，曲线 与 X 轴相
交于点 B，与 Y 轴相交于点 C，点 D（2,1）和点 E（1,0）满足 = + （ ，
R），则 + 的最小值为 。
【典例 2】解答下列问题：
1、已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且（ - ） ，则 与 的夹角为（ ）
A B C D
a b
λ λ
a b ∴ a b
c λ c a b ∴ 1
4 3
λ ⇒ λ 3
4
a a AB
9
10
9
10
19
10
19
10
a b AB λ a b AC a µ b λ µ
λ µ λ µ λ µ λ µ
a 2x AB
a b c a b c
Γ
2
1 4
x− ≥ Γ
OD λ CE µ OP λ µ
∈ λ µ
a b a b a b ⊥ b a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质和运算的基本方法，结合问题条件得到含 与 的
夹角余弦的方程，求解方程得出 与 夹角的余弦值，从而求出 与 的夹角。
【详细解答】 非零向量 ， 满足| |=2| |，且（ - ） ， （ - ）. = . -
. =| |.| |cos< ， >-| | =2| | cos< ， >-| | =| | （2 cos< ， >-1）=0，
| | 0， 2 cos< ， >-1=0， cos< ， >= ， < ， >= ， B 正确，
选 B。
2、（1）已知 =（2，3）， =（3，t），| |=1，则 . =（ ）
A -3 B -2 C 2 D 3
（2）已知向量 =（2，3）， =（3，2），则| - |=（ ）
A B 2 C 5 D 50
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；
③向量坐标运算的法则和基本方法；④向量模的定义与求法。
【解题思路】（1）运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量 ，从而
求出 t 的值，根据平面向量数量积的性质，平面向量数量积坐标运算法则和基本方法，结合
问题条件通过运算求出 . 就可得出选项；（2）运用向量坐标运算的法则和基本方法，
结合问题条件求出 - ，利用向量模的求法求出| - |就可得出选项。
【详细解答】（1） =（2，3）， =（3，t）， = - =（3，t）-（2，3）
=（1，t-3）， | |= =1， =1， t=3， =（1，0），
. =2 1+3 0=2， ,C 正确， 选 C；（2） 向量 =（2，3）， =（3，2），
- =（2，3）-（3，2）=（-1，1）， | - |= = ， A 正确， 选 A。
3、（1）在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A（0，-2），N（1，0），若动点 M 满足
= ，则 . 的取值范围是（ ）
A [0，2] B [0，2 ] C [-2，2] D [-2 ，2 ]
a b
a b a b
a b a b a b ⊥ b ∴ a b b a b
b b a b a b b 2 b 2 a b b 2 b 2 a b
b 2 ≠ ∴ a b ⇒ a b 1
2
∴ a b
3
π ⇒
∴
AB AC BC AB BC
a b a b
2 2
BC
AB BC
a b a b
AB AC ∴ BC AC AB
BC 21 ( 3)t+ − ∴ 21 ( 3)t+ − ⇒ ∴ BC ⇒
AB BC × × ⇒ ∴ a b ∴
a b ⇒ a b 1 1+ 2 ⇒ ∴
| |
| |
MA
MO
2 OM ON
2 2 2（2）在平面直角坐标系 XOY 中，点 A（1，0），直线 l：y=k(x-1)+2，设点 A 关于直线 l 的
对称点为 B，则 . 的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；
③向量坐标运算的法则和基本方法；④已知点关于已知直线对称点的定义与求法；⑤基本不
等式及运用。
【解题思路】（1）设 M（x，y），运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到
关于 x，y 的等式，从而把 y 表示成关于 x 的式子，根据平面向量数量积坐标运算法则和基
本方法，结合问题条件通过运算求出 . 关于 x 的函数，通过求函数值域的方法求出
. 的取值范围就可得出选项；（2）设 B（x，y），运用已知点关于已知直线对称点
的求法，结合问题条件求出点 B 的坐标，根据向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题
条件求出向量 ， ，利用面向量数量积坐标运算法则和基本方法得到 . 关于 k
的函数，通过求函数值域的方法就可求出 . 的取值范围。
【详细解答】（1）设 M（x，y）， = = ， =2
（ ）， =- +4y+4， =（x，y）， =（1，0）， . =x+0=x
= = ， -2 . 2 ， D 正确， 选
D；（2）设 B（x，y）， 点 A（1，0），关于直线 l：y=k(x-1)+2 的对称点为 B， =k(
-1)
+2，且 =- ， x= ，y= ， B（ ， ）， =（1，
0）， =（ ， ）， . = +0= =1+ =1+ ，
①若
k>0 ， 2 =2 ， ， 1+ 1+ = ； ② 若 k= ；
（2）已知向量 =（2，2）， =（-3，6），则 cos< ， >= 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；
③单位向量的定义与性质。
【解题思路】（1）运用单位向量的性质，向量数量积运算的法则和基本方法，结合问题条件
求出 . 的值，利用平面向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出 cos< ，
>的值；（2）运用向量数量积坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出 . ，|
|，| |的值，根据向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出 cos< ， >
的值。
【详细解答】（1） ， 为单位向量， . =0， =2 - ， | |=| |=1， . =
. （ 2 - ） =2 . - . =2| | -0=2 ， | |=|2 - |=
= =3， . =| |.| | cos< ， >， cos< ， >= = = ；
（2） 向量 =（2，2）， =（-3，6）， . =2 （-3）+2 6=-6+12=6， | |= =2
， | |= =3 ， . =| |.| | cos< ， > ， cos< ， >= =
= 。
5、已知向量 =（-4，3）， =（6，m），且 ，则 m= ；
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质，坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到
∴ OB ⇒ OA OB ∴ 1
2
≤ OA OB ≤ 3
2
OA OB 1
2
3
2
a b a b c a 5 b a c
a b a b
a c a
c a b a
b a c
a b a b c a 5 b ∴ a b a c
a a 5 b a a 5 a b a 2 c a 5 b
2 24 | | 4 5 . 5| |a a b b− +
4 0 5− + a c a c a c ∴ a c .
| |.| |
a c
a c
2
1 3×
2
3
a b ∴ a b × × a 4 4+
2 b 9 36+ 5 a b a b a b ∴ a b .
| |.| |
a b
a b
6
2 2 3 5×
10
10
a b a ⊥ b关于实数 m 的方程，求解方程就可得出实数 m 的值。
【 详 细 解 答 】 向 量 = （ -4 ， 3 ）， = （ 6 ， m ）， 且 ， . =-4
6+3m=-24+3m=0，
m=8。
6、已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = -2 ， =k + ，若 . =0，则 k
的值为 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法，
③单位向量的定义与性质。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质，几何运算的法则和基本方法，单位向量的性质，
结合问题条件得到关于实数 k 的方程，求解方程就可得出实数 k 的值。
【详细解答】 ， 是夹角为 的两个单位向量， = -2 ， =k + ， . =
k . + . -2k . -2 . =k+(1-2k) (- )-2=k- +k-2=2k- =0， k= 。
『思考问题 3』
（1）【典例 3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握
平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积
的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式 .
=| || |cos〈 ， 〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量 = ， = ，求向量数量积直接运用公式 . = 求解；
已 知 向 量 = ， 求 向 量 的 模 一 般 运 用 公 式 . =| | = + ， | |=
求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（4）求 与 的夹角常用公式 cos = 求解，基本方法是：①求出 . 及| || |或
得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。
〔练习 3〕解答下列问题：
1、已知平面向量 =（1，1）， =（t+1，1），若 ⊥ ，则实数 t 的值为（ ）
A -2 B 0 C 2 D -1
2、已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 内一点，则 .( + )的最
小值是（ ）
A -2 B - C - D -1
3、已知向量 ， 满足| |=1， . =-1， .（2 - ）=（ ）
a b a ⊥ b ∴ a b ×
⇒
1e 2e 2
3
π
a 1e 2e b
1e 2e a b
1e 2e 2
3
π
a 1e 2e b
1e 2e ∴ a b
1e 1e 1e 2e 1e 2e 2e 2e × 1
2
1
2
5
2
⇒ 5
4
a
b a b a b
a 1 1( , )x y b
2 2( , )x y a b
1 2 1 2+x x y y
a 1 1( , )x y a a a a 2 2
1x 2
1y ⇒ a
2 2
1 1x y+
a b θ .
| || |
a b
a b
a b a b
a b a b
ABC∆ ABC∆ PA PB PC
3
2
4
3
a b a a b a a bA 4 B 3 C 2 D 0
4、（1）设 ， 均为单位向量，则“| -3 |=| +3 |”是“ ⊥ ”的（ ）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（2）设向量 =（1，0）， =（-1，m），若 ⊥（m - ），则 m= 。
5、在平面直角坐标系 XOY 中，已知 =（1,0）， =（0，b）（b R），若 =
2 + ，点 M 满足 = （ R），且| |.| |=36，则 . 的最大值
为 ；
6、（1）已知向量 ， 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则| +2 |= ；
（2）已知向量 =（-1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则 m= 。
a b a b a b a b
a b a a b
OA OB ∈ OC
OA OB OM λ OC λ ∈ OC OM OM OA
a b .60 a b a b
a b a b a
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