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三角函数值域与最值的求法
大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：①给定自变量 x 的取值范围，求三角函数
的值域或最值；②自变量 x 为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何
解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x∈R)。
（1）求函数 f(x)的最小正周期；
（2）求函数 f(x)在区间〔 , 〕上的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②三角函数最小正周期的定义与求法；③辅助角公式及运
用；④正弦函数的图像与性质。
【解题思路】（1）运用二倍角公式和辅助角公式把函数 f(x)化成 f(x)= Asin( x+ )的形式，
根据三角函数最小正周期的公式求出函数 f(x)的最小正周期；（2）由 x 〔 , 〕求出
2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数 f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】（1） f(x)=2 sinx cosx-2cos x+1= sin2x- cos2x= sin(2x+ )，
T= = ；（2） x 〔 , 〕， 2x+ 〔 , 〕， -1 sin (2x+ ) 1，
= 1= ， = （-1）=- 。 y
2、已知函数 y=Asin( x+ )(A＞0, ＞0, |---2
| |≤ )的一段图像如右图所示。 |
（1）求函数 f(x)的解析式； - 0 | x
（2）求这个函数的单调递增区间； -2------- |
（3）求函数在区间〔 , 〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①三角函数的图像与性质；②三角函数最小正周期的公式及运用；③根据三角函
数图像上的点确定 的基本方法；④正弦函数的图像与性质。
【解题思路】（1）根据三角函数的图像确定 A 和 T 的值，运用公式 T= 求出 的值，
由点（- ，2）在函数 f(x)的图像上，求出 的值，从而得到函数 f(x)的解析式=；（2）运
8
π 3
4
π
ϖ ϕ
∈
8
π 3
4
π
4
π
2 2 4
π ∴
2
2
π π ∈
8
π 3
4
π ∴
4
π ∈
2
π 7
4
π ⇒ ≤
4
π ≤
∴ max( )f x 2 × 2 min( )f x 2 × 2
ϖ ϕ ϖ
ϕ π
8
π 3
8
π
3
π
2
π
ϕ
2
| |
π
ϖ ϖ
8
π ϕ
用正弦函数的性质得到不等式 2k - 2x+ 2k + ，解这个不等式就可得出
结果；（3）由 x 〔 , 〕求出 2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函
数 f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】（1）由图知，A=2， = -（- ）= ， T= ， = =2， f(x)
=2sin (2x+ )， 点（- ，2）在函数 f(x)的图像上， 2=2sin [2 （- ）+ ]= 2sin
（- + ）， sin （- + ）=1， - + = 2k + ， = 2k + （k
Z）， | |≤ ， = ， f(x)=2sin (2x+ )；（2） 由 2k - 2x+
2k + ，解得 k - x k - （k Z）， 函数 f(x)的单调递增区间是[k
- ，k - ]
（k Z）；（3） x 〔 , 〕， 2x+ 〔 , 〕， -1 sin (2x+ ) -
，
=2 （- ）=- ， =2 （-1）=-2。
『思考问题 1』
（1）【典例 1】是运用正弦函数（或正弦型函数）与余弦函数（或余弦型函数）的有界性来
求三角函数的值域或最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像
和性质，尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是［-1,1］这一特殊性质；
（2）对于正弦型函数与余弦型函数只需把( x+ )看成整体未知数，进而将问题转化为正
弦函数与余弦函数的问题来解决。
〔练习 1〕解答下列问题：
1、求函数 y=sinx〔sinx-sin(x+ )〕的最大值和最小值；
2、求函数 y= 的最大值和最小值；
3、已知函数 f(x)= x-2sinxcosx- x。
（1）求函数 f(x)的最小正周期；
（2）求函数 f(x)的最大值和最小值。
【典例 2】按要求解答下列各题：
1、求函数 f(x)=cos2x-6cosx 的值域；
【解析】
π
2
π ≤
4
π ≤ π
2
π
∈
3
π
2
π
4
π
2
T 3
8
π
8
π
2
π ⇒ π ⇒ ϖ 2π
π ⇒
ϕ 8
π ∴ ×
8
π ϕ
4
π ϕ ⇒
4
π ϕ ⇒
4
π ϕ π
2
π ⇒ ϕ π 3
4
π ∈
ϕ π ∴ϕ 3
4
π ⇒ 3
4
π
π
2
π ≤ 3
4
π
≤ π
2
π π 5
8
π ≤ ≤ π
8
π ∈ ∴ π
5
8
π π
8
π
∈ ∈
3
π
2
π ∴ 3
4
π ∈ 17
12
π 7
4
π ⇒ ≤ 3
4
π ≤
2
2
∴ max( )f x × 2
2 2 min( )f x ×
ϖ ϕ
3
π
2 sin
2 cos
x
x
−
−
2cos 2sin
【知识点】①二倍角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图
像与性质。
【解题思路】运用二倍角公式把函数 f(x)化成 f(x)= 2 cos x -6 cos x -1 的形式，设 t= cos
x，t 〔-1,1〕，得到函数 f(t)=2 -6t-1，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得
出结果。
【详细解答】 f(x)= 2 cos x -6 cos x -1，设 t= cos x，t 〔-1,1〕， f(t)=2 -6t-1，
函数 f(t)在〔-1,1〕上单调递减， = f(-1)=2 -6 (-1)-1=7， =
f(1)= 2 1-6 1-1=-5。
2、是否存在实数 a，使得函数 y= x+acosx+ a- 在闭区间〔0, 〕上的最大值是 1？
若存在，求出对应的 a 值，若不存在，说明理由；
【解析】
【知识点】①换元法的定义与基本方法；②一元二次函数的定义，图像与性质。
【解题思路】设存在实数 a，使得函数 y= x+acosx+ a- 在闭区间〔0, 〕上的最大
值是 1，令 t= cos x，t 〔-1,1〕，得到函数 f(t)=- +at+ a - ，根据一元二次函数的图
像与性质分别对
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