资料简介
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点；
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位
置和半径的大小；
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
问题导学 题型探究 达标检测
学习目标问题导学 新知探究 点点落实
知识点 圆的一般方程
思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什
么图形？
答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.
答案思考2 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？
答案
当D2＋E2－4F>0时，方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0
D2＋E2－4F0
表示以 为圆心，
以 为半径的圆
返回题型探究 重点难点 个个击破
类型一 圆的一般方程的概念
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
反思与感悟 解析答案反思与感悟
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有
如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不
表示圆，
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，
要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，
则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐
标和半径分别为________________；
解 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
解析答案(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1
＝0对称，则该圆的面积为_____.
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
解析答案
∴该圆的面积为9π.
9π类型二 求圆的一般方程
例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的方程；
解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解析答案
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解 由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，
解得a＝2或6.
解析答案反思与感悟反思与感悟
应用待定系数法求圆的方程时，
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径
列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)
的圆的方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解析答案类型三 与圆有关的轨迹方程
例3 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中
点M的轨迹方程.
解析答案反思与感悟反思与感悟
解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.反思与感悟
用代入法求轨迹方程的一般步骤返回
跟踪训练3 已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的
中点P的轨迹.
解析答案解 设动点P的坐标为(x，y)，
当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0).
当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2).
解析答案
∵M，N在圆O上，
又∵点P为中点，又∵M，N，A，P四点共线，
∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，
经检验，点(1,0)适合上式.
综上所述，
返回1 2 3达标检测 4 5
解析答案
1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为( )
A.(1,2) B.(1，－2)
C.(－1,2) D.(－1，－2)
解析 将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心
坐标是(1，－2).
B1 2 3 4 5
解析答案
2.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
C1 2 3 4 5
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
解析 由D2＋E2－4F＞0，
得(－1)2＋12－4m＞0，
B
解析答案1 2 3 4 5
解析答案
4.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆
心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程.1 2 3 4 5
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.1 2 3 4 5
解析答案
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4
上运动，求线段AB的端点B的轨迹.1 2 3 4 5解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y . ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.规律与方法
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判
D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于
零的常数.
2.待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y).
(2)列出点M满足条件的集合.
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简.
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
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