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第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切
公式(一)明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角
和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的
求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的
正用、逆用以及角的变换的常用方法.
明目标、知重点明目标、知重点
1.两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ .
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ .
2.两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ .
S(α－β)：sin(α－β)＝ .
cos αcos β＋sin αsin β
填要点·记疑点
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β明目标、知重点明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发，
你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？明目标、知重点
探究点一 由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)
思考 由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换
成－β后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式
出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式
？
答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
＝cos αcos β－sin αsin β.
即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.明目标、知重点
思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据
这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，
β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？
探究点二 由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.明目标、知重点
即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β.明目标、知重点
思考 运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活
进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征
结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于
发现和利用.
探究点三 两角和与差的正弦、余弦公式的应用明目标、知重点明目标、知重点
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·
sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
例1 化简求值：
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；明目标、知重点明目标、知重点
反思与感悟 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正
化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式
子的结构选择公式.明目标、知重点
跟踪训练1 化简求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°·cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β明目标、知重点
反思与感悟 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的
某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误
是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求
出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的
哪一种三角函数值.明目标、知重点
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β明目标、知重点
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β
⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α
⇒tan(α＋β)＝2tan α.明目标、知重点
反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“
等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差
异、函数名称的差异、结构形式的差异.明目标、知重点明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3
1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A
解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°
4明目标、知重点
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
1 2 3 4明目标、知重点
答案 A
1 2 3 4明目标、知重点
∴f(x)∈[－2,2].
[－2,2]
1 2 3 4明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
1 2 3 4明目标、知重点
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律
四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是
相同的，其内在联系为cos(α－β) cos(α＋β)
sin(α＋β) sin(α－β)，这样我们
只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就
掌握了其他三个公式.明目标、知重点
对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”.
对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”.
2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)
展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.明目标、知重点
3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变
换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，
选用恰当的公式快捷求解.
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