资料简介
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能
利用该公式进行求值、计算.
明目标、知重点明目标、知重点
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ ，其中α、β
为任意角．
cos αcos β＋sin αsin β
填要点·记疑点明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学明目标、知重点
探究点一 两角差余弦公式的探索
思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举
两例加以说明．
答 不正确．明目标、知重点
cos(α－β)≠cos α－cos β；
cos(α－β)≠cos α－cos β.明目标、知重点
思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写
出一个猜想．
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ＝ ；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝ ；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝ ＝ ；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ ＝ ．
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝ ；
即： .
1 cos 0°
cos 30°
0 cos(－90°)
cos(－60°)
cos(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点
探究点二 两角差余弦公式的证明
如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作
角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
请回答下列问题：
(cos α，sin α) (cos α，sin α) 1
(cos β，sin β) (cos β，sin β) 1明目标、知重点
α－β＝2kπ明目标、知重点
从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α－β)
cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点
思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
答 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.
思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
答 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．
探究点三 两角差余弦公式的应用明目标、知重点
思考3 若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于
什么？明目标、知重点
例1 利用两角差余弦公式求cos 75°、cos 15°的值．
解 cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°·cos 45°＋sin 120°·sin 45°
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°明目标、知重点
反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数
值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，
60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利
用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形
式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学
会灵活运用.明目标、知重点
跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值．
解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题．
(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名
称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变
换．常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
又∵β＝(α＋β)－α，明目标、知重点
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α明目标、知重点
反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化
为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；
③确定角的值．
(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．明目标、知重点明目标、知重点
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3
1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A明目标、知重点
1 2 3
2.cos 165°等于( )C
解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝
－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－明目标、知重点
1 2 3
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点
呈重点、现规律
1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某
些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“
变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的
正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.明目标、知重点
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，
求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；
③确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
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