资料简介
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版 数学 九年级 上册
24.1 圆的有关性质/
你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离
)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新知
24.1 圆的有关性质/
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应
用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
素养目标
24.1 圆的有关性质/
实践探究实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径
对折，重复几次，你发现了什么？由此
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
探究新知
圆的轴对称性知识点 1
24.1 圆的有关性质/
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所
在直线都是圆的对称轴.
●O
说一说
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB
，垂足为E．
【思考】左图是轴对称图形吗
？
探究新知
满足什么条
件才能证明
圆是轴对称
图形呢？
24.1 圆的有关性质/
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直
线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
都是圆的对称轴.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.
你能发现图中有那些相
等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A
与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒
·O
A B
D
E
C
探究新知
垂径定理及其推论知识点 2
24.1 圆的有关性质/
垂径定理
· O
A B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
是，请说明为什么？
是 不是，因为
没有垂直
是 不是，因为CD
没有过圆心
A B
O
C
D
E
O
A B
C
A B
O
E
A B
D
C
O
E
探究新知
24.1 圆的有关性质/
垂径定理的几个基本图形：
A B
O
C
D
E A B
O
E
D A B
O
C
A B
O
D
C
探究新知
归纳总结
24.1 圆的有关性质/
【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命
题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦
所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他
三个结论吗？
一条直线
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分线所对的优弧
平分弦所对的劣弧
具备其中两条
其余三条成立
探究新知
24.1 圆的有关性质/
D
O
A BE
C
举例证明其中一种组合方法。
已知:
求证：
① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒
探究新知
证明猜想
24.1 圆的有关性质/
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
B
D
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE， OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
证明举例
⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么
？
⌒⌒ ⌒
探究新知
D
O
A BE
C
证明：
24.1 圆的有关性质/
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分
弦所对的弧.
垂径定理的推论
·OA
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
探究新知
归纳总结
24.1 圆的有关性质/
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·O
A BE
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
素 养 考 点 1 垂径定理及其推论的计算
探究新知
24.1 圆的有关性质/
1. 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，
DC＝2cm，求半径OC的长.
·O
A B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=x cm，则OD= x-2,
根据勾股定理，得
解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
例2已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.⌒ ⌒
.
M
C D
A B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒⌒
⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒ ⌒
利用垂径定理及推论证明相等
平行弦夹的弧相等
素 养 考 点 2
探究新知
24.1 圆的有关性质/
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段）
，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理
创造条件.
归纳总结
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条
弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证四边形ADOE是正方形．
DD
· OO
AA BB
CC
EE
又 ∵AC = AB
∴ AE = AD
∴ 四边形ADOEADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
素 养 考 点 3 垂径定理的实际应用
探究新知
24.1 圆的有关性质/
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
3. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆
的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.
C
D
C
B
O
A DO
A B
图a 图b
2cm或12cm
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距
离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦
心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A B
C
D
O
h
r d
d+h=r
O
A BC
·
归纳总结
探究新知
24.1 圆的有关性质/巩固练习
连 接 中 考
C
24.1 圆的有关性质/
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为
3cm，则此圆的半径为 .5cm
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
24.1 圆的有关性质/
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦
MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之
间的距离为 .14cm或2cm
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆
的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么
关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A C D B
O
E
课堂检测
能 力 提 升 题
24.1 圆的有关性质/
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
● O
C
D
E
F
┗ 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.1 圆的有关性质/
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③
平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优
弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所
对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方
程.
基本图形及
变式图形
课堂小结
24.1 圆的有关性质/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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