资料简介
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
人教版 数学 九年级 上册
24.1 圆的有关性质/
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，
你会分吗？
导入新知
24.1 圆的有关性质/
3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“
在同圆或等圆”条件的意义.
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和
旋转不变性.
2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其
解决相关问题.
素养目标
24.1 圆的有关性质/
【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中
心在哪里?
·
探究新知
圆心角的概念圆心角的概念知识点 1
24.1 圆的有关性质/
圆是中心对称图形
.
O
A B
180°
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的
图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的
圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究新知
24.1 圆的有关性质/
· O
B
A
·O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
探究新知
24.1 圆的有关性质/
O A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角 弧
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.⌒
弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由.
① ② ③ ④
顶点在圆内，但不
是圆心，不是圆心
角
顶点在圆外，
不是圆心角
顶点在圆周上，
不是圆心角
圆心角
探究新知
24.1 圆的有关性质/
∠AOB＝∠A′OB′
· O
A
BA′
B′
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
得到：
AB =A＇B＇
探究新知
圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系知识点 2
24.1 圆的有关性质/
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD
，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒
⌒
C
·
O A
B
D
由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， AB与CD ，弦AB=弦CD
归纳
探究新知
在同圆中探究
⌒ ⌒
24.1 圆的有关性质/
·O
A B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D
，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·O ′
C D
通过平移和旋转将
两个等圆变成同一个圆，
可得：
如果∠AOB=∠COD
，
那么，AB=CD，
弦AB=弦CD.
归纳
⌒ ⌒
探究新知
在等圆中探究
24.1 圆的有关性质/
在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么
它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD ②AB=CD⌒ ⌒
③AB=CDA
B
O
D
C
探究新知
弧、弦与圆心角的关系定理
24.1 圆的有关性质/
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条
件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等 那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等在
同
圆
或
等
圆
中
题设 结论
探究新知
24.1 圆的有关性质/
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们
所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们
所对的圆心角相等，所对的弧相等．
探究新知
弧、弦与圆心角关系定理的推论
24.1 圆的有关性质/
关系结构图
探究新知
圆心角
相等
弧相等弦相等
24.1 圆的有关性质/
解：∵BC=CD=DE
例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·A O B
C
DE
素 养 考 点 1 利用弧、弦、圆心角的关系求角度
⌒ ⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒
探究新知
24.1 圆的有关性质/
×
×(1)等弦所对的弧相等. （ ）
(2)等弧所对的弦相等. （ ）
(3)圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
×
巩固练习
1. 判断正误。
24.1 圆的有关性质/
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∵ ∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B C
O
⌒ ⌒
∵AB=CD，⌒ ⌒
利用弧、弦、圆心角的关系证明相等素 养 考 点 2
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2. 填一填.
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，
_______________．
（2）如果 ，那么____________，
_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________
，_________．
·
C
A B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A B
D
E
F
O解：OE=OF.
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，
图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
解析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．
巩固练习
连 接 中 考
C
24.1 圆的有关性质/
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.1 圆的有关性质/
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD
的关系是（ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD
⌒ ⌒C. ABCD,即CD＜2AB.
⌒ ⌒
A B
C
EO
易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；
但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
课堂检测
⌒
⌒⌒⌒
拓 广 探 索 题
D
24.1 圆的有关性质/
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角
的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
解题指导
①注意前提条件；
②注意灵活转化.
课堂小结
24.1 圆的有关性质/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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