资料简介
24.3正多边形和圆/
24.3 正多边形和圆
第一课时
第二课时
人教版 数学 九年级 上册
24.3正多边形和圆/第一课时
正多边形的相关概念及计算
返回
24.3正多边形和圆/导入新知
观察上边的美丽图案,思考下面的问题:
(1)这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到
的物体,你能找出正多边形吗?
24.3正多边形和圆/导入新知
(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样
做一个正多边形呢?
24.3正多边形和圆/素养目标
3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问
题.
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心
距、边长之间的关系.
24.3正多边形和圆/探究新知
问题1 什么叫做正多边形?
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗
?为什么?
不是,因为矩形不符合各边相等;
不是,因为菱形不符合各角相等;
注意 正多边形 各边相等
各角相等
缺一不可
正多边形的对称性知识点 1
24.3正多边形和圆/探究新知
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴
对称图形吗?都是中心对称图形吗?
24.3正多边形和圆/探究新知
正n边形都是轴对称图形,都有n条对称轴,只有边数为
偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
问题4 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对
称图形吗?都是中心对称图形吗?
归纳
24.3正多边形和圆/探究新知
正多边形的有关概念
O
A B
CD
问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质,你能得出
什么结论?
E
F
G H
EF是边AB、CD的垂直平分线,
∴OA=OB,OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线,
∴OA=OD;OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的
外接圆.
知识点 2
24.3正多边形和圆/探究新知
O
A B
CD
E
F
G H
AC是∠DAB及∠DCB的角平
分线,BD是∠ABC及∠ADC
的角平分线,
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O
为圆心的内切圆.
24.3正多边形和圆/探究新知
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆
?任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?
3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆?
一个正多边形的各个顶点在同一个圆上,则这个正多边形就是这
个圆的一个内接正多边形,圆叫做这个正多边形的外接圆.
多边形不一定有外接圆和内切圆,只有是正多边形时才有,任意
三角形都有外接圆和内切圆.
想一想
24.3正多边形和圆/探究新知
O
A B
CD
E
F
G H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公
共圆心,叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半
径.
内切圆的半径叫作正多边形的边
心距.
正多边形每一条边所对的圆心角,叫做正多边形的中心
角.正多边形的每个中心角都等于
24.3正多边形和圆/探究新知
中心角
A
B
C D
E
F
O半径R
边心距r
中心
正多
边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60 ° 120 ° 120 °
90 ° 90 ° 90 °
120 ° 60 ° 60 °
正多边形的外
角=中心角
完成下面的表格:
练一练
24.3正多边形和圆/探究新知
如图,已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF:
①它的中心角等于 度 ;
② OC BC (填>、<或=);
③△OBC是 三角形;
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.
C
DO
B
EF
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算知识点 3
24.3正多边形和圆/探究新知
例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地
基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
C
DO
EF
A
P
抽象成
正多边形的有关计算素养考点
24.3正多边形和圆/探究新知
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积:
在Rt△OMB中,OB=4, MB=
4m
OA
B C
D
EF
M
r
解:过点O作OM⊥BC于M.
24.3正多边形和圆/巩固练习
1.如图所示,正五边形ABCDE内接于⊙O,则
∠ADE的度数是 ( )
A.60° B.45°
C. 36° D. 30° ·
A
B
C D
E
O
C
24.3正多边形和圆/探究新知
2.作边心距,构造直角三角形.
1.连半径,得中心角;
OA
B C
D
EF
R
M
r
·
方法归纳 :圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
24.3正多边形和圆/巩固练习
2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直
角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最
大值是多少?
广东省怀集县中洲镇泰来学校 李周林
解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x
∴ 另一边长为8-x。
则该直角三角形面积:S=(8-x)x÷2 即
当x= =4,另一边为4时,S有最大值 =8
∴当两直角边都是4时,直角面积最大,最大值为8.
24.3正多边形和圆/巩固练习
1.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着
坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和
谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的
图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度
连接中考
解析:由多边形的外角和等于360°可知,
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
连 接 中 考
360
24.3正多边形和圆/课堂检测
正多边形边
数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1. 填表
2 1
2 8 4
2 2 12
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2,则这个
多边形的边数是 .3
基 础 巩 固 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则
选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正
方形外接圆的直径
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案,其形状近似
看作为正七边形,则一个内角为 度.(不
取近似值)
基 础 巩 固 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
1. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的
面积等于4,求⊙O的面积.
解:∵正方形的面积等于4,
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
则圆的直径AC=2 ,
∴⊙O的半径=
能 力 提 升 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
AB
C
D E
F
P
2.如图,正六边形ABCDEF的边长为 ,点P为六边
形内任一点.则点P到各边距离之和是多少?
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18.
解:过P作AB的垂线,分别交AB、DE于H、K,
连接BD,作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和,及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB∥DE,AF∥CD,BC∥EF
,
∵BC=CD,∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°,
∴∠CBD=∠BDC=30°,BD∥HK,且BD=HK.∴CG= BC=
∵CG⊥BD,∴BD=2BG=2× =2× 3 =6.
能 力 提 升 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B C
D
E
A
B C
D
.
A
B C
M
N
M
N
M
N
OOO
90 °
72 °
120 °
图①
图②
图③
拓 广 探 索 题
24.3正多边形和圆/课堂小结
正多边形
正多边形的
有 关 概 念
正多边形的
有 关 计 算
添加辅助线的方法:
连半径,作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形
和圆
中心角
内角
外角
周长
面积
正多边形的
定义
正多边形的
性 质
任何正多边形都有一个外接
圆和一个内切圆.所有正多边
形都是轴对称图形,边数为
偶数时,它既是轴对称图形
又是中心对称图形
24.3正多边形和圆/第二课时
正多边形的画法
返回
24.3正多边形和圆/导入新知
正多边形和圆有什么关系?
你能借助圆画一个正多边形吗? ·O
24.3正多边形和圆/素养目标
2. 掌握画正多边形的关键——等分圆周的两
种方法:一是量角器等分圆周;二是用尺规
作图等分圆周.
1. 掌握正多边形的画法.
24.3正多边形和圆/探究新知
多姿多彩的正多边形:观察生活中的
正多边形图案.
正多边形的画法知识点
24.3正多边形和圆/探究新知
几种常见的正多边形
24.3正多边形和圆/探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性,
所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
怎样画一个正多边形呢?
问题1:已知⊙O的半径为2cm,求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量,使
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
②用量角器或30°角的三角板度量,
使∠BAO=∠CAO=30°.
A
O
C B
24.3正多边形和圆/探究新知
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、
正六边形吗?
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90° 72° 60°
24.3正多边形和圆/探究新知
你能尺规作出正四边形、正八边形吗
?
·
A
B C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的
直径即得圆内接正方形,再过
圆心作各边的垂线与⊙O相交,
或作各中心角的角平分线与⊙O
相交,即得圆接正八边形,照
此方法依次可作正十六边形、
正三十二边形、正六十四边形
……
24.3正多边形和圆/探究新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形
吗?
OA
B C
EF
·
D
以半径长在圆周上截取六
段相等的弧,依次连结各等分
点,则作出正六边形.
先作出正六边形,则可作
正三角形,正十二边形,正二
十四边形………
24.3正多边形和圆/探究新知
说说作正多边形的方法有哪些?
(1)用量角器等分圆周作正n边形;
(2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,
用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正
三角形.
24.3正多边形和圆/探究新知
例 已知☉O和☉O上的一点A(如图).
求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
正多边形的画法素养考点
解:作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A、B、C、D四点.
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
④分别以A、C为圆心,OA的长为半径作弧,
交☉O于E、H、F、G;
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
A O..
24.3正多边形和圆/巩固练习
画一个半径为2cm的正五边形,再作出这个正
五边形的各条对角线,画出一个五角星.
24.3正多边形和圆/巩固练习
连 接 中 考
D
24.3正多边形和圆/巩固练习
连 接 中 考
24.3正多边形和圆/课堂检测
广东省怀集县大岗镇中心初级中学 石迎伦
在图中,用尺规作图画出圆O的内接正三角形.
R
作法:
1.作出圆的任意一条半径,
2.作半径的垂直平分线,交
圆于点A、B,
3.分别以A、B为圆心,线段
AB的长为半径作弧,两户
交于点C,连接AC、BC.则
△ABC即为所求.
A
B
C
基 础 巩 固 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
利用量角器画一个边长为2cm的正六边形.
作法:如图,以2cm为半径作一个⊙O,用量角器画一个
等于 的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依
次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的6个等分点,顺次
连接各分点,即可得出正六边形.
·
60°
O
90
0
180
60
120
能 力 提 升 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称
为该图形的“直径”,封闭图形的周长与直径之比称为图
形的“周率”,下面四个平面图形(依次为正三角形、正
方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1,a2,
a3,a4,则下列关系中正确的是( )
A.a4>a2>a1
B.a4>a3>a2
C.a1>a2>a3
D.a2>a3>a4
B
拓 广 探 索 题
24.3正多边形和圆/课堂检测
画一个正十二边形.
作法:如图,分别以⊙O的四等
分点A,B,E,F为圆心,以
⊙O的半径长为半径,画8条弧
与⊙O相交,就可以把⊙O分成12
等份,依次连接各等分点,即
得到正十二边形.
拓 广 探 索 题
24.3正多边形和圆/课堂小结
1.画正多边形的方法:
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因
此作相等的圆心角就可以等分圆周,从而得
到相应的正多边形.
2.画正多边形的方法 1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
24.3正多边形和圆/
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业
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