资料简介
24.4 弧长和扇形面积/
24.4 弧长和扇形的面积
第一课时
第二课时
人教版 数学 九年级 上册
24.4 弧长和扇形面积/第一课时
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弧长和扇形面积计算公式
24.4 弧长和扇形面积/
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑
道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”
？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
导入新知
24.4 弧长和扇形面积/
2. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这
些公式进行相关计算.
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
素养目标
24.4 弧长和扇形面积/
弧长计算公式及相关的计算
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 ①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所
对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？
探究新知
知识点 1
24.4 弧长和扇形面积/
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
弧长是多少？
O
R
18
0° O
R 90°
O
R45°
O
Rn°
探究新知
弧长= ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
弧长 = ·2πR
=
24.4 弧长和扇形面积/
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意
义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
注意
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则
弧长为____.
弧长公式
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再
下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到
1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mmR=900mm
(100 °
A
C
B
DO
弧长公式的应用
700mm
素 养 考 点 1
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向
旋转的度数为n°。
解得 n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
1.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物
上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转
多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
巩固练习
·O
A
24.4 弧长和扇形面积/
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成
的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
扇形面积计算公式及相关的计算
探究新知
知识点 2
24.4 弧长和扇形面积/
下列图形是扇形吗？判一判
√× ×
× √
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
问题1 半径为r的圆,面积是多少
？
O
r
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
具体是多少呢?
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
O
r
180°
O
r 90°
O
r 45°
O
rn°
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是
不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程
记忆）.
注意
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
大小不变时，对应
的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面
积与 有关， 越
大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O
●
A
B D
C
E
F O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似
？
A B
OO
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个
扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O R
60°解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
扇形面积公式的应用
探究新知
素 养 考 点 2
24.4 弧长和扇形面积/
2. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则
这个扇形的面积S扇= ．
3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则
这个扇形的面积S扇= .
巩固练习
24.4 弧长和扇形面积/
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm
，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到
0.01cm）
(1
)
O
. BA
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指
图上哪一部分？ 阴影部分.
求阴影部分的面积
探究新知
素 养 考 点 3
24.4 弧长和扇形面积/
O
. BA
C
D
(2
)
O.
BA
C
D
(3
)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长
？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O
于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-
△OAB的面积
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，
垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
O.
BA
C
D
(3
)
探究新知
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
24.4 弧长和扇形面积/
OO
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
• S弓形=S扇形-S三角形 • S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
探究新知
24.4 弧长和扇形面积/
2π
4. 如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D
是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．
解析：阴影部分的面积就是扇形
OAC的面积，由题意得：
∠AOC=60°÷3=20°.
S扇形OAC= =2π.
巩固练习
2π
24.4 弧长和扇形面积/
1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，
BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C． 2π D．
巩固练习
D
连 接 中 考
24.4 弧长和扇形面积/
2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
巩固练习
C
连 接 中 考
24.4 弧长和扇形面积/
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H
分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到
△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的
面积为 （ ）
A. B．
C. D.
1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长 .
C
A B
C
O
H
C1
A1
H1O1
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.4 弧长和扇形面积/
3. 如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，
且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
A
B
C
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
24.4 弧长和扇形面积/
1. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝
90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻
转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为
________(结果用含π的式子表示)．
A1
A2
C1
课堂检测
能 力 提 升 题
l
24.4 弧长和扇形面积/
2. 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm
，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A B
D
C
E解：
课堂检测
能 力 提 升 题
24.4 弧长和扇形面积/
如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平
桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶
点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B A'
B
'C
解: 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针
方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于
弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂检测
拓 广 探 索 题
24.4 弧长和扇形面积/
弧 长
计算公式：
扇 形
定 义
公 式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓 形 公 式 S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
24.4 弧长和扇形面积/第二课时
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圆锥的侧面积及全面积
24.4 弧长和扇形面积/导入新知
下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？
24.4 弧长和扇形面积/素养目标
2. 会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单
的实际问题.
1. 体会圆锥侧面积的探索过程.
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
圆锥及相关概念知识点 1
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
圆锥的高
母线
S
A O Br
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA
，SB 等叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心
之间的距离是圆锥的高．
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
要点归纳
h
由勾股定理得：
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长,
l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：
r2+h2=l2
O r
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
填一填:
根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面
半径、高线、母线长）
（1）l = 2，r=1 则 h=_______.
(2) h =3, r=4 则 l =_______.
(3) l = 10, h = 8 则r=_______.
5
6
h
O r
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
l
o
r
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇
形
圆锥的侧面展开图是扇形.
圆锥的侧面展开图知识点 2
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
问题：
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇
形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪
一条线段相等？
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
l
o
侧 面
展 开
图
概念对比
r l
r
扇 形
其侧面展开图扇形的半径=母线的长
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
圆锥的侧面积计算公式的推导
l
o
侧 面
展开图
l
r
圆锥的全面积计算公式
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
∵
又∵
∴
（l为弧长，R
为扇形的半径）
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为
20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.
可得 r=10.
可得 a=30.
又
圆锥有关概念的计算素 养 考 点 1
24.4 弧长和扇形面积/巩固练习
1. 如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用
这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)则这个圆锥的底面半径r= ．
(2)这个圆锥的高h= .
A
C B
θ
R=10
O
r
4
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
α
O
h
r
l
例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为
50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面
展开图？求出该侧面展开图的面积.
解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示.设该扇形的面积为S.
圆锥有关面积的计算素 养 考 点 2
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
解法一
解法二 S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π
解法三 S=πr·l= π×40×50=2000π
24.4 弧长和扇形面积/巩固练习
2. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长
为20cm，则这个圆锥的侧面积为 ，
全面积为 .
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用
毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m
的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
利用圆锥的面积解决实际问题素 养 考 点 3
24.4 弧长和扇形面积/探究新知
解：如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m
；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
圆柱的侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
答：至少需要1446平方米的毛毡.
24.4 弧长和扇形面积/巩固练习
3.圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求
这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结果保留2个有效数字）
解：∵l=80，h=38.7 ∴r=
∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2.
lh
r
24.4 弧长和扇形面积/巩固练习
A
连 接 中 考
24.4 弧长和扇形面积/课堂检测
1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面
展开图扇形的圆心角是_______．
2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个
圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ．
180°
10cm
3.3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是
，全面积是 ．15πcm2 24πcm2
基 础 巩 固 题
24.4 弧长和扇形面积/课堂检测
如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求
圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴S全=S侧+S底=48π(cm2).
能 力 提 升 题
24.4 弧长和扇形面积/课堂检测
（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，
求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个
圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？
请说明理由． A
B C
① ②
③
O
拓 广 探 索 题
24.4 弧长和扇形面积/课堂检测
解：（1）连接BC，则BC=20，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
（3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=
最大半径为
所以不能．
A
B C
① ②
③
O
∴S扇形=
∴AB=AC=
（2）圆锥侧面展开图的弧长为：
E
F
24.4 弧长和扇形面积/课堂小结
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底
＝ πrl+πr2
圆锥的高
母线
r
S
A O B
h
l
o
侧 面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径=母线的
长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
重要图形 重要结论
24.4 弧长和扇形面积/
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业
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