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第二章 平面向量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的
含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其
他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
明目标、知重点明目标、知重点
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，
那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1
，λ2，使a＝ .
(2)基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内
向量的一组基底.
不共线
填要点·记疑点
任意 有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
不共线 所有明目标、知重点
2.两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个 向量a和b，如图，作
则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
①范围：向量a与b的夹角的范围是 .
②当θ＝0°时，a与b .
③当θ＝180°时，a与b .
(2)垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
非零
∠AOB
[0°，180°]
同向
反向
90° a⊥b明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向
量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为
零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种
力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？明目标、知重点
探究点一 平面向量基本定理的提出明目标、知重点
答 通过观察，可得：明目标、知重点
思考2 根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内
两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能
完整地描述这个定理的内容吗？
答 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平
面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.明目标、知重点
思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫
做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以
作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相
同？平面向量的基底唯一吗？
答 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向
量a的表示式不相同.
平面向量的基底不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面
的一组基底.明目标、知重点
探究点二 平面向量基本定理的证明
思考1 证明定理中λ1，λ2的存在性.
如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这
一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形
式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系.明目标、知重点
过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线
OB于点N，明目标、知重点
思考2 证明定理中λ1，λ2的唯一性.
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面
的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯
一确定的.(提示：利用反证法)
答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使
a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.
∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.
∵e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，
∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.
∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的.明目标、知重点
探究点三 向量的夹角
思考1 已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出
它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定
的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？明目标、知重点
∠AOB＝θ，就是a与b的夹角.
两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时要
注意先使向量的始点相同，再确定大小.明目标、知重点
思考2 在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角？明目标、知重点明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解 ∵a，b不共线，
∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－
2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.明目标、知重点
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕
它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面
几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结
合，具体问题具体分析，从而解决问题.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边
形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细
观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面
向量基本定理解决.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
例3 已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a
－b与a的夹角.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.明目标、知重点
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个
向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图
形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.明目标、知重点
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，明目标、知重点
解 ∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3 4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
D明目标、知重点
1 2 3 4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1
＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号
是_________.(写出所有满足条件的序号)
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
①②④明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
1 2 3 4
解 连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
呈重点、现规律
1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的
选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这
个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解
是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解
决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向
量向基底化归，使问题得以解决.
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