资料简介
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景
及基本概念明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌
握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的
联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量
及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
明目标、知重点明目标、知重点
1.向量
既有 ，又有 的量叫做向量.
2.向量的几何表示
以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.向量的有关概念
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.
大小
填要点·记疑点
方向
0 0
1明目标、知重点
(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行
向量，也叫共线向量.
①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 平行.
长度相等且方向相同
相同或相反 非零
a∥b
任一向量明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本
书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们
可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行
抽象，形成一种新的量，即向量.明目标、知重点
探究点一 向量的概念和几何表示
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们
把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没
有方向的量称为数量.
例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度.
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.明目标、知重点
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不
能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表
示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示
向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段
箭头表示向量的方向.明目标、知重点
思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.
思考3 向量与有向线段有什么区别？
答 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方
向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的
工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小
和方向相同，也是不同的有向线段.明目标、知重点
探究点二 几个向量概念的理解
思考1 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么
向量？
答 长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
长度(或模)为1的向量叫做单位向量.
思考2 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相
等向量吗？
答 长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相
等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.明目标、知重点
小结 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不
可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对
新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.
思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一
点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？
答 单位圆.明目标、知重点
探究点三 平行向量与共线向量
思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向
量的方向有什么关系？
答 方向相同或相反.
小结 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，
通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量
a，都有0∥a.明目标、知重点
由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量
也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此
要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和
共线相混淆.明目标、知重点
思考2 如果非零向量 是共线向量，那么点A、B、C、D
是否一定共线？
答 点A、B、C、D不一定共线.明目标、知重点
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，
若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备
传递性吗？
答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与
b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，
这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有
a∥b，b∥c⇒a∥c.明目标、知重点
小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解
答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非
零向量”.明目标、知重点
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若 则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.明目标、知重点
解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相
反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
② A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不
正确.
③在平行四边形ABCD中， 与平行且方
向相同，故 ③正确.明目标、知重点
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方
向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.
若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；
b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、
理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一
反例即可.明目标、知重点
跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
解 不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来
确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不
正确.
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
解 不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.明目标、知重点
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
解 正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可
得a＝b.
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解 不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方
向不确定.明目标、知重点
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变
方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行
驶了100 km到达D点.
(1)作出向量
解 (1)向量 如图所示.明目标、知重点
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.明目标、知重点
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起
点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向
量的终点.明目标、知重点
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略).明目标、知重点
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、
AB、BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解 因为E、F分别是AC、AB的中点，明目标、知重点
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.明目标、知重点
跟踪训练3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图
中所示向量与 相等的向量.明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3 4
1.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比
较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小明目标、知重点
1 2 3 4
解析 A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以
A不正确；
由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B
不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向
无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案 D明目标、知重点
1 2 3 4
2.如图，在四边形ABCD中，若 则图中相等的
向量是( )D明目标、知重点
1 2 3 4
3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中
是共线向量的有________________________.
解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.明目标、知重点
1 2 3 4
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.
梯形明目标、知重点
呈重点、现规律
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数
特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问
题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能
起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所
在直线平行或重合即可，是一种广意平行.明目标、知重点
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向
量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的
终点在平面内形成一个单位圆.
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