资料简介
7.1 为什么要证明
北师大版 数学 八年级 上册
a b c
d
7.1 为什么要证明/
现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界.
数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法
得出了很多结论.观察、实验、归纳的方法得到的
结论一定正确吗？如果不是，那么，用什么方法
证明它呢？
导入新知
7.1 为什么要证明/
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正
确，必须进行推理．
2. 会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一
个数学结论是否正确．
素养目标
3. 培养合作交流并探讨的学习品质,培养用科学的态度
审视在数学活动中遇到的不确定结论的习惯.
7.1 为什么要证明/
观察与思考
两图中的中间圆大小一样吗？
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探究新知
知识点 1 数学的结论必须经过严格的论证
7.1 为什么要证明/
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探究新知
线
是
直
还
是
曲
？
观察与思考
7.1 为什么要证明/
图中的四边形是正方形吗？
探究新知
观察与思考
7.1 为什么要证明/
是
静
还
是
动
？
探究新知
观察与思考
7.1 为什么要证明/
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线
!
你觉得观察得到的结论正确吗？
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探究新知
观
察
与
思
考
7.1 为什么要证明/
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、 有根有据的证明.
请举例说明，你用到过的推理.
探究新知
7.1 为什么要证明/
做
一
做
如图，假如用一根比地球的赤道长1m的铁丝
将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之
间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放
进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为C，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也
能放进一个拳头.
探究新知
7.1 为什么要证明/
费 马
对于所有自
然数n，
的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
= 3，5，17，257，65 537
都是质数.
欧 拉
当n=5时， = 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论
的有效方法.
大数学家也有失误
探究新知
7.1 为什么要证明/
这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、
猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就
是一种常用方法.
探究新知
归纳总结
7.1 为什么要证明/
例1 先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？2020/12/27 13
知识点 2 检验数学结论的常用方法
探究新知
素 养 考 点 1 实验验证法实验验证法
7.1 为什么要证明/
解：观察可能得出的结论是：
①实线是弯曲的；
②a更长一些；
③AB与DC不平行．
而我们用科学的方法验证后发现：
①实线是直的；
② a与b一样长；
③ AB平行于CD.
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探究新知
7.1 为什么要证明/
归纳总结
有时视觉受周围环境的影响，往往误导
我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠
经验、观察是不够的，只有通过科学的实
验进行严格的推理，才能得出最准确的结
论．
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探究新知
7.1 为什么要证明/
a = b
巩固练习
图中两条线段a与b的长度相等吗?变式训练变式训练
a
b
7.1 为什么要证明/
a
b
线段a与线段b哪个
比较长？
a b c
d
谁与线段d在
一条直线上？
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巩固练习
变式训练
7.1 为什么要证明/
a
b
a b c
d
a=b
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巩固练习
7.1 为什么要证明/
例2 当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2的值不一定等于1.
探究新知
方法总结:验证特例是判断一个结论错误的最好方法．
素 养 考 点 2 推理证明法推理证明法
7.1 为什么要证明/
当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2 -n+11的值是质数吗
？
你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是
质数？
n 0 1 2 3 4 5
n2 -n+11 11 11 13 17 23 31
代数式n2-n+11的值都是质数吗？
巩固练习
n 6 7 8 9 10 11
n2 -n+11 41 53 67 83 101 121
对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是
质数.
变式训练
7.1 为什么要证明/
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，
已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数.
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数.
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
分析：图中∠AOB，∠COD均与∠BOC
互余，根据角的和、差关系，可求得
∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现
∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB
＝∠COD.
探究新知
7.1 为什么要证明/
解：(1)因为OA⊥OC，OB⊥OD，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°.
因为∠BOC＝30°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC
＝90°-30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC
＝90°-30°＝60°.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，
已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
探究新知
7.1 为什么要证明/
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC
＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC
＝90°－54°＝36°.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，
已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
探究新知
7.1 为什么要证明/
解：(3)由(1)、(2)可发现：
∠AOB＝∠COD.
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，
已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
探究新知
(4)因为 ∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，
∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°
所以∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.
所以∠AOB＝∠COD.
方法总结:检验数学结论具体经历的过程是：
观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．
7.1 为什么要证明/
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．连
接DE，DE与BC有怎样的位置关系？有怎样的数量关系
？先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对
所有△ABC都成立吗？与同伴进行交流.
解：DE与BC平行，DE的长度等于BC
的一半.通过测量检验这个结论是正确的.
这个结论对所有三角形都成立.
巩固练习
变式训练
7.1 为什么要证明/
1.（2018•淄博）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要
比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场次相同，则丁胜的场次
是（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．0
连接中考
D
2.（2018•广安）为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检
查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金
蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009
编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为
1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金
蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初
的编号是_______.1024
7.1 为什么要证明/
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
2.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
B
D
2020/12/27 27
课堂检测
基 础 巩 固 题
7.1 为什么要证明/
3.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
A
基 础 巩 固 题
课堂检测
7.1 为什么要证明/
4.当x为任意实数时,x2+4x+5的值都大于零吗?
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.
因为(x+2)2≥0,所以(x+2)2+1>0.
所以当x为任意实数时,x2+4x+5的值都大于零.
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课堂检测
5.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
解：不是，当n=6时， n2+3n+1=55不是质数
.
基 础 巩 固 题
7.1 为什么要证明/
6. 如图，有A，B，C，D，E，F六个人坐在一张圆桌周围共
进午餐.已知C坐在①号位，E和C相隔一人且坐在C的右边，
D坐在A的对面，B与F相隔一人且坐在F的右边，F与A不相
邻.请问A，B，C，D，E，F各坐在哪个位置？
C ①
⑥
③
④
②
⑤E
A F
D
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
7.1 为什么要证明/
如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CA=CB,AD⊥CE于点
D,BE⊥CE于点E.求证:AD=CE.
解：因为∠ACB=90°,
所以∠BCE+∠ACD=90°(互余的定义).
因为AD⊥CE,
所以∠ADC=90°(垂直的定义).
所以∠ACD+∠CAD=90°(直角三角形两锐角互余).
所以∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
因为BE⊥CE,所以∠CEB=∠ADC=90°(垂直的定义).
因为CA=CB,所以△ACD≌△CBE(AAS).
所以AD=CE(全等三角形的对应边相等).
能 力 提 升 题
课堂检测
7.1 为什么要证明/
从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:
2+4=6=2×3;
2+4+6=12=3×4;
2+4+6+8=20=4×5;……
(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少.
(2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.
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课堂检测
解:(1)2+4+6+…+2n=n(n+1).
(2)当n=6时,按规律应是2+4+6+8+10+12=42=6×7,按(1)
的结论是n(n+1)=6×(6+1),所以(1)的结论是正确的.
拓 广 探 索 题
7.1 为什么要证明/
为什么
要证明
数学结论必须经过
严格的论证
实验验证
举出反例
推理证明
论证
方法
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课堂小结
7.1 为什么要证明/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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