资料简介
7.5 三角形的内角和定理/
7.5 三角形内角和定理
（第1课时）
北师大版 数学 八年级 上册
7.5 三角形的内角和定理/
我的形状最
小，那我的
内角和最小.
我的形状
最大，那
我的内角
和最大.
不对，我有一
个钝角，所以
我的内角和才
是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了
自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官
给它们评判一下吧.
情
境
引
入
导入新知
7.5 三角形的内角和定理/
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角
形内角和等于180°．
2. 会运用三角形内角和定理进行计算.
素养目标
7.5 三角形的内角和定理/
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与
三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和
为180°呢?
折叠
还可以用拼
接的方法，
你知道怎样
操作吗？
探究新知
知识点 1 三角形的内角和定理三角形的内角和定理
7.5 三角形的内角和定理/
剪拼
A
B
C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表
演式剪拼过程）
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说
明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接
方法吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1 2
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内
错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位
角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB
A E
D
1 2
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
CB
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想 同学们还有其他的方法吗？
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么
？
借助平行线的“移角”的功能，
将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
C
24
A
B
3E
Q
D
F
P
G H
1
B G
C
24
A
3E
D
F
H
1
试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线
叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁
内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是
△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B C
D
探究新知
三角形内角和的应用知识点 2
例
7.5 三角形的内角和定理/
A
B C
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形
内角和定理）.
∵∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=
在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
×80°=40° （角平分线的定义）
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是
△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
巩固练习
7.5 三角形的内角和定理/
例1 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于
E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
探究新知
素 养 考 点 1 利用三角形的内角和定理求角的度数
7.5 三角形的内角和定理/
直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置，
∠1＝85°，则∠2＝________．40°
变式训练
巩固练习
7.5 三角形的内角和定理/
例2 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，
∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C
为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
几何问题借助
方程来解. 这
是一个重要的
数学思想.
探究新知
素 养 考 点 2 方程的思想与三角形内角和相结合的题目
7.5 三角形的内角和定理/
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC
是
_________三角形 ；
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠C= ；
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60° 50° 70°
巩固练习
完成下列各题：
变式训练
7.5 三角形的内角和定理/
北
.A
D 北 .C
B
.
东
E
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛
的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从
B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、
B两岛的视角∠ACB是多少度？
探究新知
素 养 考 点 3 利用三角形的内角和定理解决实际问题
7.5 三角形的内角和定理/
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角
∠ACB是90°.
北
.A
D 北 .C
B.
东
E
探究新知
7.5 三角形的内角和定理/
如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方
向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方
向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多
少度？
变式训练
巩固练习
7.5 三角形的内角和定理/
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,
所以∠ABD＝60°.
又因为∠DBE＝90°，
所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
所以∠ACE＝90°－40°＝50°.
所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
巩固练习
7.5 三角形的内角和定理/
1.（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角
的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
D
2.（2019•百色）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
B
连接中考
7.5 三角形的内角和定理/
1.求出下列各图中的x值．
x=70 x=60
x=30 x=50
基 础 巩 固 题
课堂检测
7.5 三角形的内角和定理/
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
BA
C
D 4
1
32
E
40°（
280 °
课堂检测
2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则
∠C= ．
基 础 巩 固 题
100 °
7.5 三角形的内角和定理/
如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，
∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE.
∴∠CED=∠B=78°.
又∵∠C=60°,
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
能 力 提 升 题
课堂检测
7.5 三角形的内角和定理/
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
拓 广 探 索 题
课堂检测
7.5 三角形的内角和定理/
通过本课时的学习，需要我们掌握：
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的
内角和等
于180 °
作平行线
转化思想
课堂小结
7.5 三角形的内角和定理/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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