资料简介
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简
单三角函数的奇偶性.
明目标、知重点明目标、知重点
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定
义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就
叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f(x)的 .
非零常数T
填要点·记疑点
每一个值 f(x＋T)＝f(x)
最小正周期明目标、知重点
2.正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝ ，cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)知y＝sin x
与y＝cos x都是 函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周
期，且它们的最小正周期都是2π.
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是__，
定义域关于 对称.
sin x
周期
原点
R明目标、知重点
(2)由sin(－x)＝ 知正弦函数y＝sin x是R上的 函数，
它的图象关于 对称.
(3)由cos(－x)＝ 知余弦函数y＝cos x是R上的偶函数，
它的图象关于 对称.
－sin x 奇
原点
cos x
y轴明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理
学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函
数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的
终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变
化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.明目标、知重点
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现
其理论依据是什么？
答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整
数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻
画这种“周而复始”的变化规律.明目标、知重点
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数
f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？
答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ
时，函数值重复出现.
一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝
f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.明目标、知重点
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周
期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).明目标、知重点
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x
的周期有哪些？
答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都
是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)
都是它的周期.明目标、知重点
探究点二 最小正周期
导引 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小
正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R )，对于非零实数T都是它的
周期， 而最小正周期不存在.明目标、知重点
思考 我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin x的周期，那么函
数y＝sin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？
答 正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.
小结 如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且
k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.
例如，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期都是2π
，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).明目标、知重点
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期
思考 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期
？
答 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝
Asin(ωx＋φ)，明目标、知重点明目标、知重点
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性
导引 正弦曲线
余弦曲线明目标、知重点
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图
象关于y轴对称.
思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如
何从理论上加以验证？
答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导
公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立.明目标、知重点
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y＝3cos x，x∈R；
解 ∵3cos(x＋2π)＝3cos x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，
函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现，
所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.明目标、知重点
(2)y＝sin 2x，x∈R；
解 ∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，
函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现，
所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.明目标、知重点
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，明目标、知重点明目标、知重点
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝cos 2x；
(3)y＝|cos x|.明目标、知重点
解 ∵f(x)的最小正周期是π，
∵f(x)是R上的偶函数，明目标、知重点
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周
期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.明目标、知重点
B明目标、知重点
∴f(x)是偶函数.明目标、知重点
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.明目标、知重点
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.明目标、知重点
反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义
域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为
奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)
之间的关系.明目标、知重点
解 f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.明目标、知重点
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3 4
B明目标、知重点
1 2 3 4
D明目标、知重点
1 2 3 4
3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)
＝ .
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一
个周期，且f(－x)＝－f(x).
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)
＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
－2明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
1 2 3 4
∴f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.明目标、知重点
呈重点、现规律
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