资料简介
第一章 三角函数
§1.3 三角函数的诱导公式(一) 明目标、知重点
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01 02
03 当堂测
查疑缺 04明目标、知重点
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、
化简和证明问题.
明目标、知重点明目标、知重点
相关角 终边之间的对称关系
π＋α与α 关于 对称
－α与α 关于 对称
π－α与α 关于 对称
1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的
对称关系如表
原点
填要点·记疑点
x轴
y轴明目标、知重点
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，
tan(π＋α)＝ .
(3)公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
(4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，
tan(π－α)＝ .
sin α cos α
tan α
－sin α －cos α
tan α
－sin α cos α
－tan α
sin α －cos α
－tan α明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，
即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数
转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角
函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是
本节学习的内容.明目标、知重点
探究点一 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边
与角α的终边有什么关系？ 角π＋α的终边与单位
圆的交点P2的坐标如何？
答 角π＋α与角α的终边关于原点O对称；
P2(－x，－y)明目标、知重点
思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的
值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与
α的三角函数有什么关系？
答 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，明目标、知重点
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.明目标、知重点
思考3 公式二有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：明目标、知重点
探究点二 诱导公式三
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与
角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位
圆的交点P2坐标如何？
答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).明目标、知重点明目标、知重点
即诱导公式三
sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.明目标、知重点
思考3 诱导公式三有何作用？
答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.明目标、知重点
思考1 利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结
论？
答 由诱导公式二和诱导公式三可得：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α.
tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tan α.
探究点三 诱导公式四明目标、知重点
即sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
即诱导公式四
sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.明目标、知重点
思考2 诱导公式四有何作用？
答 将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角
函数.明目标、知重点
思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋
α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关
系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同
名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记
为“函数名不变，符号看象限”！明目标、知重点
例1 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos 225°；
解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)明目标、知重点明目标、知重点
(4)cos(－2 040°).明目标、知重点
反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不
是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角
函数，或先将负角转化为正角后再转化到 范围内
的角的三角函数值.明目标、知重点
跟踪训练1 求下列三角函数值.明目标、知重点明目标、知重点
(3)tan(－855°).
解 tan(－855°)＝－tan 855°
＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.明目标、知重点
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]
＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，明目标、知重点
反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角
的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点
反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目
条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选
择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.明目标、知重点
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)明目标、知重点
当堂测·查疑缺 1 2 3 4
1.求下列三角函数的值.
(1)sin 690°；明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
1 2 3 4
(3)tan(－1 845°).
解 tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)
＝－tan 45°＝－1.明目标、知重点
1 2 3 4明目标、知重点
1 2 3 4
解 当k＝2n(n∈Z)时，明目标、知重点
1 2 3 4
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
综上，原式＝－1.明目标、知重点
1 2 3 4
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，明目标、知重点
1 2 3 4
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，明目标、知重点
1 2 3 4
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边.明目标、知重点
呈重点、现规律
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值
公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四明目标、知重点
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.
其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐
角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式
记忆的方便，实际上α可以是任意角.
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