资料简介
1
平面向量的数量积及运算律
（第二课时）2
1. 平面向量的数量积:
2. 的几何意义:3
3. 平面向量的数量积的性质:
B 1
B
AO4
练习5
向量的数量积的运算律：
(交换律)
(分配律)6
A
B
C1A B1O
θθ 1
θ 27
在实数中，有(ab)c = a(bc)，向
量中是否也有 ? 为什么?
答：未必成立
因为左端是与 共线的向量，而
右端是与 共线的向量，但一般 与
不共线．
所以，向量的内积不满足结合律．8
例1 求证：
证明：9
(3) 与 所成角的余弦值．
例2 已知| | = 6，| | = 4， 与
的夹角为60，求：
解：
(1)
= 72.
(2)
(2)
= 76.
∴10
θ
注：与多项式求值一样，先化简，
再代入求值．
(3)11
例3 已知| | = 3, | | = 4, 且 与
不共线, 当且仅当k为何值时, 向量 +k
与 k 互相垂直?
解：12
解：如图，
平行四边形ABCD中，
∴
而
∴
∴
例4 求证：平行四边形两条对角线的
平方和等于四条边的平方和．13
1.
小结：
2. 向量运算不能照搬实数运算律，
如数量积运算中结合律就不成立．
3. 对向量式不能随便约分，因为没
有这条运算律．14
小结：
4. 用向量方法证几何问题时，一般
应先把已知和结论转化成向量的形式，
再通过相应的向量运算完成证明．
不难发现，利用实数与向量的积可
证明共线、平行、长度关系等方面的几
何问题；
利用向量的数量积可解决长度关系、
角度、垂直等几何问题．15
1. 已知 ， 为非零向量， + 3 与
7 5 互相垂直， 4 与7 2 互
相垂直，求 与 的夹角．
巩固练习：
2. 求证：直径
所 对 的 圆 周 角 为
直角．
60
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