资料简介
1.1 探索勾股定理/
1.1 探索勾股定理
（第1课时）
北师大版 数学 八年级 上册
1.1 探索勾股定理/导入新知
同学们，在我们美丽
的地球王国上，原始森林，
参天古树带给我们神秘的
遐想；绿树成荫，微风习
习，给我们以美的享受.你
知道吗？在古老的数学王
国，有一种树木它很奇妙，
生长速度大的惊人，它是
什么呢？下面让我们带着
这个疑问一同到数学王国
去欣赏吧！
勾股树
1.1 探索勾股定理/
1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定
理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
素养目标
2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的
教学过程，将形与数密切联系起来.
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应
用.
1.1 探索勾股定理/
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
知识点 勾股定理的探索勾股定理的探索
做一做
探究新知
a b c a2,b2,c2之间关系
1.1 探索勾股定理/
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
1.1 探索勾股定理/
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 个小方格,即
A的面积是 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 个单
位面积.
9
9
9
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积?
数格子
图1
探究新知
1.1 探索勾股定理/
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
思考2 怎样求出C的面积?
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
1.1 探索勾股定理/
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图 1
图 2
探究新知
解：正方形A的面积是4个
单位面积，正方形B的面积
是4个单位面积，正方形C
的面积是8个单位面积.
1.1 探索勾股定理/
（1）观察图3、图4：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
？
？
图3 图4
做一做
探究新知
1.1 探索勾股定理/
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
图3
图4
探究新知
1.1 探索勾股定理/
“补”
“割” “拼”
分割为四个直角
三角形和一个小
正方形
补成大正方形，
用大正方形的面
积减去四个直角
三角形的面积
将几个小块拼成一个正
方形，如图中两块红色
（或绿色）可拼成一个
小正方形
探究新知
1.1 探索勾股定理/
（4）分析填表数据
图4图3
探究新知
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
13
25
1.1 探索勾股定理/
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的
面积之间有什么关系吗？
探究新知
1.1 探索勾股定理/
做一做 如果直角三角形的两
直角边分别为1.6个单位长度
和2.4个单位长度，上面猜想
的数量关系还成立吗？说明
你的理由.
2.4
1.6
?
问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗
？
探究新知
1.1 探索勾股定理/
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则 .
在西方又称毕
达哥拉斯定理
探究新知
1.1 探索勾股定理/
勾较短的直角边称为 ，
股较长的直角边称为 ，
直角三角形中
弦斜边称为 .
勾2 + 股2 = 弦2
股
勾 弦
在中国古代，
人们把弯曲成直
角的手臂的上半
部分称为"勾"，
下半部分称为"
股“.
趣味小常识
探究新知
1.1 探索勾股定理/
2002年在北京
召开了第24届国际
数学家大会，它是
最高水平的全球性
数学科学学术会议，
被誉为数学界的“
奥运会”，这就是
本届大会会徽的图
案.
探究新知
1.1 探索勾股定理/
素 养 考 点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还
是斜边,再应用勾股定理.
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
a
b c
A
C B
解：在Rt△ABC中根据勾股定理,
AC²+BC²=AB²，
AC=12，BC=5
所以12²+5²=AB²，
所以AB²=12²+5²=169
，所以AB=13厘米.
答：斜边AB的长度为13厘米.
探究新知
1.1 探索勾股定理/巩固练习
变式训练
求下列图形中未知边的长度：
所以x=8 .
解：由勾股定理得：
62+x2=102 ,
所以x2=64 ,
1.1 探索勾股定理/
1.寻求图形面积之间的关系
素 养 考 点 2 利用勾股定理求面积问题
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形
成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S3=S1+S2（S3是以斜边为基础
向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积.
例2 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，
它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值
为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
探究新知
B
1.1 探索勾股定理/
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的
面积．
方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三
角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.
2.求非直角三角形的面积
探究新知
1.1 探索勾股定理/巩固练习
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外
作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8
，则S3＝ ．14
变式训练
1.1 探索勾股定理/连接中考
1.（2018·山东省中考真题）在直角三角形中，若勾为3，股
为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.（2019•黔东南州）如图，点E在正方形ABCD
的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形
ABCD的面积为 ．ᵽ
A
1.1 探索勾股定理/课堂检测
基 础 巩 固 题
A
BC
DD
1.判断题
（1）△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
2.在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,
斜边为上的高为______.
24
4.8
1.1 探索勾股定理/
基 础 巩 固 题
15 cm
17 cm
64 cm²
课堂检测
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
1.1 探索勾股定理/
基 础 巩 固 题
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
课堂检测
所以x=8 .
解：由勾股定理得：
152+x2=172
,所以x2=64 ,
所以x=13 .
解：由勾股定理得：
x2= 32 +42+152 ,
所以x2=169 ,
1.1 探索勾股定理/
基 础 巩 固 题
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
A
D
BC
33
44
课堂检测
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形面积公式，
AC×BC= AB×CD.ᵼ
ᵽ
ᵼ
ᵽ
所以CD= .ᵼᵽ
ᵽ
1.1 探索勾股定理/
能 力 提 升 题
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（ ）
A. S1+S2=S3 B. S1
2+S2
2=S3
2 C. S1+S2>S3 D. S1+S2
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