资料简介
1.1 探索勾股定理/
1.1 探索勾股定理
(第2课时)
北师大版 数学 八年级 上册
1.1 探索勾股定理/
1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，
请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢 ？
导入新知
据不完全统计，验证的方法有
400多种，你想得到自己的方
法吗？
1.1 探索勾股定理/
1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应
用勾股定理解决一些实际问题．
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的
思想和从特殊到一般的思想.
素养目标
1.1 探索勾股定理/
问题思考
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你
能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同
伴进行交流.
知识点 1 勾股定理勾股定理的证明的证明
探究新知
1.1 探索勾股定理/
割
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对
大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的
关系式表示出来吗？
探究新知
A
B
C
D
补
1.1 探索勾股定理/
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者
___________ 可得等式
方法一
探究新知
(a+b)2
1.1 探索勾股定理/
你能用右图验证勾股定理吗
？
验证了勾
股定理
探究新知
=c2S正方形C
所以a2+b2=c2 .
S正方形C
1.1 探索勾股定理/
小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者
_______ 可得等式
方法二
探究新知
c2
A
B
C
D
1.1 探索勾股定理/
你能用右图验证勾股定理吗？
也验证了
勾股定理
探究新知
=c2S正方形ABCD
所以a2+b2=c2 .
=S正方形ABCD
A
B
C
D
1.1 探索勾股定理/
所以a2 + b2 = c2
方法三
c2
a
b
c a2
b2
探究新知
1.1 探索勾股定理/
a
b
c
① ②
③
④
⑤
所以c2 = b2 + a2
方法四
探究新知
1.1 探索勾股定理/
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图
示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
1.1 探索勾股定理/
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
所以a2+b2+2ab=c2+2ab
，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
所以a2+b2=c2 .
ᵼ
ᵽ
1.1 探索勾股定理/
a
a
b
b
c
c
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
探究新知
所以a2+b2=c2 .
证明：因为
1.1 探索勾股定理/
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
意意大大利利文文艺艺复复
兴兴时时代代的的著著名名
画画家家达达··芬芬奇奇
的证法的证法
探究新知
1.1 探索勾股定理/
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C b D
E
F
O
Ⅰ Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
请同学们
自己写一
下证明过
程，相信
你能行的
！
证明：
探究新知
所以a2+b2=c2 .
1.1 探索勾股定理/
归纳总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关
系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，
补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验
证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方
形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到
验证的目的．
探究新知
1.1 探索勾股定理/
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的
图形，则下列结论中正确的是( )
A．c2＝a2＋b2 B．c2＝a2＋2ab＋b2
C．c2＝a2－2ab＋b2 D．c2＝(a＋b)2
A
巩固练习
1.1 探索勾股定理/
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆
敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与
他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方
汽车的速度吗?
分析：
勾股定理的应用知识点 2
探究新知
点A表示小
王的位置
点C表示
汽车开始
位置
点B表示10s
后汽车距小
王500m
小王距离公路
400m，所以
∠C是直角
点A、B
、C构成
直角三角
形
A
C
公路
400m
B
500m
例
1.1 探索勾股定理/
即它行驶的速度为108 km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角
形，从而利用勾股定理来解答.
解：由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
探究新知
1.1 探索勾股定理/
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶
上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞
机每小时飞行多少千米？
4km
20秒后
5km
A
BC
巩固练习
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.解：
因为AB=5，AC=4,
所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
因为 ,
所以 .
答：飞机每小时飞行540km.
1.1 探索勾股定理/
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，
求这个三角形的面积.
8
x
16-
x
D
A
B C
解：设这个三角形为ABC，高为AD
，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm
， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
素 养 考 点 2 利用勾股定理解答面积问题
探究新知
方法点拨：利用勾股定理
解答几何问题，经常用到
设未知数列方程的思想答：这个三角形的面积为48cm2.
S△ABC= （cm2
）
1.1 探索勾股定理/
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则
x2=172-152
=64
答：正方形的面积是64平方厘米.
巩固练习
变式训练
1.1 探索勾股定理/
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：
a2+b2 ＞ c2
钝角三角形：
a2+b2 ＜ c2
直角三角形：
a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足
a2+b2=c2.
探究新知
1.1 探索勾股定理/
（2019•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之
一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀
算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽
弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．
下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
连接中考
B
1.1 探索勾股定理/
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚
1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( )
A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.1 探索勾股定理/
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5 B．6
C．7 D．25
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.1 探索勾股定理/
3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的
面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．16 B．12 C．9 D．7
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.1 探索勾股定理/
4．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m
，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟
至少要飞多少米？
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角
三角形，再利用勾股定理解答．
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.1 探索勾股定理/
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m，
两棵树之间的距离BD＝8 m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m，
AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，
即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m.
答：这只小鸟至少要飞10 m．
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.1 探索勾股定理/
知识点 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半
圆的面积S1＝ π， S2 ＝2π，试求出S3的面积.
课堂检测
能 力 提 升 题
1.1 探索勾股定理/
解：如图，由圆的面积公式得
所以c2＝25，a2＝16.
根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.
所以
能 力 提 升 题
课堂检测
1.1 探索勾股定理/
一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向
航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向
西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.
思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题
抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问
题.或者说：画出图形，运用勾股定理.
拓 广 探 索 题
课堂检测
1.1 探索勾股定理/
解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在
C处.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=900
A
C
B由勾股定理，可以得到
AB2+AC2=BC2
即122+52=BC2
所以BC=13 （海里）
答： 1小时后快艇与小船之间的距离
为13海里.
拓 广 探 索 题
课堂检测
1.1 探索勾股定理/
验证
勾股
定理
及应
用
拼 图
验 证
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，
再由面积之间的相等关系结合图形进行
代数变形即可推导出勾股定理．
应 用
拼出图形
写出图形面积的表达式
找出相等关系
课堂小结
步 骤
恒等变形
导出勾股定理
思 路
1.1 探索勾股定理/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
查看更多
