资料简介
第2课时
解三角形的实际应用举例——高度、角
度问题
【知识提炼】
1.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线
和目标视线的夹角，目标视线在水平线
_____时叫仰角，目标视线在水平线_____
时叫俯角，如图所示.上方 下方
2.方位角和方向角
(1)方位角：从_____方向_______转到目标方向线所成
的角.
如图(1)目标A的方位角为135°.
正北 顺时针
(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成的小于
90°的水平角.如图(2)，北偏东30°，南偏东45°.
指定
3.视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_____，如
图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开
的角度.
夹角
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？
提示：不是.仰角和俯角都是与水平线所成的角.
(2)方位角的范围是(0，π)吗？
提示：不是.方位角的概念表明，“从正北方向顺时针
转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该
是(0，2π).
2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，
则α，β的关系为( )
A.α>β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，
如图，因为两直线平行内错角相等，所以α=β.
3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为
30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船
间的距离为( )
A.2h米 B. h米
C. h米 D.2 h米
【解析】选A.如图所示，
BC= h，AC=h，
所以AB= =2h(米).
4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，
从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点
离地面的高AB等于( )
A.10m B.5 m
C.5( -1)m D.5( +1)m
【解析】选D.在△ACD中，由正弦定理得
AD= =10( +1).
在Rt△ABD中，AB=ADsin30°=5( +1)(m).
5.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测
该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为30°，则该旗
杆的高度约为________米.(精确到0.1米)
【解析】h= +1.70≈13.2(米).
答案：13.2
【知识探究】
知识点 高度和角度的测量问题
观察图形，回答下列问题：
问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？
问题2：如图2，图3，求高度时，底不可到达时，如何
求解？
【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及
其特征
(1)三种模型.
底部可到达 底部不可到达
解直角三角形 解直角三角形 解一般三角形
(2)特征.
①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，
此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条
直线上，观测者一直向“目标物”前进.
③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题
中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.
【题型探究】
类型一 高度问题
【典例】1.(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条
水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山
顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测
得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此
山的高度CD=__________m.
2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不
同的方案，其中之一是选取与塔底B在同
一水平面内的两个观测点C和D，测得CD=
200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和
30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.
【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北
75°的分别是哪个角？仰角为30°指的是哪个角？
提示：图中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即
∠ABC的补角.仰角为30°即∠DBC=30°.
2.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立关
于塔高的方程？
提示：设AB=h，将BC与BD分别用h表示，在△BCD中，
利用余弦定理建立关于塔高h的方程求解.
【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-
30°=45°，根据正弦定理知， 即
BC= ×sin∠BAC= (m)，所以
CD=BC×tan∠DBC= (m).
答案：
2.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=h；
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD= h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD，
即2002=h2+( h)2-2·h· h· ，
所以h2=2002，解得h=200(h=-200舍去).
即塔高AB为200米.
【方法技巧】测量高度的一般步骤
(1)根据已知条件画出示意图.
(2)分析与问题有关的三角形.
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步
求解.
(4)把解出的答案还原到实际问题中.
【变式训练】(2015·潍坊高二
检测)如图，为测量山高MN，选
择A和另一座山的山顶C为测量观
测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角
∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.
已知山高BC=100m，则山高MN=__________m.
【解析】如图，
在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，
所以AC=100 .
在△AMC中，∠CAM=75°，∠ACM=60°，
所以∠AMC=45°.
由正弦定理知
所以AM=100 .
在Rt△AMN中，∠NAM=60°，
所以MN=AM·sin60°=100 × =150(m).
答案：150
【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的
方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途
测得塔的最大仰角为30°，求塔高.
【解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重
思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途
观测点何处距塔底B距离最小.
【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，
CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°.
由正弦定理，
得
所以BD=
在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，
所以BE=DBsin15°
在Rt△ABE中，∠AEB=30°，
所以AB=BEtan 30°= (米).
故塔高为 米.
类型二 角度问题
【典例】1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相
等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C
的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
2.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东
45°方向，距A有9海里的B处，并以20海
里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，
若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速
度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，
并求sinθ的值.(结果保留根号，无需求近似值)
【解题探究】
1.典例1中，分析题中角的关系的关键是什么？
提示：确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向
角的有关概念求解.
2.典例2中，如何求∠ABC？
提示：∠ABC=180°-15°-45°=120°.
【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=80°
，
所以∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.所以α=10°，
即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得：
(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×( )，
128t2-60t-27=0，解得t= 或t=- (舍去)，
所以AC=21(海里)，BC=15(海里)，
根据正弦定理，得sin∠BAC=
cos∠BAC=
又∠ABC=120°，∠BAC为锐角，
所以θ=45°-∠BAC，
sinθ=sin(45°-∠BAC)
=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=
【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未
知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，
其他条件不变，试求乙船的速度.
【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船
追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，
则在△ABC中，AC=28t，BC=xt，
∠CAB=30°，∠ABC=135°.
由正弦定理得
即
所以 (海里每小时).
答：乙船的速度为14 海里每小时.
【方法技巧】测量角度问题的基本思路
(1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表
示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离.
(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后
将解得的结果转化为实际问题的解.
【拓展延伸】解决追及问题的步骤
(1)把实际问题转化为数学问题.
(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角
和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题.
(3)把数学问题还原到实际问题中去.
【变式训练】如图所示，位于A处的
信息中心获悉：在其正东方向相距
40海里的B处有一艘渔船遇险，在原
地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、
相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿
直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_______.
【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=
2 800，所以BC=
由正弦定理得，
所以sin∠ACB=
由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=
由θ=∠ACB+30°，cosθ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=
故cosθ的值为 .
答案：
【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信
号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位
角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方
位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，
我海军舰艇立即以10 海里/时的速度前去营救，并
在小岛B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需
的时间.
【解析】如图所示，设所需时间为t小时，
则AB=10 t，BC=10t，
在△ABC中，由余弦定理得，
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，
即(10 t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.
整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=- (舍去)，
所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10 ，BC=10.
在△ABC中，由正弦定理得：
所以sin∠CAB=
所以∠CAB=30°.
所以舰艇航行的方位角为75°.
易错案例 正、余弦定理的综合应用
【典例】某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A
出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路
上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走
了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这
人能到达A城还要走_______千米
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？
提示：本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了
增解，应用正弦定理来求解.
【自我矫正】如图，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD
中，由余弦定理得
cosβ=
所以sinβ=
又sinα=sin(β-60°)
=sinβcos60°-sin60°cosβ
在△ACD中，由正弦定理得
所以AD= =15(千米).
答案：15
【防范措施】解决应用举例问题的两个关注点
(1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角
(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度，正确画
出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度.
(2)根据图形中的数据，合理选择公式及定理.注意在
利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意
根据实际情况进行取舍，避免出现增解.
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